{Ӧньӧ Наста @ Курс планиметрии @ математика @ http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81 @ 2023 @ } Планиметрией называется раздел геометрии, где изучают фигуры на плоскости. Основные свойства плоскости, прямой, точки укажем через аксиомы. Аксиома. Если на плоскости есть прямая, то среди точек плоскости некоторые лежат на этой прямой, а другие вне неё. Аксиома. Через две различные точки можно провести прямую; эта прямая только одна. Следствие. Если две различные прямые пересекаются, то точка их пересечения единственна. Доказательство. Предположим, что прямые пересекаются в двух различных точках. Тогда через эти две точки можно провести две различные прямые. А по аксиоме, через них может пройти только одна такая прямая. Получается противоречие. Аксиома. Среди трёх различных точек прямой одна лежит между двумя другими; такая точка только одна. Две точки со всеми точками, лежащими между ними, образуют отрезок. Заданные две точки называются концами отрезка. Аксиома. У каждого отрезка есть длина — положительное число. Если концами отрезка являются точки A и B, назовём такой отрезок AB; так же обозначим и его длину. Аксиома. Пусть на одной прямой есть три различные точки: A, B и C; B лежит между A и C. Тогда AC = AB + BC. Следствие. Пусть на одной прямой есть три различные точки: A, B и C; B лежит между A и C. Тогда AC ]]> AB, AC ]]> BC. Следствие. Пусть на одной прямой есть три различные точки: A, B и C; AC = AB + BC. Тогда B лежит между A и C. Доказательство. У нас получается: AC ]]> AB, AC ]]> BC. Если точка A лежит между B и C, то BC ]]> AC; если точка C лежит между A и B, то AB ]]> AC. Значит, B лежит между A и C. Аксиома. Каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Две точки A и B лежат в одной полуплоскости, если отрезок AB не пересекает заданную прямую. Значит, если AB пересекает эту прямую, то точки A и B лежат в разных полуплоскостях. Аксиома. Если задана прямая l и лежащая на ней точка O, то обязательно найдутся такие точки A и B, для которых выполнено следующее: A, O, B не совпадают, A и B лежат на l и точка O лежит между точками A и B. Пусть точка O лежит на прямой l. Возьмём лежащую вне l точку M. Проведём через O и M прямую m. Тогда m делит плоскость на две полуплоскости. Пусть точки A и B лежат на прямой l. По аксиоме, они лежат в разных полуплоскостях тогда и только тогда, когда точка O лежит на отрезке AB. Значит, точка O делит прямую l на две части; эти части называются лучами или полупрямыми. OA и OB — два луча. Аксиома. На каждом луче можно провести от его вершины единственный отрезок заданной длины. Выходящие из одной точки два луча образуют угол. Эти лучи называются сторонами угла, а их общая точка — вершиной угла. Определение. Луч проходит между сторонами угла, если его конец совпадает с вершиной угла и если он пересекается с некоторым отрезком, у которого концы лежат на сторонах угла. Утверждение. Если луч проходит между сторонами угла, то он пересекается с каждым отрезком, у которого концы лежат на сторонах угла. Доказательство. Пусть O — вершина некоторого угла, OM — луч, проходящий между сторонами угла. По определению, OM пересекается с некоторым отрезком AB, где точки A и B лежат на сторонах угла. Пусть CD — другой отрезок, C лежит на луче OA, D лежит на луче OB. Прямая OM делит плоскость на две полуплоскости; по аксиоме, точки A и B не лежат в одной полуплоскости. Точки A и C лежат на луче OA, поэтому они лежат в одной полуплоскости относительно прямой OM. Так же получается: точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой OM. Значит, отрезок CD пересекается с прямой OM. Обозначим точку пересечения буквой N. Покажем, что точка N с прямой ОМ лежит на луче ОМ. Если N не лежит на этом луче, то точка O лежала бы между M и N. Тогда, если взять в качестве делящей плоскость пополам прямую OB, то M и N бы не лежали в одной полуплоскости. Но отрезки CA, CN, AM не пересекаются с прямой OB. Значит, относительно прямой OB точки N, C, A, М лежат в одной полуплоскости. Получилось противоречие. Определение. Если стороны угла образуют прямую, он называется развёрнутым углом. Аксиомы. 1. Каждый угол можно измерять положительным градусом. 2. Если луч проходит между сторонами угла, то в этом угле столько же градусов, сколько в образованным лучом обоих углах вместе. 3. Величина развёрнутого угла 180°. 