==n Киселев А. Алгебра: шӧр школалы велӧдчан книга. Ч.1. Сыктывкар: коми гиз., 1934. Лб. 

А. КИСЕЛЕВ.

АЛГЕБРА

ШӦР ШКОЛАЛЫ ВЕЛӦДЧАН КНИГА

ПЕРВОЙЯ ЧАСЬТ

6ʼ да 7ʼ ВО ВЕЛӦДЧЫСЬЯСЛЫ

А. Н. БАРСУКОВ РЕДАКЦИЯ УЛЫН ПЕРЕРАБОТАЙТӦМ 11ʼ ИЗДАННЬӦ

ВЫНСЬӦДӦМА РСФСР-са НКП КОЛЛЕГИЯӦН, КОМИӦДӦМСӦ ВЫНСЬӦДІС КОМИ ОБЛОНОЫН ЮРАЛЫСЬ.

КОМИӦДІС Н. СЕДЬЯКОВ.

КОМИ ГИЗ

СЫКТЫВКАР — 1934

{Киселев А. (комиӧдіс Седьяков Н.) @ Алгебра ???? @ велӧдан гижӧд @ Алгебра. Шӧр школалы велӧдчан книга. Ч.1. @ 1934 @ Лб. }

ВОДЗКЫВ.

Первой юкӧнас изложитӧма ставсӧ, мый колӧ велӧдны Наркомпросӧн лэдзӧм программа серти шӧр школаса 6ʼ, 7ʼ велӧдчан воясӧ.
Изложитӧмлӧн последовательносьтыс алгебраическӧй дробъяс юкӧдысь ӧтдор мунӧ программа серти. Изложитӧмын медым лои единство, алгебраическӧй дробъяс йылысь материал ӧтлаавлӧма ӧти юкӧдӧ, сэки кор сійӧс программа серти колӧ велӧдны ӧти юкӧнсӧ 6ʼ воын, а мӧд юкӧнсӧ 7ʼ воын. Велӧдысь кокньыда вермас торйӧдны тайӧ юкӧнъяссӧ.
Тайӧ выль изданньӧас став аддзӧм ӧпечаткаяссӧ да неточносьтъяссӧ веськӧдӧма; кӧнсюрӧ вӧчалӧма содтӧдъяс да вежӧмъяс текстсӧ лючкиджык объяснитӧм могысь.
Содтӧма упражненньӧяс лыдсӧ (первой юкӧнас упражненньӧыс вӧлі 200, ӧні 240) да книга помас сетӧма став упражненньӧясыслы ӧтветъяс.
Нулевӧй показатель йылысь гӧгӧрвоӧм, коді водзсӧ излагайтчис 57 § первой юкӧнас, ӧні вуджӧдӧма мӧд юкӧнас «показатель йылысь вежӧртас обобщайтан» юкӧдӧ.
Тайӧ книгасӧ лӧсьӧдігӧн частичнӧ тшӧтш отсасис проф. А. Н. Барсуков, кодлы ассянь сиа ыджыд благодарносьт.

А. Киселев.
Ленинград, октябр 1933 во.

МЕДВОДДЗА ЮКӦД.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНӦЙ ВЕЖӦРТАСЪЯС.

І. АЛГЕБРАИЧЕСКӦЙ ПАСЪЯС ТЭЧӦМ.

1. Шыпасъясӧс употребляйтӧм. а) Лыдъяслысь общӧй свойствояс петкӧдлӧм могысь. Шуам, миян колӧ петкӧдлыны гижӧдӧн, мый кык лыдлӧн произведенньӧ оз вежсьы, кор ӧктанлыд да ӧктысьлыд вежам местаяснас. Ӧти лыд пасъям a, а мӧд b шыпасӧн. Сэк вермам гижны равенство: a×b = b×a; дженьыдджыка: ab = ba. Та серти оз ков вунӧдны: кор гижӧма орччӧн кык шыпас да на костын некутшӧм пас абу, сэк колӧ тӧдны, мый на костын эм (<rus>подразумевается</rus>) ӧктан пас. Шыпасъясӧн пасйӧны, кор кӧсйӧны висьтавны, мый кутшӧмкӧ свойство принадлежитӧ оз сӧмын ӧти торъя лыдлы, а быдсикас лыдъяслы.
Лыдъяс пасйыссьӧны латин (либӧ француз) алфавитса шыпасъясӧн.
б) Дженьдӧдӧмӧн правилӧ выразитӧм могысь, код (правилӧ) серти позьӧ решайтны задачаяс, кодъяс став условйӧяс серти мӧда-мӧдныскӧд ӧткодьӧсь, а торъялӧны мӧда-мӧдсьыс сӧмын индӧм лыдъяс ыдждаясӧн.
Шуам, миян колӧ решитны татшӧм задача:

корсьны 3% 520 лыдлысь.

Мӧвпалам тадз:
1% кутшӧмкӧ лыдлӧн составляйтӧ 1⁄100 юкӧн сійӧ лыдысь; сідзкӧ: 1% 520 лыдлӧн лоӧ 520⁄100 = 5,2;
3% „ „ „ 520⁄100 × 3 = 15,6.

Решитам кӧ некымын та нога задача, аддзам, мый кутшӧмкӧ лыдлысь % корсигӧн сӧмын колӧ индӧм лыдсӧ юкны 100 пельӧ да результатсӧ ӧктыны прӧчент лыд вылӧ. Медым тайӧ вӧлі тыдалана, босьтам общӧй вида задача:
корсьны p% a лыдлысь.

Задача решитам со кыдз:

1% a лыдлӧн лоӧ a/100;
p% „ „ „ a/100 × p.

Корсян лыд пасъям x шыпасӧн. Сэки равенство гижсяс:

x = a/100 × p,
кытысь веськыда тыдалӧ, кыдз позьӧ кӧть кутшӧм лыдлысь прӧчент корсьны.
Босьтам нӧшта пример. Арифметикаын дробъясӧс ӧктан правилӧ выражайтчӧ кывъясӧн со кыдз: медым ӧктыны дробӧс дроб вылӧ, колӧ торйӧн мӧда-мӧд вылӧ ӧктыны числительяс да торйӧн жӧ знаменательяс да первой произведенньӧсӧ колӧ юкны мӧд вылас. Шыпасъясӧн пасъялӧмӧн тайӧ правилӧсӧ вермам формулируйтны зэв дженьыда. Пасъям первой дроблысь числитель a-ӧн, знаменатель b-ӧн, мӧдлысь числитель c-ӧн, знаменатель d-ӧн. Та бӧрти вермам гижны:

a/b × c/d = ac/bd.

Абу сьӧкыд аддзыны, мый тайӧ гижӧд сетӧ общӧй правилӧ кӧть кутшӧм дробъяс ӧктӧм вылӧ, сы вӧсна, мый шыпасъяс пыдди вермам пуктавны кутшӧм колӧ лыдъяс.
Дзик жӧ тадз дробъясӧс юкан правилӧ вылӧ миян лоӧ гижӧд:

a/b : c/d = ad/bc.

Казялам, мый быд равенство, коді шыпасъясӧн да действийӧ пасъясӧн петкӧдлӧ лыдъяс костысь кутшӧмкӧ соотношенньӧ, шусьӧ формулаӧн.
Вайӧдам нӧшта некымын формула.
Веськыднёльпельӧсалысь подувтассӧ да джуджда мурталам кӧ ӧткодь линейнӧй единичаӧн да подувтасыс кӧ лоӧ b, а джудждаыс h, сэк тайӧ веськыднёльпельӧсалӧн s площадьыс, кодӧс выразитӧма соответствуйтан квадратнӧй единичаясӧн, выразитчас s = bh формулаӧн. Тайӧ жӧ пасйӧдъяс дырйи куимпельӧса площадьлы лоӧ со кутшӧм формула:

s = ½bh.

Физикаысь тӧдам, мый удельнӧй вес тӧдмалігӧн колӧ индӧм веществолысь вессӧ юкны сійӧ объём вылӧ. Телӧлысь кӧ сьӧкта пасъям (граммъясӧн) p-ӧн, сылысь объём (куб. сантиметръясӧн) v-ӧн да удельнӧй вес d-ӧн, ми водзын вайӧдӧм удельнӧй вес тӧдмалан правилӧ вермам дженьыда выразитны со кутшӧм формулаӧн:

d = p/v.

2. Алгебраическӧй выраженньӧ. Кор некымын лыд, кодъясӧс пасйӧма шыпасъясӧн (либӧ шыпасъясӧн да лыдпасъясӧн) да мӧда-мӧдныскӧд ӧтлаалӧма пасъясӧн, кодъяс индӧны, кутшӧм пӧрадокӧн да кутшӧм действийӧяс на вылын колӧ вӧчны, сэк татшӧм пасйӧдыс шусьӧ алгебраическӧй выраженньӧӧн.
Например, татшӧм выраженньӧяс: (a/100) × p; ab; 2x + 1.

Дженьдӧдӧм могысь ми пырджык «алгебраическӧй выраженньӧ» пыдди кутам шуны прӧста «выраженньӧ».
Шыпасъяслы лыда значенньӧ сетӧмӧн кутшӧмкӧ выраженньӧ артавны, сійӧ лоӧ сэтчӧс шыпасъяс пыдди пуктавны тайӧ лыда значенньӧяссӧ да выраженньӧын вӧчны став индӧм действийӧяссӧ; та бӧрын сюрӧм лыдыс шусьӧ лыда величинаӧн алгебраическӧй выраженньӧса шыпасъяслы тайӧ лыда значенньӧяс дырйи. Сідз, лыда величина (a/100) × p выраженньӧлӧн, кор p = 3 да a = 520, лоӧ

520⁄100 × 3 = 5,2 × 3 = 15,6.

3. Алгебраическӧй действийӧяс. Алгебраын татшӧм действийӧяс: содтӧм, чинтӧм, ӧктӧм, юкӧм, степеньӧ лэптӧм да корень перйӧм (шедӧдӧм). Первой нёль действийӧыс тӧдса нин арифметикаысь. Витӧд действийӧ — степеньӧ лэптӧм — лоӧ ӧктӧмлӧн сэтшӧм случай, кор ӧктыссьӧны ӧтгырся ӧктасъяс. Сэтшӧм ӧктасъяслӧн произведенньӧ шусьӧ степеньӧн, а налӧн лыд — степень петкӧдлысьӧн. Степеньӧ лэптан лыд шусьӧ степень основанньӧӧн. Кутшӧмкӧ лыд кӧ ӧктасӧн босьтсьӧ 2 пӧв, сэк произведенньӧыс шусьӧ мӧд степеньӧн; кутшӧмкӧ лыд кӧ ӧктасӧн босьтсьӧ 3 пӧв, сэк произведенньӧ шусьӧ коймӧд степеньӧн, да с. в. Сідз, 5-лӧн мӧд степень лоӧ произведенньӧ 5×5 = 25; ½-лӧн коймӧд степень лоӧ произведенньӧ ½·½·½ = ⅛. Лыдлӧн первой степеньӧн лоӧ ачыс сійӧ лыдыс.
Мӧд степень мӧд ногӧн шусьӧ квадратӧн, а коймӧд степень — кубӧн. Татшӧм нимъяс сетӧма сы вӧсна, мый произведенньӧ a × a петкӧдлӧ (квадратнӧй единичаясӧн) квадратлысь площадь, кодлӧн бокыс a линейнӧй единича кузьта, а произведенньӧ a × a × a петкӧдлӧ (куба единичаясӧн) кублысь объём, кодлӧн дорышыс (<rus>ребро</rus>) a линейнӧй единича кузьта.
Корень перйӧм йылысь ӧні сёрнитны ог кутӧй сы вӧсна, мый тайӧ действийӧ алгебра велӧдны заводитігӧн оз ковмы.

4. Алгебраын употребляйтчан пасъяс. Первой нёль действийӧ пасйигӧн алгебраын употребляйтчӧны сійӧ жӧ пасъяс, кутшӧм и арифметикаын, сӧмын ӧктан пас, кыдз ми шуим нин, оз гижсьы, кор кыкнан ӧктассӧ либӧ кодсӧ кӧ ӧтисӧ пасйӧма шыпасӧн. Сідз, a × b (либӧ a⋅b) пыдди гижӧны ab; 3 × a (либӧ 3⋅a) пыдди гижӧны 3a. Юкан пас пыдди кык чуткӧд (:) ӧткодя употребляйтчӧ горизонтальнӧй визь; сідз, выраженньӧ a : b да a/b петкӧдлӧны ӧтиӧс, мый a лыд юксьӧ b лыд вылӧ.
Степеньӧ лэптӧм дженьыда пасйӧны тадз: гижӧны лыд, коді босьтсьӧ ӧктасӧн (степень основанньӧ), да сы вылӧ веськыд боксянь пуктӧны мӧд лыд (степень петкӧдлысь), коді индӧ, кымынысь колӧ лэптан лыдсӧ босьтны ӧктасӧн. Сідз, 3⁴ (лыддьыссьӧ: куим нёльӧд степеньын) вежӧ пасйӧм: 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3. Лыд дорын кӧ некутшӧм степень петкӧдлысь оз сулав, позьӧ тӧдны, мый сы дорын эм степень петкӧдлысь единича; сідз, a лоӧ сійӧ жӧ, мый a¹.
Кор кык выраженньӧ ӧтыдждаӧсь, сэк найӧс петкӧдлӧны = пасӧн, а кор кык выраженньӧ абу ӧтыдждаӧсь, сэк петкӧдлӧны > пасӧн, кодлы ас ёсь помнас колӧ лоны ичӧтджык лыдлань. Сідз, гижӧма кӧ:
5 + 2 = 7
5 + 2 < 10
5 + 2 > 6,

тайӧ лоӧ: 5 + 2 равнӧй 7; 5 + 2 10-ысь этшаджык, 5 + 2 6-ысь ыджыдджык.

5. Действийӧяслӧн пӧрадок. Кутшӧм пӧрадокӧн вӧчавны алгебраическӧй выраженньӧын индӧм действийӧяс, условитчам со кыдзи: водзын вӧчны вылыс пӧрадока действийӧяс — степеньӧ лэптӧм да корень перйӧм, сэсся ӧктӧм да юкӧм, медбӧрын нин содтӧм да чинтӧм.
Сідз, гижӧма кӧ выраженньӧ: 3a²b − b³/c + d, сійӧ арталігӧн водзын колӧ вӧчны степеньӧ лэптӧм (a лыд лэптыны квадратӧ, а b лыд — кубӧ), сэсся ӧктӧм да юкӧм (3 ӧктыны a² вылӧ, лоан результатсӧ b вылӧ; b³ юкны c вылӧ), медбӧрын — содтӧм да чинтӧм (3a²b-ысь чинтыны b³/c да результат дінӧ содтыны d).
Кор задача условйӧяс серти тайӧ пӧрадокысь ковмывлӧ кежны, сэк употребляйтӧны скобкаяс. Скобкаяс петкӧдлӧны, мый найӧ пытшкӧ йӧртӧм лыдъяс вылын действийӧяс колӧ вӧчавны медводз.
Шуам, 5 + 7⋅2 да (5 + 7)⋅2 выраженньӧяс абу ӧтыдждаӧсь. Первой примерын колӧ 7-ӧс ӧктыны 2 пӧв да результатсӧ содтыны 5 дінӧ (лоӧ 19). Мӧд случайын медводз колӧ ӧтлаавны 5 да 7 да результатсӧ ӧктыны 2 пӧв (лоӧ 24).
Дзик жӧ сідз, кор гижӧма:
(a + b)c − d,
лоӧ, мый водзын колӧ ӧтлаавны a да b, сэсся сюран лыдсӧ ӧктыны c вылӧ дай, мый лоӧ, сэтысь чинтыны d.
Кор скобкаяс пытшкӧ колӧ йӧртны выраженньӧ, кодлӧн эмӧсь аслас скобкаяс, сэк выль скобкаяслы сетӧны кутшӧмкӧ мӧд форма. Например, выраженньӧ:
a{b − [c + (d − e)]}

петкӧдлӧ, мый d-ысь чинтыссьӧ e, артман коляс содтыссьӧ c дінӧ, артман сумма чинтыссьӧ b-ысь да тайӧ коляс вылӧ ӧктыссьӧ a.
Скобкаяслы сетӧма татшӧм нимъяс: гӧгрӧс скобкаяс (), квадрата скобкаяс [], фигурнӧй скобкаяс {}.
Кор выраженньӧӧ пырӧны некымын сикас скобкаяс, колӧ медпервой вӧчны действийӧяс гӧгрӧс скобкаяс пытшкӧ йӧртӧм лыдъяс вылын, сэсся квадрата скобкаяс пытшкӧс лыдъяс вылын, медбӧрын на вылын, кодъяс фигураа скобкаясын. Скобкаясын индӧм действийӧяс вӧчигӧн ми бырӧдам скобкаяс, либӧ, кыдз шуӧны, «восьталам» скобкаяс. Сідз, выраженньӧын:

5{24 − 2[10 + 2(6 − 2) − 3(5 − 2)]}

медводз восьталам гӧгрӧс скобкаяс:

5{24 − 2[10 + 2⋅4 − 3⋅3]}.