4. От каждого луча в заданную полуплоскость можно отложить единственный угол заданной меры (только чтобы не была больше 180°). Определение. Два угла называются смежными, если у них есть общая сторона, а две другие стороны образуют прямую. Теорема. Если сложить величины смежных углов, будет 180°. Доказательство. Смежные углы образуют развёрнутый угол, у которого величина 180°. Значит, по 2-й аксиоме, их сумма 180°. Следствие. Если у угла величина 90°, то смежный с ним угол также 90° по величине. Определение. Угол называется острым, если его градусная мера меньше 90°; прямым углом, если его величина 90°; тупым углом, если он больше 90°. Определение. Два угла называются вертикальными углами, если стороны одного являются продолжениями сторон второго угла. Теорема. Вертикальные углы равны по величине. Доказательство. Согласно рисунку, ∠AOB и ∠BOC смежные, ∠BOC и ∠COD смежные. Поэтому ∠AOB + ∠BOC = 180°, ∠BOC + ∠COD = 180°. Значит, ∠AOB = 180° – ∠BOC = ∠COD. Треугольником называется фигура, составленная из трёх точек (которые не лежат на одной прямой) и их соединяющих отрезков. Заданные три точки в треугольнике назовём вершинами, а отрезки — сторонами. В треугольнике ABC угол, лежащий между лучами AB и AС, называется углом при вершине A. Треугольники ABC и A’B’C’ равны, если их соответствующие углы равны по величине, а соответствующие стороны имеют одинаковую длину: ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, ∠C = ∠C’, AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’. Проведём луч. Если его продолжим, получится прямая, делящая плоскость пополам. Выберем одну из этих полуплоскостей. Затем начертим треугольник ABC и выберем его сторону (например, отрезок AB), а у этого отрезка отметим один из концов (например, A). Аксиома. В заданную полуплоскость можно отложить равный с ABC треугольник DEF так, чтобы отрезок DE лежал на заданном луче и конец D совпал с началом этого луча. Первый признак равенства треугольников Теорема. Если ABC да A’B’C’ — треугольники, AB = A’B’, AC = A’C’, ∠A = ∠A’, то ∆ABC = ∆A’B’C’. Доказательство. Из аксиомы следует: можно начертить такой треугольник AMK, где: 1) ∆AMK = ∆A’B’C’, 2) AM лежит на луче AB, 3) AMK и ABC лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Если два треугольника (здесь ∆AMK и ∆A’B’C’) равны, то и их соответствующие стороны и углы тоже равны: AM = A’B’, AK = A’C’, ∠B’A’C’ = ∠MAK. Таким образом: 1) AB = A’B’ = AM, поэтому M = B; 2) ∠BAC = ∠B’A’C’ = ∠BAK, поэтому лучи AK и AC тоже совпадают; 3) AC = A’C’ = AK, поэтому K = C. Через две точки может проходить только одна прямая. Значит, треугольники AMK и ABC совпадают. Поэтому ∆ABC = ∆A’B’C’. Если в треугольнике две стороны равны, назовём его равнобедренным треугольником. Если в треугольнике все три стороны равны, назовём его равносторонним треугольником. Замечание. В равнобедренном треугольнике третья сторона может отличаться от двух равных сторон, а может иметь и такую же длину. Тогда такой равнобедренный треугольник также будет равносторонним. Значит, равносторонний треугольник также является равнобедренным, так как у него две стороны равны. В равнобедренном треугольнике равные стороны назовём боковыми сторонами, а третью сторону — основанием. Угол, лежащий напротив основания, назовём вершинным углом, а угол, лежащий напротив боковых сторон — углом при основании. Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство. Пусть ABC — равнобедренный треугольник, AB = BC. Отсчитаем вершины треугольника в одну и другую сторону: ABC и CBA. Сопоставим ∆ABC и ∆CBA. Заметим: AB = BC, CB = BA, а угол B между ними общий. Значит, по первому признаку равенства, ∆ABC = ∆CBA. А значит и ∠BAC = ∠BCA. У равностороннего треугольника все три стороны можно назвать хоть основанием, хоть боковой стороной, а все три угла — хоть углами при основании, хоть вершинными. Теорема. В равностороннем треугольнике все три угла равны. Доказательство. Пусть ABC — равносторонний треугольник. Если считать сторону AC основанием, то ∠BAC = ∠BCA, так как это углы при основании; сторону BC также можно считать основанием, тогда углами при основании являются ∠ACB и ∠ABC, поэтому они тоже равны. При этом ∠BCA и ∠ACB — один и тот же угол (см. рисунок). Из двух равенств (∠BAC = ∠BCA и ∠BCA = ∠ABC) получается: ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC. Второй признак равенства треугольников Теорема. Если ABC и A’B’C’ — треугольники, AB = A’B’, ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, то ∆ABC = ∆A’B’C’. Доказательство. Из аксиомы следует: можно начертить такой треугольник AMK, где: 1) ∆AMK = ∆A’B’C’, 2) AM лежит на луче AB, 3) AMK и ABC лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Если два треугольника (здесь ∆AMK и ∆A’B’C’) равны, то и их соответствующие стороны и углы тоже равны: AM = A’B’, ∠B’A’C’ = ∠MAK, ∠A’B’C’ = ∠AMK. Значит: 1) AB = A’B’ = AM, поэтому M = B; 2) ∠BAC = ∠B’A’C’ = ∠BAK, поэтому лучи AK и AC тоже совпадают; 3) ∠ABC = ∠A’B’C’ = ∠ABK, поэтому лучи BK и BC также совпадают. Две различные прямые могут пересекаться только в одной точке. Значит, у нас K и C — одна и та же точка. Выше мы увидели: M и B — тоже одна и та же точка. Вот и получили, что треугольники AMK и ABC совпадают. А если вспомним, что ∆AMK и ∆A’B’C’ равны, то придём к выводу: ∆ABC = ∆A’B’C’. Теорема. Треугольник является равнобедренным, если в нём есть два равных угла. Доказательство. Пусть ABC — треугольник, ∠A = ∠C. Отсчитаем вершины треугольника в одну и другую сторону: ABC