Сэсся восьталам квадратнӧй скобкаяс:

5{24 − 2⋅9}.

Медбӧрын нин восьтам фигураа скобкаяс:

5 ⋅ 6 = 30.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

1. Квадратлӧн бокыс равнӧй am, петкӧдлыны (выразитны) сылысь периметрсӧ да площадьсӧ.
2. Кублӧн ребро m см, кыдз позьӧ петкӧдлыны сылысь веркӧссӧ да объёмсӧ?
3. Веськыднёльпельӧсалӧн подувтасыс x м, а джудждаыс d метрӧн подувтассьыс дженьыдджык. Петкӧдлыны сылысь веркӧссӧ.
4. Кутшӧмкӧ кык паса лыдын x дас да y единича. Кымын единича сійӧ лыдын?
5. Куим паса лыдын a сё, b дас да c единича. Кутшӧм формулаӧн позьӧ петкӧдлыны, кымын единича ставыс тайӧ лыдас?
6. Сорлалӧма 2 сикас тшай: 1 сортыс a кг, а мӧд сортыс b кг. 1 сорт килограмм тшайыс сулалӧ m шайт, мӧд сорт килограммыс n шайт. Петкӧдлыны 1 килограмм смесьлысь дон.
7. Петкӧдлыны алгебраическӧй пасъясӧн: 1) x да y лыдъяс квадратъяслӧн сумма; 2) сійӧ жӧ лыдъяс суммалысь квадрат; 3) сійӧ жӧ лыдъяс квадратъяслысь произведенньӧ; 4) найӧ произведенньӧлысь квадрат; 5) a да b лыдъяс суммалысь найӧ разносьт вылӧ произведенньӧ; 6) m да n лыдъяс суммаӧс найӧ разносьт вылӧ юкӧмысь лоан частнӧй (частнӧй петкӧдлыны кык ногӧн: мӧд ногӧн кӧ — : пас отсӧгӧн да горизонтальнӧй визь отсӧгӧн).
8. Артавны выраженньӧяс, кор a = 20; b = 8; c = 3:
1) (a + b)c
2) a + bc
3) (a + b)a − b
4) (a + b)(a − b)
5) (a + b) : c
6) (a + b)/(b − c).
9. Гижны выраженньӧ, коді лоӧ, кор 3ab произведенньӧса a пыдди пуктам x + y сумма да b пыдди x − y разносьт.

ИСТОРИЯЫСЬ ТӦДМӦДЪЯС.

«Алгебра» кыв — арабскӧй: тайӧ кывйӧн вӧлі заводитчӧ нимыс математическӧй трудлӧн, кодӧс (820 воӧ) гижис арабскӧй учёнӧй Альхваризми.
Европаын медводз тайӧ кывйӧн 1572 воӧ нимтіс ассьыс математическӧй трудсӧ италияса математик Бомбелли. Сы бӧрын тайӧ кывйӧн кутісны пӧльзуйтчыны став математикъяс.
Тайӧ кывлӧн значенньӧыс лоӧ гӧгӧрвоана уравненньӧяс велӧдӧм бӧрти.
Шыпасъясӧн лыдъяс медводз пасъявны кутіс 1591 воын францияса математик Виета. Сы бӧрын медся ёна шыпаса пасъясӧн пӧльзуйтчис францияса философ да математик Рене Декарт (1596−1650 в.).
Пасъяс, кодъяс ӧні употребляйтчӧны алгебраын, математикаӧ пыртісны разнӧй кадъясӧ уна пӧлӧс математикъяс. Водзын действийӧяс вӧлі пасйӧны быдса кылӧн либӧ фразаӧн. Практическӧй уджъяс дырйи ӧдйӧ артасигӧн медтшӧкыда употребляйтчан кывъяс кутісны дженьдавны; дженьдалісны сэтчӧдз, мый найӧ пӧрины пасъясӧ. Индам, кутшӧм кадъясӧ лоалісны медъёна употребляйтчан пасъяс.
Содтан да чинтан пасъяс «+» да «−» пыртіс 1489ʼ воын математик немеч Видман. Сыӧдз сійӧ жӧ пасъясӧн пӧльзуйтчис италияса художник Леонардо-да-Винчи. 1557 воын английскӧй алгебраист Рекорд пыртіс равенство пас «=», либӧ, кыдз сійӧ гижліс, мый некутшӧм кык предмет оз вермыны лоны ёнджыка ӧтыдждаӧсь кык ӧткузя параллельнӧй визьяс дорысь. Англияса мӧд математик Херриот лӧсьӧдіс пасъяс «>» да «<» (1631 в.) да чут кыдз ӧктан пас.
Знаменитӧй немецкӧй математик Лейбниц (1694 в.) медводз пыртіс пас «:» юкӧм пасйыны; сыӧдз юкӧм пасйыссис визьӧн (чертаӧн).
Скобкаяс (), [], {} медводз паныдасьӧны фламандскӧй математик Жирар трудъясын (1629 в).
Эз став пасъясыс пырысь-пыр кутны употребляйтчыны. Некымын математикъяс кузяа пӧльзуйтчисны важ ногӧн. Алгебраическӧй ӧнія ногса символикаӧс позьӧ лыддьыны дзикӧдз олӧмӧ пырӧмӧн сӧмын XVІІІ нэм помсянь. Ӧнія алгебраическӧй символика вылӧ зэв ыджыд влиянньӧ сетісны английскӧй учёнӧй Исаак Ньютонлӧн сочиненньӧясыс (1642−1727 в.).

ІІ. МЕДВОДДЗА НЁЛЬ АРИФМЕТИЧЕСКӦЙ ДЕЙСТВИЙӦЯСЛӦН СВОЙСТВОЯС.

Арифметикаысь тӧдса содтӧм, чинтӧм, ӧктӧм да юкӧм действийӧяслысь медгырысь свойствояссӧ выль пӧв видлалам сы вӧсна, мый найӧ алгебраын ковлӧны зэв тшӧкыда.

6. Содтӧм. а) Содтанлыдъясӧс местаӧн вежлалӧмысь суммалӧн ыджда оз вежсьы (содтӧмлӧн переместительнӧй закон). Сідз:

3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.

Мӧд ногӧн кӧ:

a + b = b + a; a + b + c + ... = b + a + c + ... = c + a + b + ...

Чутъяс петкӧдлӧны, мый содтанъяс лыд вермас лоны куимысь унджык.
б) Суммалӧн ыджда оз вежсьы, некымын содтанлыд пыдди кӧ босьтны налысь сумма (содтӧмлӧн сочетательнӧй закон). Сідз:

3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7 + 11 + 6 + 5 = 7 + (4 + 5) + (11 + 6) = 7 + 9 + 17 = 33.

Мӧд ногӧн кӧ:

a + b + c = a + (b + c) = b + (a + c) да с. в.

Мукӧддырйи тайӧ закон шуӧны тадзи: содтанлыдъяс позьӧ ӧтлаавлыны кутшӧм колӧ группаясӧ.
в) Кор колӧ кутшӧмкӧ лыд дінӧ содтыны некымын лыдлысь сумма, позьӧ содтавны мӧда-мӧд бӧрти быд содтанлыд торйӧн. Сідз:

5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.

Мӧд ногӧн кӧ:

a + (b + c + d + ...) = a + b + c + d + ...

7. Чинтӧм. а) Кор колӧ кутшӧмкӧ лыдысь чинтыны некымын лыдлысь сумма, позьӧ чинтыны мӧда-мӧд бӧрти быд содтанлыд торйӧн. Сідз:

20 − (5 + 8) = (20 − 5) − 8 = 15 − 8 = 7.

Мӧд ногӧн кӧ:

a − (b + c + d + ... ) = a − b − c − d − ...

б) Кор колӧ содтыны кык лыдлысь разносьт, позьӧ содтыны чинтанлыдсӧ да сэсся чинтыны чинтысьлыдсӧ. Сідз:

8 + (11 − 5) = 8 + 11 − 5 = 14.

Мӧд ногӧн кӧ:

a + (b − c) = a + b − c.

в) Кор колӧ чинтыны разносьт, позьӧ чинтыны чинтанлыдсӧ да содтыны чинтысьлыдсӧ, либӧ водзын содтыны чинтысьлыд да сэсся чинтыны чинтанлыд. Сідз:

18 − (9 − 5) = 18 − 9 + 5 = 14 либӧ
18 − (9 − 5) = 18 + 5 − 9 = 14.

Мӧд ногӧн кӧ:

a − (b − c) = a − b + c,
либӧ
a − (b − c) = a + c − b.

8. Ӧктӧм. а) Ӧктасъясӧс местаӧн вежлалӧмысь произведенньӧлӧн ыджда оз вежсьы (ӧктӧмлӧн переместительнӧй закон). Сідз:
4 ⋅ 5 = 5 ⋅ 4; 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3 ⋅ 2.
Мӧд ногӧн кӧ:
ab = ba; abc... = bac... = cba...

б) Некымын ӧктасъяс произведенньӧлӧн ыджда оз вежсьы, некымынӧс кӧ на пиысь вежам найӧ произведенньӧӧн (ӧктӧмлӧн сочетательнӧй закон). Сідз:
7 ⋅ 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ (3 ⋅ 7) = 5 ⋅ 21 = 105.
Мӧд ногӧн кӧ:
abc = a(bc) = b(ac) да с. в.

в) Кутшӧмкӧ лыд кӧ колӧ ӧктыны некымын лыдысь артмӧм произведенньӧ вылӧ, позьӧ ӧктыны сійӧ лыдсӧ первой ӧктас вылӧ, артман результатсӧ ӧктас вылӧ да с. в. Сідз:
3 ⋅ (5 ⋅ 4) = (3 ⋅ 5) ⋅ 4 = 15 ⋅ 4 = 60.
Мӧд ногӧн кӧ:
a(bcd...) = abcd...

г) Кор колӧ ӧктыны некымын лыдлысь произведенньӧ кутшӧмкӧ лыд вылӧ, сэк позьӧ сійӧ лыд вылӧ ӧктыны кутшӧмкӧ ӧти ӧктас, а мукӧдсӧ кольны вежтӧг. Сідз:
(3 ⋅ 2 ⋅ 5) ⋅ 3 = (3 ⋅ 3) ⋅ 2 ⋅ 5 = 3 ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ 5 = 3 ⋅ 2 ⋅ (5 ⋅ 3).
Мӧд ногӧн кӧ:
(abc...)m = (am)bc ... = a(bm)c... да с. в.

д) Кор колӧ кутшӧмкӧ лыд вылӧ ӧктыны сумма, сэк позьӧ сійӧ лыд вылӧ ӧктыны торйӧн быд содтанлыд да артмӧм результатъяссӧ ӧтлаавны. Сідз:
(5 + 3) ⋅ 7 = 5 ⋅ 7 + 3 ⋅ 7.
Мӧд ногӧн кӧ:
(a + b + c + ...)m = am + bm + cm + ...

Ӧктан переместительнӧй закон серти тайӧ жӧ свойство позьӧ выразитны тадзи: кор колӧ ӧктыны кутшӧмкӧ лыд некымын лыдысь артмӧм сумма вылӧ, сэк позьӧ сійӧ лыдсӧ ӧктыны быд содтанлыд вылӧ торйӧн да артмӧм результатъяссӧ ӧтлаавны. Сідз:
5 ⋅ (4 + 6) = 5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 6.
Мӧд ногӧн кӧ:
m(a + b + c + ...) = ma + mb + mc + ...

Тайӧ свойствоыс шусьӧ ӧктӧмлӧн распределительнӧй законӧн сы вӧсна, мый сумма ӧктігӧн ӧктӧм распределяйтчӧ торйӧн быд содтанлыд вылӧ.

е) Распределительнӧй закон инмӧ сідзжӧ разносьтӧ. Сідз:
(8 − 5) ⋅ 4 = 8 ⋅ 4 − 5 ⋅ 4; 7 ⋅ (9 − 6) = 7 ⋅ 9 − 7 ⋅ 6.
Мӧд ногӧн кӧ:
(a − b)c = ac − bc; a(b − c) = ab − ac,
либӧ, кор колӧ кутшӧмкӧ лыд вылӧ ӧктыны разносьт, сэк позьӧ сы вылӧ ӧктыны торйӧн чинтанлыд да чинтысьлыд да воддза результатсьыс чинтыны мӧдсӧ; кор колӧ разносьт вылӧ ӧктыны кутшӧмкӧ лыд, сэк позьӧ сійӧ лыд ӧктыны торйӧн чинтанлыд да чинтысьлыд вылӧ да воддза результатсьыс чинтыны мӧдсӧ.

9. Юкӧм. а) Кор колӧ кутшӧмкӧ лыд вылӧ юкны сумма, позьӧ сійӧ лыд вылӧ юкны быд содтанлыд торйӧн да артмӧм результатъяссӧ ӧтлаавны. Сідз:
(30 + 12 + 5) : 3 = 30⁄3 + 12⁄3 + 5⁄3 = 10 + 4 + 1⅔.
Мӧд ногӧн кӧ:
(a + b + c + ...) : m = a/m + b/m + c/m + ...

б) Кор колӧ кутшӧмкӧ лыд вылӧ юкны разносьт, сэк позьӧ сійӧ лыд вылӧ юкны торйӧн чинтанлыд да чинтысьлыд да воддза результатсьыс чинтыны мӧдсӧ. Сідз:
(20 − 8) : 5 = 20⁄5 − 8⁄5 = 4 − 1⅗.
Мӧд ногӧн кӧ:
(a − b) : m = a/m − b/m.

в) Кор колӧ кутшӧмкӧ лыд вылӧ юкны произведенньӧ, сэк позьӧ сійӧ лыд вылӧ юкны кутшӧмкӧ ӧти ӧктас, а мукӧд ӧктасъяссӧ кольны вежтӧг.
(40 ⋅ 12 ⋅ 8) : 4 = 10 ⋅ 12 ⋅ 8 = 40 ⋅ 3 ⋅ 8 = 40 ⋅ 12 ⋅ 2.
Мӧд ногӧн кӧ:
(abc...) : m = (a : m)bc... = a(b : m)c... да с. в.

г) Кор колӧ кутшӧмкӧ лыд юкны некымын лыдысь артмӧм произведенньӧ вылӧ, сэк позьӧ сійӧ лыдсӧ юкны первой ӧктас вылӧ, артмӧм результат мӧд ӧктас вылӧ да с. в.
120 : (2 ⋅ 5 ⋅ 3) = [(120 : 2 ) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.
Мӧд ногӧн кӧ:
a : (bcd...) = [(a : b) : c] : d... да с. в.

д) Индам нӧшта татшӧм свойство юкӧмлысь:
Кор юканлыд да юкысьлыд ӧктам (либӧ юкам) ӧткодь лыд вылӧ, сэк частнӧйлӧн ыджда оз вежсьы.
Тайӧ свойствосӧ прӧверитам татшӧм кык пример вылын:
1) 8 : 3 = 8⁄3,
юканлыд да юкысьлыд, шуам, ӧктам 5 пӧв; сэк лоӧ выль частнӧй
(8 ⋅ 5) : (3 ⋅ 5) = (8 ⋅ 5)/(3 ⋅ 5),
коді 5 вылӧ дженьдӧдӧм бӧрти сетас важ частнӧй 8⁄3.
Нӧшта босьтам пример дробъясӧс юкӧм вылӧ:
¾ : ⅚ = (3 ⋅ 6)/(4 ⋅ 5).
Ӧктам юканлыд да юкысьлыд, шуам, 2⁄7 вылӧ; сэк лоӧ выль частнӧй:
(3⁄4 ⋅ 2⁄7) : (5⁄6 ⋅ 2⁄7),
коді дробъясӧс ӧктан да юкан правилӧяс серти сетас:
(3 ⋅ 2)/(4 ⋅ 7) : (5 ⋅ 2)/(6 ⋅ 7) = (3 ⋅ 2 ⋅ (6 ⋅ 7))/(4 ⋅ 7 ⋅ (5 ⋅ 2)) = (3 ⋅ 2 ⋅ 6 ⋅ 7)/(4 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 2),
кодӧс 2 да 7 вылӧ сократитӧм бӧрын бӧр лоас важ частнӧй (3 ⋅ 6)/(4 ⋅ 5).
Мӧд ногӧн кӧ, кӧть кутшӧм лыдъяс a, b да m эз вӧвны, а век (am) : (bm) = a : b, кодӧс позьӧ гижны и тадзи:
am/(bm) = a/b.

Ӧткодь лыд вылӧ юканлыдӧс да юкысьлыдӧс ӧктӧмысь частнӧйлӧн ыджда оз вежсьы, сідзжӧ частнӧйлӧн ыджда оз вежсьы юканлыдӧс да юкысьлыдӧс ӧткодь лыд вылӧ юкӧмысь, тадзисӧ сы вӧсна, мый кутшӧмкӧ лыд вылӧ юкӧм ӧтвына мӧдарӧ (обратнӧй) лыд вылӧ ӧктӧмлы.