и CBA. Сопоставим ∆ABC и ∆CBA. Заметим: ∠A = ∠C, ∠C = ∠A, а сторона AC между ними общая. Значит, по второму признаку равенства, ∆ABC = ∆CBA. А значит и AB = BC. Следствие 1. Если в треугольнике есть два равных угла, этот треугольник обязательно является равнобедренным; и наоборот, если треугольник равнобедренный, в нём обязательно есть два равных угла. (Для краткости говорят так: треугольник равнобедренный тогда и только тогда, когда в нём есть два равных угла.) Следствие 2. Если в треугольнике все три угла равны, такой треугольник обязательно является равносторонним; и наоборот, если треугольник равносторонний, у него все три угла равны. (Для краткости говорят так: треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда в нём все три угла равны.) Биссектрисой называют луч, который выходит из вершины угла и делит этот угол пополам. Биссектрисой треугольника называют отрезок, который делит один его угол пополам и соединяет вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне. Медианой в треугольнике называют отрезок, который соединяет одну его вершину с серединой противолежащей стороны. Теорема. Если две прямые пересекаются и при этом из образованных четырёх углов один является прямым, то остальные три угла тоже прямые. Доказательство. Среди этих трёх углов один вертикальный с углом в 90°, поэтому он тоже прямой (так как вертикальные углы равны). Другие два — смежные с углом в 90°, поэтому и они прямые (как мы уже знаем). Прямая называется перпендикуляром к другой прямой, если они образуют прямой угол. Высотой в треугольнике называют отрезок, который соединяет одну его вершину с точкой на прямой, содержащей противолежащую сторону, и является перпендикуляром к этой стороне. Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса вершинного угла также является медианой и высотой. Доказательство. Пусть ABC — треугольник, где AB = BC, а BD — биссектриса, которая делит ABC на две части: ∆ABD и ∆CBD. Заметим: AB = CB, ∠ABD = ∠CBD, а BD — их общая сторона. По первому признаку равенства, ∆ABD = ∆CBD. Отсюда следуют два факта: AD = DC, а значит, BD — медиана; ∠BDA = ∠BDC; из рисунка можно увидеть, что эти два равных угла смежные. Как мы знаем, сумма смежных углов 180°, поэтому ∠BDA = 90° и ∠BDC = 90°, а значит, BD — высота. Третий признак равенства треугольников Теорема. Если ABC и A’B’C’ — треугольники, где AB = A’B’, BC = B’C’, AC = A’C’, то ∆ABC = ∆A’B’C’. Доказательство. Из аксиомы следует: можно начертить такой треугольник AMK, где: 1) ∆AMK = ∆A’B’C’; 2) AM лежит на луче AB; 3) точки K и C лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AB. AB = A’B’ = AM, поэтому M = B. AC = A’C’ = AK; значит, AC и AK — боковые стороны в равнобедренном треугольнике CAK. Поэтому ∠AKC = ∠ACK. Аналогично получаем: ∠BKC = ∠BCK. Значит, ∠ACB = ∠ACK + ∠BCK = ∠AKC + ∠BKC = ∠AKB. Кроме того, AC = AK, BC = BK. Поэтому треугольники ABC и ABK равны по первому признаку и ∆A’B’C’ = ∆ABK = ∆ABC. Теорема. Через точку, лежащую вне прямой, нельзя провести к ней два различных перпендикуляра. Доказательство (от противного). Пусть точка A лежит вне прямой l, а AM и AN — два различных перпендикуляра к этой прямой, которые пересекают l в точках M и N. Тогда M и N — две различные точки. Из аксиомы следует: можно начертить такой треугольник MBN, где: 1) ∆MBN = ∆MAN, 2) точки A и B лежат в разных полуплоскостях относительно прямой l. У нас получается: ∠AMN = ∠BMN = 90°; поэтому ∠AMB = 180° и точка M лежит на прямой AB. Тем же способом получаем: точка N лежит на прямой AB. Прямые AB и l пересекаются только в одной точке. Значит, M = N, а это противоречит нашему предыдущему предположению, согласно которому M и N — две различные точки. Теорема. В равнобедренном треугольнике высота, выходящая из вершинного угла, также является биссектрисой и медианой. Доказательство (от противного). Пусть высота не является биссектрисой. Проведём биссектрису вершинного угла. Как мы уже знаем, в равнобедренном треугольнике биссектриса вершинного угла также является его высотой. Значит, из вершинного угла можно провести к основанию два различных перпендикуляра, а это противоречит предыдущей теореме. Теорема. К прямой через лежащую вне неё точку можно провести перпендикуляр. Доказательство. Пусть точка A лежит вне прямой l, точки B и C лежат на l. Из аксиомы следует: можно начертить такой треугольник BA’C, где: 1) ∆BA’C = ∆BAC, 2) точки A и A’ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой l. Значит, в треугольнике ABA’ будет AB = A’B, луч BC — биссектриса ∠ABA’. Как мы уже знаем, в равнобедренном треугольнике биссектриса вершинного угла также является его высотой. Значит, AA’ будет перпендикуляром к l. Все рассмотренные углы треугольника можно также назвать внутренними углами. У всех трёх внутренних углов треугольника лежат смежные с ними внешние углы. Иначе говоря, внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом. Теорема. Внешний угол