10. Действийӧяслысь свойствояс применяйтӧм. Действийӧяслысь индӧм свойствояс серти позьӧ мӧдногаавны (<rus>преобразование</rus>) алгебраическӧй выраженньӧясӧс, шуам:
а) a + b + a + 2 + b + a + 8. Содтӧм сочетательнӧй свойство серти группаалам содтанлыдъяс тадзи:
(a + a + a) + (b + b) + (2 + 8).
Тайӧ сумма дженьыдджыка позьӧ гижны:
(a ⋅ 3) + (b ⋅ 2) + 10,
ӧні ӧктӧм переместительнӧй свойство серти позяс гижны тадз:
3a + 2b + 10.

б) a + (b + a). Медым a лыд дінӧ содтыны (b + a) сумма, колӧ a дінӧ содтыны b да сы бӧрти нӧшта a; лоӧ a + b + a. Содтанлыдъяссӧ группаалам тадзи:
(a + a) + b.
Тайӧ суммасӧ позьӧ гижны дженьыдджыка:
a ⋅ 2 + b; позьӧ и нӧшта дженьыда: 2a + b.

в) a ⋅ (3x²a). Медым a лыд ӧктыны 3x²a произведенньӧ вылӧ, сэк a колӧ ӧктыны 3 вылӧ, артмӧм результатсӧ ӧктыны x² вылӧ да с. в. Лоӧ a⋅3x²a. Шыпасъяссӧ алфавит пӧрадокӧн да быдса коэффициентсӧ первой местаӧ пуктӧмӧн тайӧ произведенньӧсӧ позьӧ гижны со кыдз: 3a²x².

г) (⅕ax) ⋅ 10. Медым 10 вылӧ ӧктыны произведенньӧ, колӧ 10 вылӧ ӧктыны кутшӧмкӧ ӧти ӧктас. ⅕ ӧктам 10 вылӧ, сэк лоӧ 2ax.

д) (a + x + 1) ⋅ 3. Ӧктан распределительнӧй свойство серти лоӧ 
(a ⋅ 3) + (x ⋅ 3) + (1 ⋅ 3), 
мый позьӧ гижны и тадзи:
3a + 3x + 3.

е) 9ab/3. Медым юкны 3 пельӧ произведенньӧ 9ab, позьӧ юкны куим пельӧ сӧмын ӧти ӧктас 9; юкӧм бӧрти лоӧ 3ab.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

Кутшӧм действийӧяс свойствоясӧн колӧ пӧльзуйтчыны быд примерын, медым упроститны тайӧ выраженньӧяссӧ:

10. a + b + a + b + a; x + 10 + (12 − x) + 3.
11. 5 + a(b − 5) + a; x + (a + x).
12. m + (n − m); 5aabxabxx.
13. (3xy) ⋅ (2z); (⅔ax) ⋅ 3.
14. (x + 3) ⋅ 5; 7(x + y + z).
15. (2a + 8b − 4c) : 4; (10a²b) : 2.
16. (72x − 18y) : 9; (20a²a³) : (5ax²).
17. a/4 : b/4; (15ax)/7 : (5a)/7.

МӦД ЮКӦД.

ОТНОСИТЕЛЬНӦЙ ЛЫДЪЯС ДА НА ВЫЛЫН ДЕЙСТВИЙӦЯС

1. ЫДЖДАЯС ЙЫЛЫСЬ, КОДЪЯСӦС ПОЗЬӦ ВЕЖӦРТАС СЕРТИ ГӦГӦРВОНЫ ПРОТИВОПОЛОЖНӦЯ КЫК НОГӦН.

11. 1-ой задача. Термометр петкӧдліс вой шӧрын 2°, а лун шӧрын 5°. Кымын градусӧн да кыдз вежсис температура вой шӧрсянь лун шӧрӧдз?
Тайӧ задачаын условйӧыс абу тырӧн висьталӧма; колӧ нӧшта индыны: вой шӧрын термометр петкӧдліс 2° шоныд али кӧдзыд; сэтшӧм жӧ индӧдъяс колӧ вӧчны луншӧръя температура йылысь. Шуам кӧ, вой шӧрын да лун шӧрын термометр петкӧдліс шоныд, сэк температура вой шӧрсянь лун шӧрӧдз кайис 2°-сянь 5°-ӧдз, кыптіс 3°; вой шӧрын кӧ термометр петкӧдліс 2° кӧдзыд (0° улынджык), а лун шӧрын 5° шоныд (0°-ысь вылынджык), температура кыпті −2° +5°, мӧд ног кӧ, 7° да с. в.
Тайӧ задачаын сёрни мунӧ сэтшӧм ыджда йылысь, кодлӧн эм направленньӧ: температура градус лыд позьӧ артавны нуля визьсянь вывлань дай увлань — ӧтарӧ да мӧдарӧ. Лӧсьӧдчӧмаӧсь 0° вылысджык температура (шоныд) лыддьыны положительнӧйӧн да градус лыд пасъявны + пасӧн, а 0° улысджык температура (кӧдзыд) лыддьыны отрицательнӧйӧн да градус лыд пасйыны − пасӧн (оз ло некутшӧм торксьӧм, воддза лыдъяс кӧ босьтны дзик пастӧг).
Ӧні ассьыным задача выразитам со кыдз: термометр петкӧдліс вой шӧрын −2°, а лун шӧр +5°. Кымын градусӧн да кыдз вежсис вой шӧрсянь лун шӧрӧдз температураыс? Та ногӧн задача сетӧ сӧмын ӧти определённӧй ӧтвет: температура кыпті −2° +5° = 7°.
2 задача. Кор Октябрскӧй кӧрт туй вылын (коді ӧтлаалӧ Москва да Ленинград) ӧдйӧ мунысь поезд вӧлі 100 км сайын Бологоесянь (Москваа-Ленинграда шӧркостын кымын), сэк жӧ поштӧвӧй поезд сійӧ жӧ кӧрт туй вылын вӧлі 50 км сайын Бологоесянь жӧ. Ылын-ӧ вӧліны тайӧ кык поездыс мӧда-мӧдсяньыс?
Та ногӧн тайӧ задача абу дзик определённӧй; абу висьталӧма, вӧліны-ӧ поездъясыс Бологоесянь, шуам, Ленинградлань, али найӧ вӧліны Бологоесянь мӧд-мӧдарын. Воддза ногыс кӧ эськӧ поездъяс костын расстоянньӧыс вӧлі 100 − 50 = 50 км, а мӧдыс ног кӧ, на костын вӧлі 100 + 50 = 150 км. Татысь тыдалӧ, мый, медым задача вӧлі определённӧй, оз на тырмы, кор сӧмын индӧма расстоянньӧяссӧ поездъяссянь Бологоеӧдз, колӧ нӧшта индыны, кодарланьӧ Бологоесянь колӧ лыддьыны тайӧ расстоянньӧяссӧ.
Тані миян бара сэтшӧм ыджда (величина), кодлысь размер кындзи позьӧ нӧшта видлавны и направленньӧ. Ӧткодь расстоянньӧ (шуам 100 км) поездсянь Бологоеӧдз позьӧ босьтны ӧти направленньӧӧн (шуам Москвалань), позьӧ босьтны сідзжӧ противоположнӧй направленньӧӧн (Ленинградлань).
Обыкновеннӧй арифметическӧй лыдъяс миян петкӧдлӧны сӧмын расстоянньӧлысь ыджда, а нинӧм оз петкӧдлыны направленньӧ йылысь, кодарӧ тайӧ расстоянньӧсӧ босьтӧма.
Медым миян задача лои дзик определённӧй, нӧшта колӧ расстоянньӧ ыджда петкӧдлысь лыд дінӧ содтыны индӧд направленньӧ йылысь, шуам, 100 км Москвалань, 50 км Ленинградлань.
Направленньӧ индӧдъяс позьӧ вӧчны тадзи:
Октябрскӧй кӧрт туйлысь кык направленньӧ пиысь ӧти направленньӧсӧ (шуам, Ленинградсянь Москвалань) нимтам положительнӧйӧн, а мӧдарӧ направленньӧсӧ (Москвасянь Ленинградлань) отрицательнӧйӧн. Та серти положительнӧй направленньӧа расстоянньӧяссӧ кутам шуны положительнӧй расстоянньӧясӧн, а отрицательнӧй направленньӧа расстоянньӧяссӧ кутам шуны отрицательнӧйясӧн. Первойяссӧ кутам артавны + (плюс) паса лыдъясӧн либӧ дзик пастӧг, а мӧдъяссӧ − (минус) паса лыдъясӧн.
Сідз, поезд кӧ Бологоесянь 100 км сайын Москвалань, кутам шуны, мый сылӧн Бологоесянь расстоянньӧыс лоӧ +100 км (либӧ прӧста 100 км); поезд кӧ Бологоесянь 50 км сайын Ленинградлань, сэк сылӧн Бологоесянь расстоянньӧыс лоӧ −50 км. Тані + да − пасъяс оз индыны содтӧм да чинтӧм действийӧяс, а пасйӧны направленньӧяс.
Ӧні ассьыным задачасӧ выразитам тадз: кор Октябрскӧй кӧрт туй вылын ӧдйӧ мунысь поезд Бологоесянь вӧлі +100 км сайын, сэк поштӧвӧй поезд Бологоесянь жӧ вӧлі −50 км сайын. Ыджыд-ӧ вӧлі ӧти поездсянь мӧдӧдз костыс? Ӧні задача висьталӧма буретша. Ӧтвет лоӧ ӧти, дзик определённӧй: поездъяслӧн кост вӧлі 100 + 50 = 150 км (видз. 1-ӧд серп., кӧні стрелка индӧ туйлысь положительнӧй направленньӧсӧ).

[1-ӧд серпас.]

12. Мукӧд ыдждаяс (величинаяс), кодъясӧс позьӧ вежӧртас серти гӧгӧрвоны противоположнӧя кык ногӧн. Воддза задачаын индӧм ыдждаясысь кындзи эмӧсь уна мукӧд сикас ыдждаяс, кодъяслӧн эм направленньӧ. Например, со кутшӧмӧсь:

<table>
доход мӧдарӧ вежӧртасӧн лоӧ рӧскод
воӧм „ „ „ ворссьӧм
содӧм „ „ „ бырӧм да с. в.

</table>

Доход, воӧм, содӧм... кутам кӧ лыддьыны положительнӧй ыдждаясӧн да налысь лыдъяс пасйыны + пасӧн (либӧ дзик пастӧг), рӧскод, ворссьӧм, бырӧм... ковмас лыддьыны сэтшӧм нога жӧ ыдждаясӧн, но сӧмын отрицательнӧйӧн да налысь лыдъяс пасйыны − пасӧн; сэк позьӧ шуны, мый рӧскод — отрицательнӧй доход, ворссьӧм — отрицательнӧй воӧм да с. в. Татшӧм лӧсьӧдчӧм бӧрти лоӧны гӧгӧрвоанаӧсь татшӧм кыла (словеснӧй) выраженньӧяс: патераясысь жилищнӧй тӧвариществолы воӧма доход: январын +200 ш., февральын +150 ш., мартын −50 ш. (мартын воӧма убыток 50 ш.); либӧ татшӧм: ыджыд воклӧн вӧлӧма овмӧс 500 ш. дон, шӧръя воклӧн 300 ш. дон, ичӧт воклӧн −500 ш. дон (ичӧт воклӧн вӧлӧма уджйӧз 500 ш.).
Колӧ индыны, мый направленнӧй ыдждаясысь ӧтдор эмӧсь уна мукӧд ыдждаяс, кодъяслысь направленньӧ индыны он вермы; ыдждаяс, кыдз объём, площадь да мукӧдӧс противоположнӧя кык ногӧн гӧгӧрвоны оз позь.

13. Относительнӧй лыдъяс. Арифметика велӧдан лыдъясӧн позьӧ петкӧдлыны сӧмын сэтшӧм ыдждаяс, кодъяслӧн направленньӧяс абуӧсь, кор колӧ тӧдны ыдждалысь сӧмын размер (шуам, расстоянньӧлысь колӧ тӧдны сӧмын размер, а оз направленньӧ). Алгебраын велӧдан лыдъяс петкӧдлӧны ыдждаяслысь размеръяс да налысь направленньӧяссӧ. Та вӧсна ӧти ногӧн гӧгӧрвоана ыдждаясӧс петкӧдлӧны + паса лыдӧн, тайӧ жӧ ыдждасӧ, кор сійӧ гӧгӧрвоӧны мӧдарӧ, петкӧдлӧны − паса лыдӧн.
+ паса лыд (вермас и лоны пастӧг) шусьӧ положительнӧй лыдӧн; − паса лыд шусьӧ отрицательнӧй лыдӧн; сідз, +10, +½, +0,3 положительнӧй лыдъяс, а −8, −7⁄5, −3,25 отрицательнӧй лыдъяс. Лыдъяс дінӧ нӧшта йитӧны 0 (нуль). 0 абу положительнӧй ни абу отрицательнӧй лыд. Выраженньӧяс −0 да прӧста 0 ӧтвынаӧсь.
Арифметическӧй (обыкновеннӧй) лыдъяс водзын некутшӧм пасъяс абуӧсь. Положительнӧй да отрицательнӧй лыдъяс да 0 шусьӧны относительнӧй лыдъясӧн, либӧ алгебраическӧй лыдъясӧн.
Относительнӧй лыдӧс кӧ босьтам пастӧг, сэк кольӧ относительнӧй лыдлӧн абсолютнӧй величина (абсолютнӧй ыджда); сідз, −10 лыдлӧн абсолютнӧй величина лоӧ 10; абсолютнӧй величина +5-лӧн эм 5.
Кык относительнӧй лыд ӧтыдждаӧсь, кор налӧн ӧтыдждаӧсь абсолютнӧй величинаясыс да пасъясыс.

14. Лыда (<rus>числовой</rus>) чӧрс вылӧ лыдъясӧс пасйӧм. Веськыд визь вундӧгӧн шусьӧ веськыд визьлӧн тор, кодӧс кыкнан помсянь вундӧма, шуам, ӧтар дорсянь A чутӧн, а мӧдарсянь B чутӧн (2‐ӧд серпас). Быд вундӧгысь позьӧ аддзыны: 1) сылысь кузьта да 2) направленньӧ, коді сійӧ визьторйыслы вермас лоны кык нога. Сідз, босьтӧм вундӧгын направленньӧыс вермас лоны A чутсянь B чутлань либӧ мӧдарӧ, B-сянь A-лань. Босьтӧм вундӧг кузьта направленньӧ кӧ кутам артавны A-сянь B-лань, сэк A чут ми кутам шуны вундӧг заводитанӧн, а B чут — вундӧг помӧн. [2-ӧд серпас.]
Татшӧм отрезокъяс отсӧгӧн позьӧ син водзын петкӧдлыны относительнӧй лыдъясӧс со кыдзи: босьтам кутшӧмкӧ (шуам, горизонтальнӧй) веськыд визь да лӧсьӧдчам кык направленньӧысь ӧтиксӧ лыддьыны положительнӧйӧн (3‐ӧд серпас). Шуам, шуйгавывсянь веськыдвывлань направленньӧ мед лоӧ положительнӧй (индӧма стрелкаӧн); мӧдарӧ направленньӧ — веськыдвывсянь шуйгавывлань — ми кутам лыддьыны отрицательнӧйӧн. Водзӧ, босьтам кутшӧмкӧ кузьта a единича пыдди (петкӧдлӧма серпас вылын). Медым ӧні лоӧ сетӧма кутшӧмкӧ положительнӧй лыд, шуам, +5,4. Веськыд визь вылын босьтам произвольнӧ A чут; мед сійӧ лоӧ вундӧг заводитанінӧн; A чутсянь веськыдвывлань пуктам 5,4 кузьта единича. Сэк лоӧ AB вундӧг, кодлӧн кузьтаыс 5,4 единича, а направленньӧыс положительнӧй. Вундӧглӧн B помыс и петкӧдлӧ +5,4. Ӧні босьтам отрицательнӧй лыд, шуам, −4. Медым сійӧ петкӧдлыны, сійӧ жӧ A чутсянь пуктам шуйгавыв кузьталысь 4 единича. Сэк артмас AC вундӧг, кодлӧн кузьта = 4 единича, а направленньӧыс отрицательнӧй, AC отрезоклӧн C помыс петкӧдлӧ −4. [3-ӧд серпас.]
Тадз позьӧ веськыд визь кузя A чутсянь пуктавны став относительнӧй лыдъяссӧ. Тайӧ лыдъясыс лоӧны ӧти веськыд визь вылынӧсь да заводитчӧны A чутсянь. Вундӧгъяслӧн помъясыс петкӧдлӧны относительнӧй лыдъясӧс. A чутсянь веськыдвывланьын сулалысь чутъясыс кутасны петкӧдлыны положительнӧй лыдъяс, а A-сянь шуйгавывланьын сулалысь чутъясыс кутасны петкӧдлыны отрицательнӧй лыдъяс. Тайӧ веськыд визь вылын нуль пасйыссьӧ A чутӧн. Татшӧм веськыд визьыс тшӧкыда шусьӧ лыда веськыд визьӧн либӧ лыда чӧрсӧн.
Вундӧглӧн направленньӧыс, кодлӧн помъясыс петкӧдлӧны + паса лыд, лоӧны мӧдараӧн (противоположнӧйӧн) − пасӧн лыд петкӧдлысь вундӧг направленньӧлы, сідзжӧ и тайӧ пасъяссӧ шуӧны мӧдарӧ пасъясӧн. Быд кык лыд, кыдз +3 да −3; +½ да −½ да с. в., кодъяслӧн пасъясыс мӧдараӧсь (противоположнӧйӧсь), а абсолютнӧй лыдъясыс ӧтыдждаӧсь, шусьӧны мӧдарӧ лыдъясӧн.
Ӧні видзӧдлам, кыдз вӧчсьӧны различнӧй действийӧяс относительнӧй лыдъяс вылын.