больше обоих внутренних углов треугольника, которые с ним не смежные. Доказательство. Пусть ABC — треугольник, ∠BCD — его внешний угол, который смежный с ∠BCA; тогда точка C лежит между A и D. Покажем: ∠ABC ∠BCD. Для этого начертим между сторонами угла ∠BCD такой луч CE, чтобы ∠ABC = ∠BCE. Как получается точка E? Через середину отрезка BC (обозначим её O) проведём луч AO. На этом луче обозначим точку E, лежащую от точки O на том же расстоянии, что и точка A. У нас получается: 1) OC = OB; 2) AO = OE; 3) ∠AOB = ∠EOC как вертикальные углы. Значит, ∆AOB = ∆EOC по первому признаку. Поэтому ∠ABC = ∠BCE, как соответствующие углы в равных треугольниках. Точки O, B и E лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD. У нас получается: 1) ∠BCD = 180° – ∠BCA (как смежный); 2) отрезки ВС и AE пересекаются, другими словами, луч CB проходит между сторонами угла ∠ACE. Значит, ∠ACE = ∠BCE + ∠BCA. 3) ∠ACE 180°, поэтому если вычесть ∠BCA из ∠ACE и из 180° вычесть тот же ∠BCA, первая разность будет меньше другой разности (если обозначим формулой, ∠ACE – ∠BCA 180° – ∠BCA). Если объединить все формулы, будет: ∠ABC = ∠BCE; ∠BCE = ∠ACE – ∠BCA; ∠ACE – ∠BCA 180° – ∠BCA; 180° – ∠BCA = ∠BCD. Значит, ∠ABC ∠BCD. Аналогично получаем, что ∠BAC ∠BCD. Сравнение сторон и углов треугольника Теорема. В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол. Доказательство. Пусть AC ]]> AB в треугольнике ABC. Покажем: ∠ABC ]]> ∠ACB. Отметим на отрезке AC такую точку D, чтобы AD = AB. Тогда ∠ABD = ∠BDA, так как это углы при основании равнобедренного треугольника. Отрезок BD делит ∆ABC на две части; в нём теперь есть два треугольника: ∆ABD и ∆BCD. ∠BDA является внешним углом треугольника ∆BCD. Как мы уже знаем, внешний угол всегда больше внутреннего угла, который с ним не смежный. Поэтому ∠BDA ]]> ∠BCD. Если объединим все полученные формулы, будет: ∠ABC ]]> ∠ABD, ∠ABD = ∠BDA, ∠BDA ]]> ∠BCD, ∠BCD = ∠ACB. Значит, ∠ABC ]]> ∠ACB. Теорема. В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Доказательство. Пусть ∠ABC ]]> ∠ACB в треугольнике ABC. Покажем: AC ]]> AB. Если это не так, то или AC = AB, или AC AB. Как мы уже знаем, если AC = AB, то ∠ABC = ∠ACB; если AC AB, то ∠ABC ∠ACB. Это противоречит неравенству ∠ABC ]]> ∠ACB. Значит, в треугольнике одна сторона длиннее другой стороны тогда и только тогда, когда угол, противолежащий первой стороне, больше угла, противолежащего второй стороне. Треугольник называется остроугольным, если в нём все три угла острые. Треугольник называется прямоугольным, если в нём один угол прямой. Треугольник называется тупоугольным, если в нём один угол тупой. Теорема. 1) В прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе острые. 2) Гипотенуза длиннее катета. Доказательство. 1) Угол, смежный с прямым углом, также прямой; по теореме, он больше угла при гипотенузе. 2) Прямой угол в треугольнике наибольший, поэтому противолежащая ему сторона самая длинная. Утверждение. В тупоугольном треугольнике есть два острых угла. Доказательство. Если один угол тупой, смежный с ним угол острый. Как мы уже знаем, внешний угол больше внутреннего угла, который с ним не смежный. Значит, в треугольнике остальные внутренние углы меньше острого угла; поэтому они сами острые. Утверждение. В равнобедренном треугольнике углы при основании острые. Доказательство. Как мы уже знаем, 1) в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, 2) в прямоугольном или тупоугольном треугольнике есть два острых угла. Значит, угол при основании не может быть ни прямым, ни тупым. Признак равенства прямоугольных треугольников По двум катетам. Теорема. Если ABC и A’B’C’ — прямоугольные треугольники, где AB, BC, A’B’, B’C’ — катеты, AB = A’B’, BC = B’C’, то ∆ABC = ∆A’B’C’. Доказательство. ∠ABC = ∠A’B’C’ = 90°, AB = A’B’, BC = B’C’; Значит, треугольники равны по первому признаку. По катету и гипотенузе. Теорема. Если ABC да A’B’C’ — прямоугольные треугольники, где AB и A’B’ — катеты, AC и A’C’ — гипотенузы, AB = A’B’, AC = A’C’, то ∆ABC = ∆A’B’C’. Доказательство. Из аксиомы следует: можно начертить такой треугольник KBM, где: 1) ∆KBM = ∆A’B’C’, 2) точка M лежит на прямой BC, точка B лежит между точками C и M, 3) ∆KBM и ∆ABC лежат в одной полуплоскости относительно прямой BC. На первом рисунке схематично показано, в какой полуплоскости лежит точка K. Затем мы будем по шагам уточнять ее положение. Как мы знаем, ∆KBM = ∆A’B’C’. Отсюда следует несколько фактов: 1) ∠KBM = ∠A’B’C’ = 90°, ∠ABM = 180° − ∠ABC = 90°; поэтому точка K обязательно лежит на луче BA. 2) AB = A’B’, A’B’ = KB; поэтому AB = KB и точка K обязательно совпадёт с A. 3) AC = A’C’, A’C’ = KM = AM; поэтому AC = AM. У нас получается ∆CAM. Это — равнобедренный треугольник, где AC и AM — боковые стороны, AB — высота. Как мы уже знаем, высота, проведённая к основанию, является биссектрисой. У нас получается: AC = AM, ∠CAB = ∠MAB. Значит, ∆ABC = ∆ABM по первому признаку. Но ∆ABM = ∆KBM = ∆A’B’C’. Значит, ∆ABC = ∆A’B’C’. По катету и острому углу при нём. Теорема. Если ABC и A’B’C’ — прямоугольные треугольники, где AB и A’B’ — катеты, ∠A и ∠A’ — острые углы, AB = A’B’, ∠A = ∠A’, то ∆ABC = ∆A’B’C’. Доказательство. ∠B = ∠B’ = 90°, AB = A’B’, ∠A = ∠A’; значит, треугольники равны по второму признаку. По катету и ему противолежащему острому углу. Теорема. Если ABC и A’B’C’ — прямоугольные треугольники, где AB и A’B’ — катеты, AB = A’B’, ∠B = ∠B’ = 90°, ∠C = ∠C’, то ∆ABC = ∆A’B’C’. Доказательство. Из аксиомы следует: можно начертить такой треугольник KBM, где: 1) ∆KBM = ∆A’B’C’, 2) точка M лежит на прямой BC, точка B лежит между точками C и M, 3) ∆KBM и ∆ABC лежат в одной полуплоскости относительно прямой BC. Такой треугольник KBM мы строили, доказывая вторую теорему. Тогда у нас получилось: K = A. Значит, ∆ABM = ∆A’B’C’. Поэтому ∠AMB = ∠A’C’B’. Но ∠A’C’B’ = ∠ACB. Значит, ∠AMB = ∠ACB. Как мы уже знаем, если в треугольнике есть два равных угла, такой треугольник равнобедренный. Поэтому ACM — равнобедренный треугольник, CM — его основание, AB — его высота. Это у нас получилось опять при доказательстве второй теоремы; отсюда мы уже знаем, что ∆ABC = ∆ABM = ∆A’B’C’. По гипотенузе и острому углу. Теорема. Если ABC и A’B’C’ — прямоугольные треугольники, где AC и A’C’ — гипотенузы, AC = A’C’, ∠A = ∠A’, то ∆ABC = ∆A’B’C’. Доказательство. Из аксиомы следует: можно начертить такой треугольник AKM, где: 1) ∆AKM = ∆A’B’C’, 2) AK лежит на луче AB, 3) ∆AKM и ∆ABC лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AB. На первом рисунке схематично показано, на каком луче лежит точка K и в какой полуплоскости лежит точка M. Затем мы будем по шагам уточнять их положение. Поместим точку N на луч CB так, чтобы BC = BN. Тогда ∆ABC = ∆ABN по двум катетам. У нас получается: 1) ∠BAN = ∠BAC; 2) ∠BAC = ∠B’A’C’; 3) ∠B’A’C’ = ∠KAM = ∠BAM. Значит, ∠BAN = ∠BAM; поэтому точка N лежит на луче AM. Отметим это на новом рисунке, затем будем уточнять положение K и M. ∆ABC = ∆ABN, поэтому AC = AN; но AC = A’C’ и A’C’ = AM. Значит, AM = AN, откуда M = N. Построим новый рисунок, где M = N; осталось только уточнить положение точки K. ∠AKM = ∠A’B’C’ = 90°, ∠ABM = ∠ABC = 90°. Поэтому MB и MK являются перпендикулярами к AB. Как мы уже знаем, из одной точки можно провести только один перпендикуляр. Значит, K = B. У нас получается: 1) ∆ABC = ∆ABM; 2) ∆ABM = ∆A’B’C’. Поэтому ∆ABC = ∆A’B’C’. Неравенство треугольника Теорема. В треугольнике сумма двух сторон всегда будет больше длины третьей стороны. Доказательство. Пусть, например, в треугольнике ABC сторона AC самая длинная. Тогда на отрезок AC можно поместить точку D так, чтобы AB = AD. У нас получается: ∆DAB — равнобедренный треугольник, DB — его основание, ∠ADB и ∠ABD — углы при его основании. Как мы уже знаем, угол при основании всегда острый. Значит, угол ∠ADB тоже острый. Угол, смежный с острым углом, всегда тупой. Поэтому ∠BDC — тупой угол. У нас получается: в треугольнике BDC самый большой — ∠BDC. Как мы уже знаем, напротив наибольшего угла лежит наибольшая сторона. Поэтому BC ]]> DC. У нас получается: AC = AD + DC; AD = AB (поэтому формулу выше можно записать как: AC = AB + DC); DC BC. Значит, AC AB + BC. {Ӧньӧ Наста @ Курс планиметрии @ математика @ http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81 @ 2023 @ } Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Если прямые a и b параллельны, пишут a ∥ b. Теорема. Если две различные прямые перпендикулярны третьей прямой, они параллельны. Доказательство (от противного). Если бы эти две прямые пересеклись, из точки их пересечения можно было бы начертить два различных перпендикуляра к третьей прямой. Но, как мы уже знаем, это сделать невозможно. Теорема. Если точка не лежит на прямой, через эту точку можно провести параллельную к этой прямой. Доказательство. Пусть у нас есть прямая m и точка A, не лежащая на ней. Проведём из точки A перпендикуляр к m (обозначим его l). Затем через точку A проведём перпендикуляр к l (обозначим его n). У нас получается: l является перпендикуляром к m и к n. Значит, m и n параллельны (по предыдущей теореме). Признаки параллельных прямых Проведём две прямые и ещё одну прямую, их пересекающую. Относительно этой секущей прямой можно обозначить следующие углы (показано на рисунке): внутренние накрест лежащие углы, внешние накрест лежащие углы, внутренние односторонние углы, внешние односторонние углы, соответственные углы. Теорема. Есть две прямые, их пересекает ещё одна прямая. Если внутренние накрест лежащие относительно секущей прямой углы равны, эти прямые параллельны. Доказательство. Есть две прямые: AC и BD; их пересекает ещё одна прямая: AB; при этом ∠ABD = ∠BAC. Обозначим середину отрезка AB буквой M. Проведём через точку M к прямой AC перпендикуляр MP. Точку пересечения с BD обозначим буквой Q. ∠AMP и ∠BMQ — вертикальные углы, поэтому они равны. Значит, ∆AMP = ∆BMQ по второму признаку. Тогда и ∠BQM = ∠APM. MP является перпендикуляром к AC, поэтому ∠APM = 90°; значит, и ∠BQM = 90°. У нас получается: прямые BQ и AP перпендикулярны к PQ. Значит, они параллельны по ранее доказанной теореме. Теорема. Есть две прямые, их пересекает ещё одна прямая. Если внешние накрест лежащие относительно секущей прямой углы равны, эти прямые параллельны. Доказательство. Пусть ∠1, ∠2 — внешние накрест лежащие углы, ∠1 = ∠2. ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 как вертикальные углы. Значит, ∠3 = ∠4. Эти углы — внутренние накрест лежащие углы. По предыдущей теореме, эти прямые параллельны. Теорема. Есть две прямые, их пересекает ещё одна прямая. Если сумма внутренних или внешних односторонних относительно секущей прямой углов равна 180°, эти прямые параллельны. Доказательство. Пусть ∠1, ∠2 — внутренние односторонние углы, ∠1 + ∠2 = 180°. ∠2 и ∠3 смежные, поэтому ∠2 + ∠3 = 180°. Значит, ∠1 = ∠3. ∠1 и ∠3 — внутренние накрест лежащие углы; по доказанной ранее теореме, в этом случае прямые параллельны. Если сумма внешних односторонних углов равна 180°, теорему доказываем аналогично. Теорема. Есть две прямые, их пересекает ещё одна прямая. Если соответственные относительно секущей прямой углы равны, эти прямые параллельны. Доказательство. Пусть ∠1, ∠2 — соответственные углы, ∠1 = ∠2. ∠1 и ∠3 — вертикальные углы, поэтому ∠1 = ∠3. Значит, ∠2 = ∠3. Но ∠2 и ∠3 — внутренние накрест лежащие углы. А по доказанной ранее теореме в этом случае данные прямые параллельны. Аксиома. Через точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну параллельную. Теорема. Если две различные прямые параллельны третьей прямой, они параллельны друг другу. Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Если они пересекаются в некоторой точке, то через эту точку проходят две различные параллельные прямые к c. Это противоречит аксиоме. Свойства параллельных прямых Теорема. Если две параллельные прямые пересекает третья прямая, то образованные внутренние накрест лежащие углы равны. Доказательство. Пусть AD и BC — параллельные прямые, прямая AB их пересекает. Нам нужно показать: ∠DAB = ∠CBA. Проведём через точку A прямую AE так, чтобы ∠EAB = ∠CBA. Как мы уже знаем, если внутренние накрест лежащие углы равны, прямые параллельны. Поэтому прямые EA и BC-лы обязательно будут параллельны. Что было бы, если бы ∠DAB и ∠CBA не были равны? Тогда AD и AE были бы различными прямыми, как показано на рисунке. При этом через точку A проходили бы две различные параллельные прямые к BC: AD и AE, а это противоречит аксиоме. Теорема. Если две параллельные прямые пересекает третья прямая, внешние накрест лежащие относительно неё углы равны. Доказательство. Начертим рисунок, где ∠1 и ∠2 — внешние накрест лежащие углы. В этом случае ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4, так как это вертикальные углы; а ∠3 = ∠4 как внутренние накрест лежащие углы (по предыдущей теореме). Значит, ∠1 = ∠2. Теорема. Если две параллельные прямые пересекает третья прямая, то сумма внутренних (внешних) односторонних углов равна 180°. Доказательство. Пусть ∠1 и ∠2 — внутренние односторонние углы. Из рисунка мы видим: ∠1 и ∠3 — смежные углы, поэтому ∠1 + ∠3 = 180°; ∠3 = ∠2, так как это внутренние накрест лежащие углы и поэтому равны (по теореме). Поэтому ∠1 + ∠2 = 180°. Теорему про внешние односторонние углы доказываем аналогично. Теорема. Если две параллельные прямые пересекает третья прямая, то соответственные углы равны. Доказательство. Пусть ∠1 да ∠2 — соответственные углы. Из рисунка мы видим: ∠2 = ∠3, это вертикальные углы и поэтому равны; ∠1 = ∠3, это внутренние накрест лежащие углы и поэтому равны (по теореме). Значит, ∠1 = ∠2. Сумма углов треугольника Теорема. Сумма всех углов треугольника равна 180°. Доказательство. Пусть ABC — треугольник. Вычислим сумму его углов: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA. Для этого проведём через точку B параллельную к AC прямую DE. Как видим, ∠DBA, ∠ABC и ∠EBC вместе образуют развёрнутый угол, его величина 180°. Так как ∠DBA = ∠BAC, ∠EBC = ∠BCA (поскольку это внутренние накрест лежащие углы), ∠BAC, ∠ABC и ∠BCA вместе тоже дадут 180°. Другими словами, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°. Теорема. Внешний угол треугольника равен по величине сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Доказательство. Пусть ABC — треугольник, ∠ABD — его внешний угол. Нам нужно получить: ∠ABD = ∠BAC + ∠BCA. Как видим, ∠ABD + ∠ABC = 180°, так как это смежные углы. Поэтому ∠ABD = 180° – ∠ABC. По предыдущей теореме, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°. Значит, 180° – ∠ABC = ∠BAC + ∠BCA. А следовательно, ∠ABD = ∠BAC + ∠BCA. Теорема. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°. Доказательство. Как мы уже знаем, в равностороннем треугольнике все углы равны, а их сумма равна 180°. Значит, каждый угол равен по величине 180° : 3 = 60°. Теорема. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Доказательство. Пусть в треугольнике ABC ∠B = 90°. Как мы уже знаем, ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Значит, ∠A + ∠C = 180° – ∠B = 90°. Теорема. В прямоугольном равнобедренном треугольнике оба острых угла равны 45°. Доказательство. Как мы уже знаем, в прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны, а в сумме они дают 90°. Значит, каждый острый угол равен по величине 90° : 2 = 45°. Четырёхугольником называется фигура, состоящая из четырёх точек и последовательно их соединяющих отрезков. При этом среди этих четырёх точек только две лежат на одной прямой, а отрезки пересекаются только в концах. Точки, образующие четырёхугольник, называем вершинами четырёхугольника, а их соединяющие отрезки — сторонами четырёхугольника. Если отрезок состоит из точек A, B, C, D и их соединяющих отрезков AB, BC, CD, DA, то пишут: четырёхугольник ABCD. Две вершины четырёхугольника называем соседними, если они являются концами одной стороны. Две стороны называем соседними, если они выходят из одной вершины. Две вершины четырёхугольника называем противоположными, если они не соседние. Две стороны называем противоположными, если они не соседние. Отрезок, соединяющий две противоположные вершины, называем диагональю. Сумма углов четырёхугольника Теорема. В четырёхугольнике сумма всех углов 360°. Доказательство. Проведём диагональ в четырёхугольнике (на рисунке это AC), которая делит его на два треугольника. У нас получается: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA + ∠CAD + ∠ADC + ∠ADC = 180° + 180° = 360°. Четырёхугольник, в котором противоположные стороны параллельны, называется параллелограммом. Признаки параллелограмма 1-й признак. Если в четырёхугольнике противоположные углы равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Доказательство. Пусть ABCD — четырёхугольник, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Как мы уже знаем, в четырёхугольник сумма всех углов 360°. Значит, 2∠A + 2∠B = 360°, ∠A + ∠B = 180°. Отсюда выходит: AD и BC параллельны, так как ∠A и ∠B — внутренние односторонние углы, а их сумма 180°. Так же получается: AB и CD параллельны. 2-й признак. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются в середине, этот четырёхугольник является параллелограммом. Доказательство. Пусть ABCD — четырёхугольник, точка O — пересечение диагоналей AC и BD, AO = OC, BO = OD. Углы AOB и COD равны, так как это вертикальные углы. Значит, ∆AOB = ∆COD по первому признаку. Поэтому ∠OAB = ∠OCD. Значит, AB ∥ CD, так как ∠OAB и ∠OCD — внутренние накрест лежащие углы. Так же получается: AD ∥ BC. 3-й признак. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, этот четырёхугольник является параллелограммом. Доказательство. Пусть ABCD — четырёхугольник, AB = CD, AB ∥ CD. Начертим диагонали AC и BD. Пусть O — их пересечение. ∠BAO = ∠DCO и ∠ABO = ∠CDO, так как это внутренние накрест лежащие углы, а AB и CD параллельны. У нас получается: AB = CD, ∠BAO = ∠DCO, ∠ABO = ∠CDO. Значит, ∆AOB = ∆COD по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому AO = OC, BO = OD. Значит, ABCD — параллелограмм по предыдущей теореме. 4-й признак. Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, этот четырёхугольник является параллелограммом. Доказательство. Пусть ABCD — четырёхугольник, где AB = CD, AD = BC. Проведём диагональ AC. Тогда ∆ABC = ∆CDA по третьему признаку. Значит, ∠BCA = ∠CAD. Но ∠BCA и ∠CAD — внутренние накрест лежащие углы. Значит, BC ∥ AD. Поэтому ABCD – параллелограмм по предыдущей теореме. Свойства параллелограмма 1-е свойство. Противоположные углы параллелограмма равны. Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм. Тогда ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180° (так как это внутренние односторонние углы). Значит, ∠A = 180° − ∠B и ∠C = 180° − ∠B. Поэтому ∠A = ∠C. Аналогично получается: ∠B = ∠D. 2-е свойство. Противоположные стороны параллелограмма равны. Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм. Проведём диагональ AC. Тогда ∠BAC = ∠ACD, ∠BCA = ∠CAD, так как это внутренние накрест лежащие углы. Значит, треугольники ABC и CDA равны (по второму признаку). Поэтому AB = CD, AD = BC. 3-е свойство. Диагонали параллелограмма пересекаются посередине. Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей. Тогда ∠OAD = ∠OCB, ∠ODA = ∠OBC, так как это внутренние накрест лежащие углы. По предыдущей теореме, AD = BC. Значит, AOD и COB — равные треугольники (по второму признаку). Поэтому AO = OC, BO = OD. Если в параллелограмме есть прямой угол, он называется прямоугольником. Теорема. В прямоугольнике каждый угол прямой. Доказательство. Пусть ABCD — прямоугольник, где ∠A = 90°. Каждый прямоугольник является параллелограммом. Как мы уже знаем, в параллелограмме противоположные углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°. Значит, ∠A + ∠B = 180°, ∠A + ∠D = 180°, ∠A = ∠C. Поэтому ∠B = ∠C = ∠D = 90°. Теорема. В прямоугольнике диагонали равны. Доказательство. Пусть ABCD — прямоугольник. Проведём в нём диагонали AC и BD. Получается два прямоугольных треугольника: ∆BAD и ∆CDA, где ∠BAD = ∠CDA = 90°. У них есть общий катет AD. Два других катета тоже равны по длине: AB = DC (так как это противоположные стороны параллелограмма). Значит, ∆BAD = ∆CDA по двум катетам. Поэтому AC = BD. Теорема. Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник. Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм, где AC = BD. У нас получается: AB = CD, так как это противоположные стороны в параллелограмме. Значит, ∆BAD = ∆CDA по третьему признаку. Поэтому ∠BAD = ∠CDA. Но ∠BAD + ∠CDA = 180°, так как это внутренние односторонние углы. Значит, ∠BAD = 90°. Если в параллелограмме все стороны равны, он называется ромбом. Теорема. Диагональ ромба является биссектрисой его углов. Доказательство. Пусть ABCD — ромб. Тогда ABC — равнобедренный треугольник. Поэтому ∠BAC = ∠BCA, так как это углы при основании. Кроме того, ∠BAC = ∠DCA, ∠BCA = ∠DAC, так как это внутренние накрест лежащие углы. У нас получается: ∠BCA = ∠BAC = ∠DCA, ∠BAC = ∠BCA = ∠DAC. Значит, AC — биссектриса углов ∠A и ∠C ромба. Теорема. Диагонали ромба перпендикулярны. Доказательство. Пусть ABCD — ромб. По предыдущей теореме, диагональ BD является биссектрисой угла ∠ABC. AB = BC (так как в ромбе стороны равны); значит, ∆ABC — равнобедренный треугольник, ∠ABC — его вершинный угол. Как мы уже знаем, в равнобедренном треугольнике биссектриса вершинного угла является высотой. Значит, BD и AC — перпендикуляры. Теорема. Параллелограмм, в котором диагональ делит угол пополам, является ромбом. Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм, где диагональ BD делит угол ∠ABC пополам. Тогда ∠ABD = ∠CBD. ∠CBD и ∠ADB — внутренние накрест лежащие углы; поэтому ∠CBD = ∠ADB. У нас получается: ∠ABD = ∠ADB. Значит, ∆DBA — равнобедренный треугольник, где AB = AD. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому все четыре стороны равны: CD = AB = AD = BC. Следовательно, ABCD — ромб. Теорема. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, он является ромбом. Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм, где AC ⊥ BD. Пусть O — точка пересечения диагоналей. Как мы уже знаем, диагонали параллелограмма пересекаются в середине. Значит, AO = OC. У нас получаются треугольники AOB и COB, они прямоугольные и равны по двум катетам. Поэтому AB = BC. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому все четыре стороны равны: CD = AB = BC = AD. Значит, ABCD — ромб. Параллелограмм называется квадратом, если он одновременно является прямоугольником и ромбом. Таким образом, в квадрате: 1) все стороны равны; 2) все углы 90° по величине; 3) диагонали равны; 4) диагонали перпендикулярны; 5) диагонали являются биссектрисами углов квадрата. Теорема. Диагональ квадрата делит его на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Доказательство. Пусть AC — диагональ квадрата ABCD. ABCD — квадрат, поэтому AB = BC, AD = DC, ∠ABC = ∠ADC = 90°. Поэтому ∆ABC и ∆ADC — прямоугольные равнобедренные треугольники. Теорема. Две диагонали квадрата делят его на четыре прямоугольных равнобедренных треугольника. Доказательство. Как мы уже знаем, 1) в квадрате диагонали перпендикулярны; значит, все четыре полученные треугольника — прямоугольные; 2) в квадрате диагонали равны и пересекаются посередине; значит, все четыре полученные треугольника — равнобедренные. Четырёхугольник, в котором две стороны параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией. Параллельные стороны называют основаниями трапеции. Две другие стороны — боковые стороны трапеции. Трапеция, в которой есть прямой угол, называется прямоугольной трапецией. Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией. Теорема. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Доказательство. Пусть ABCD — трапеция, BC и AD — её основания, AB = CD. Проведём параллельную прямую BE к CD, где точка E лежит на отрезке AD. У нас получается: BCDE — параллелограмм. Значит, BE = CD (по свойству параллелограмма). Но AB = CD; поэтому AB = BE. Как мы уже знаем, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, ∠BAE = ∠BEA. BE и CD параллельны, поэтому ∠CDA = ∠BEA (так как это соответственные углы). У нас получилось: ∠CDA = ∠BAE. Значит, в трапеции ABCD углы ∠A и ∠D равны. Теорема. Если в трапеции углы при одном основании равны, эта трапеция равнобедренная. Доказательство. Пусть ABCD — трапеция, BC и AD — её основания, ∠CDA = ∠BAD. Проведём параллельную прямую BE к CD, где точка E лежит на отрезке AD. Значит, BCDE — параллелограмм. По свойству параллелограмма, BE = CD. ∠CDA и ∠BEA равны, так как это соответственные углы. Поэтому ∠BAE = ∠BEA. Как мы уже знаем, если в треугольнике есть два равных угла, этот треугольник равнобедренный. Значит, AB = BE. Но BE = CD. Вот у нас и получилось: AB = CD.