ІІ. ОТНОСИТЕЛЬНӦЙ ЛЫДЪЯС СОДТАЛӦМ.

15. Задача. Кооперативнӧй тӧвариществолы воис прибыль январын a шайт да февральын b шайт. Уна-ӧ прибыль воис 2 тӧлысьӧн?
Тайӧ задача решитӧм вылӧ гижам формула. Тыдалӧ, мый 2 тӧлысся прибыль лоӧ быд тӧлысьын воӧм прибыльяс сумма ыджда. Корсян сумма пасъям x-ӧн; сэк лоӧ формула:
x = a + b.
Но кооперативлы найӧ пиысь ӧти тӧлысяс либӧ кыкнан тӧлысяс прибыль пыдди вермас лоны убытка. Медым миян формула татшӧм случайяс дырйи оз вошты ассьыс вынсӧ, колӧ a да b шыпасъяс пыдди подразумевайтны относительнӧй лыдъяс, мӧд ног кӧ — положительнӧйӧс либӧ отрицательнӧйӧс, сы серти, тайӧ тӧлысьнас вӧлі прибыль али убыток. Сідзкӧ, миянлы колӧ тӧдны, кыдзи содтавны относительнӧй лыдъясӧс.

16. Кык лыд содтӧм. Медводз видзӧдлам кык частнӧй случай относительнӧй лыдъяс содтӧмын.
а) Кык противоположнӧй лыдъяслӧн сумма нуль ыджда. Сідз:
(+5) + (−5) = 0; (−3) + (+3) = 0; (+4,7) + (−4,7) = 0.
Мӧд ногӧн кӧ:
(+a) + (−a) = 0.
Тадзи лоӧ сы вӧсна, мый кооперативлы кӧ ӧти тӧлысьын воис прибыль, а мӧдын сы мында жӧ убыток, результатын кооперативлӧн кык тӧлысь чӧжнас эз ло ни прибыль ни убыток.
Сідз жӧ, поезд кӧ станциясянь муніс ӧтарӧ 5 км да сійӧ жӧ поезд муніс мӧдарӧ 5 км, поезд бӧр лои станцияын — некодарӧ эз вешйы.
б) Кутшӧмкӧ лыд дінӧ содтыны нуль либӧ нуль дінӧ содтыны кутшӧмкӧ лыд — лоӧ сійӧ жӧ, мый лыд кольны вежтӧг. Сідз:
(+75) + 0 = +75; (−75) + 0 = −75;
0 + (+3,5) = +3,5; 0 + (−3,5) = −3,5.
Мӧд ногӧн кӧ:
(+a) + 0 = +a; (−a) + 0 = −a.
Тадзи лоӧ сы вӧсна, мый кооперативлы кӧ воддза тӧлысьын воис 75 ш. прибыль либӧ убыток, а мӧдын прибыль ни убыток эз ло, сэк сылӧн кольӧ либӧ прибыль либӧ убыток, коді воис воддза тӧлысьын. 
Кослам 15-ӧд §-са задачаӧ. Ми сійӧ решитӧм вылӧ гижлім общӧй формула: x = a + b.
Видзӧдлам различнӧй случайяс, кодъяс вермасны паныдасьны a да b шыпасъясӧс лыдъясӧн вежигӧн.
1-ой случай. Быд тӧлысьын воӧма прибыль. Шуам, воддза тӧлысьын прибыль воӧма 200 ш., а мӧдын 150 ш.
Тайӧ случайын a = +200; b = +150. Сідзкӧ,
x = (+200) + (+150) = +350, кооперативлы кык тӧлысьӧн воӧма 350 ш. прибыль.
2-ӧд случай. Быд тӧлысьын воӧма убыток. Шуам, воддза тӧлысьын 200 ш., а мӧдын 150 ш.
Тайӧ случайын a = −200; b = −150. Сідзкӧ,
x = (−200) + (−150) = −350,
мӧд ног кӧ, кооперативлы кык тӧлысьӧн воӧма 350 ш. убыток.
Тайӧ примеръясысь позьӧ вӧчны татшӧм вывод:
Кор колӧ содтавны ӧткодь паса кык лыд, сэк колӧ налысь содтыны абсолютнӧй величинаяссӧ да пуктыны сійӧ пас, коді вӧлі.
3-ӧд случай. Ӧти тӧлысьын воӧма прибыль, а мӧдын убыток, сӧмын сідз, мый прибыль убытокысь ыджыдджык. Шуам, воддза тӧлысьын воӧма 200 ш. прибыль, а мӧдын 150 ш. убыток.
Тайӧ случайын: а = +200; b = −150. Тыдалӧ, мый итогын кооперативлы воис 50 ш. прибыль, мӧд ног кӧ:
x = (+200) + (−150) = +50.
4-ӧд случай. Ӧти тӧлысьын воӧма прибыль, а мӧдын убыток, сӧмын сідз, мый прибыль убытокысь этшаджык. Шуам, воддза тӧлысьын воӧма убыток 200 ш., а мӧдын 150 ш. прибыль.
Тайӧ случайын: a = −200; b = +150. Тыдалӧ, мый итогын кооперативлы воис 50 ш. убыток, мӧд ног кӧ:
x = (−200) + (+150) = −50.
Бӧръя кык примерысь позьӧ вӧчны татшӧм вывод:
Кор колӧ содтыны кык разнӧй паса лыд, колӧ корсьны найӧ абсолютнӧй величинаяслысь разносьт да пуктыны сы водзӧ ыджыдджык лыдлысь пас.
Положительнӧй лыд водзысь + пас шыбитӧмӧн, вылӧ гижӧм равенствояс ми вермам гижны дженьыдджыка:
200 + (−150) = 50; −200 + 150 = −50.

17. Содтан правилӧяслӧн мӧд выраженньӧ. Водзын индӧм кык содтан правилӧясӧс позьӧ вежны применяйтӧм вылӧ зэв удобнӧй мӧд кык правилӧӧн:
а) Положительнӧй лыд содтыны лоӧ сійӧ жӧ, мый сылысь содтыны абсолютнӧй величина. Сідз:
(+7) + (+3) = + 10 да (+7) + 3 = 7 + 3 = 10;
(−7) + (+3) = −4 да (−7) + 3 = −7 + 3 = −4.

б) Отрицательнӧй лыд содтыны лоӧ сійӧ жӧ, мый сылысь абсолютнӧй величина чинтыны. Сідз:
(+7) + (−10) = −3 да (+7) − 10 = 7 − 10 = −3;
(−7) + (−10) = −17 да (−7) − 10 = −7 − 10 = −17.
Тайӧ кык правилӧ дженьыда позьӧ выразитны кык пӧвста паса формулаясӧн:
+(+а) = +а; +(−а) = −а.

18. Куим да унджык лыд содтӧм. Водзын корсьӧны кык лыдлысь сумма, сы дорӧ содтӧны коймӧд содтанлыд да с. в. Шуам, колӧ корсьны сумма:
(+8) + (−5) + (−4) + (+3),
кодӧс позьӧ дженьыдджыка гижны тадз:
8 + (−5) + (−4) + 3.
Содтӧм вӧчам татшӧм пӧрадокӧн:
8 + (−5) = 3; 3 + (−4) = −1; (−1) + 3 = 2.

Таысь кындзи, тайӧ пӧрадокӧ абу быть кутчысьны, сы вӧсна (кыдз ми регыд аддзам 25 § вылысь), мый содтанлыдъяссӧ позьӧ вежлавны местаяснаныс да ӧтлаӧдны кӧть кутшӧм группаясӧ.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

18. (+7) + (+3)
(−7) + (−3)
(+½) + (2½)
19. (−½) + (−2½)
(+10) + (−2)
(+10) + (−12)
20. (−5) + (+5)
(−5) + (+2)
4 + (−3)
21. (−4) + 3
8 + (−10)
(−8) + 10
22. (+8) + (−5) + (−3) + (+2)
23. (−7) + (−3) + (−1) + (+11).

ІІІ. ОТНОСИТЕЛЬНӦЙ ЛЫДЪЯСӦС ЧИНТӦМ.

19. Задача. Фабрикалы кык тӧлысьӧн, январын да февральын, воӧма a шайт прибыль. Ыджыд-ӧ февраль тӧлысьын прибыльыс, кор тӧдам, мый январын прибыльыс b шайт?
Кык тӧлысся прибыль эм быд тӧлысьын торйӧн босьтӧм прибыльлӧн сумма, таысь кындзи прибыльыс мукӧддырйи вермас петкӧдчыны положительнӧй лыдӧн, мукӧддырйи отрицательнӧй лыдӧн.
Сідзкӧ, корсян прибыль, кодӧс босьтӧма февраль тӧлысьын, вермас лоны положительнӧй либӧ отрицательнӧй лыдӧн, коді содтӧм правилӧяс серти январын босьтӧм прибылькӧд ӧтлаалӧм бӧрти суммаын сетас кык тӧлысся прибыль. Миян задачаын сетӧма сумма a да ӧти содтанлыд b, тайӧяс серти колӧ корсьны мӧд содтанлыд.
Действийӧ, код дырйи кык содтанлыдысь лоан сумма да найӧ пиысь ӧти содтанлыдыс серти корссьӧ мӧд содтанлыд, шусьӧ чинтӧмӧн, кӧть мед кутшӧм — арифметическӧй либӧ относительнӧй — лыдъяс эз вӧвны сетӧмаӧсь. Та дырйи, сетӧм сумма шусьӧ чинтанлыдӧн, сетӧм содтанлыд чинтысьлыдӧн, а корсянь лыд — разносьтӧн (либӧ колясӧн). Татысь петӧ, мый чинтӧм ми век вермам прӧверитны содтӧмӧн: кор сюрӧ коляс, сійӧс колӧ содтыны чинтысьлыд дінӧ; суммаын кӧ лоӧ чинтанлыд, сэк чинтӧм вӧчӧма лючки.

20. Корсьны разносьт кыдзи ӧтиксӧ кык содтанлыд пиысь. Миян задачаын корсян разносьт x-ӧн пасйӧм бӧрти, вермам гижны чинтӧмлысь формула:
x = a − b.
Корсям (a − b) разносьтлысь ыджда со кутшӧм частнӧй случайясын:
а) Шуам, a = +1000; b = +400. Тайӧ лоӧ, мый январын фабрикалы воӧма 400 ш. прибыль, а кык тӧлысьӧн прибыльыс ставыс воӧма 1000 ш. Тыдалӧ, мый февральын прибыль жӧ воӧма. Лоӧ:
x = (+1000) − (+400) = +600,
прӧстӧйджыка кӧ:
1000 − 400 = 600.
Содтӧмӧн прӧверитам:
(+600) + (+400) = +1000.

б) Шуам, a = +1000; b = +1000. Тайӧ лоӧ, мый январын фабрикалы воис 1000 ш. прибыль да кыкнан тӧлысьысь коли сійӧ жӧ прибыльыс. Тыдалӧ, мый февральын фабрика эз сет ни прибыль ни убытка. Сідзкӧ:
x = (+1000) − (+1000) = 0.
Прӧверитам содтӧмӧн:
(+1000) + 0 = 1000.
Чинтӧм вӧчӧма лючки. Тадзикӧн жӧ мӧвпалӧмӧн аддзам, мый:
(−1000) − (−1000) = 0.

в) a = +1000; b = +1200. Тайӧ лоӧ, январын фабрикалы воис 1200 ш. прибыль, а кык тӧлысьын став прибыльыс лои 1000 ш. Тыдалӧ, мый 200 шайт январын босьтӧм прибыльысь муні февральын босьтӧм убыток вевттьӧм вылӧ. Татысь:
(+1000) − (+1200) = −200,
либӧ прӧстӧйджыка:
1000 − 1200 = −200.
Прӧверитам содтӧмӧн:
(−200) + (+1200) = +1000.

г) a = +1000; b = −200. Тайӧ лоӧ, январын фабрика сетіс 200 ш. убыток, а кык тӧлысся итогын лои 1000 ш. прибыль. Тыдалӧ, мый тайӧ прибыльсӧ сетіс февраль да нӧшта вевттис январын босьтӧм 200 шайта убыток, мӧд ног кӧ, февраль тӧлысьын прибыль вӧлӧма 1200 ш. Татысь:
x = (+1000) − (−200) = +1200, либӧ x = 1000 − (−200) = 1200.
Прӧверитам содтӧмӧн:
(+1200) + (−200) = +1000.

д) a = −100; b = +800. Тайӧ лоӧ, мый январын воис 800 ш. прибыль, а кык тӧлысьӧн лои 100 ш. убыток. Тыдалӧ, мый февраль сетіс убыток, коді бырӧдіс январын босьтӧм 800 шайта прибыльсӧ да и нӧшта на коли 100 шайт убыток, мӧд ног кӧ, февральын босьтӧм став убытокыс вӧлі 900 ш. Татысь:
x = (−100) − (+800) = −900, либӧ x = −100 − 800 = −900.
Прӧверитам содтӧмӧн:
(−900) + (+800) = −100.

е) a = −100; b = −150, мӧд ног кӧ: январын убыток 150 ш., а кык тӧлысьӧн убыток жӧ 100 ш. Сідзкӧ, февральын лоӧма 50 ш. прибыль, коді вевттис январын босьтӧм убытокысь 50 шайт. Татысь:
x = (−100) − (−150) = +50.
Прӧверитам содтӧмӧн:
50 + (−150) = −100.

21. Чинтан правилӧ. Воддза параграфын вайӧдӧм примеръяс вылӧ видзӧдӧмӧн, ми вермам казявны, мый миянӧн видлалӧм быд случайын ми эськӧ вермим сетӧм лыд чинтӧм вежны сылы мӧдара лыд содтӧмӧн.
Босьтам случай а):
(+1000) − (+400) = +600.
400 лыд чинтӧм пыдди содтам сылы мӧдара лыд −400:
(+1000) + (−400) = +600.
Лои сійӧ жӧ результат.
Босьтам случай г):
(+1000) − (−200) = +1200.
Чинтӧм вежам мӧдара лыд содтӧмӧн:
(+1000) + (+200) = +1200.
Результат сійӧ жӧ.
Нӧшта босьтам случай д):
(−100) − (+800) = −900.
Но дзик жӧ тадз:
(−100) + (−800) = −900.
Тайӧ жӧ позьӧ петкӧдлыны став мукӧд случайяс йылысь.
Тадзикӧн быд случайын сетӧм лыдӧс чинтӧм позьӧ вежны чинтанлыд дінӧ чинтысьлыдлы мӧдара лыд содтӧмӧн. Мӧд кылӧн кӧ, чинтӧм действийӧ ми вермам вежны содтӧм действийӧӧн, кодӧс вӧчны кужам нин. Татысь петӧ правилӧ:
Медым чинтыны кутшӧмкӧ лыд, сэк колӧ чинтанлыд дінӧ содтыны чинтысьлыдлы мӧдара лыд.

22. Кык пӧвста пасъяслӧн формулаяс. Тайӧ правилӧ серти положительнӧй лыд +a чинтӧм позьӧ вежны отрицательнӧй лыд −a содтӧмӧн, а отрицательнӧй лыд −a чинтӧм позьӧ вежны положительнӧй лыд +a содтӧмӧн; тайӧ позьӧ выразитны татшӧм кык пӧвста паса формулаясӧн:
−(+a) = −a; −(−a) = +a.

23. Алгебраическӧй сумма да разносьт. Относительнӧй лыдъяс тӧдігӧн быд разносьт позьӧ бергӧдны суммаӧ; мӧдарӧ, быд сумма позьӧ бергӧдны разносьтӧ. Например, 7 − 3 разносьт позьӧ гижны тадзи: (+7) + (−3), либӧ прӧстӧйджыка: 7 + (−3); 4 + 2 сумма позьӧ гижны: (+4) − (−2), либӧ 4 − (−2).
Та ногӧн жӧ быд выраженньӧ, кытчӧ пырӧны содтӧмъяс да чинтӧмъяс, позьӧ бергӧдны суммаӧ. Пример:
20 − 5 + 3 − 7 = 20 + (−5) + 3 + (−7).
Та серти алгебраын содтӧмлысь да чинтӧмлысь став случайяс позьӧ ӧтлаавны ӧти действийӧӧ, кодӧс шуӧны алгебраическӧй содтӧмӧн.
Сумма, кӧні содтанлыдъяс вермасны лоны положительнӧйӧн, отрицательнӧйӧн да нуль ыдждаӧсь, шуӧны алгебраическӧй суммаӧн. Арифметическӧй суммаын содтанлыдъясыс обыкновеннӧй лыдъяс. Сідзжӧ разносьт шусьӧ алгебраическӧйӧн, сыын кӧ чинтанлыдыс да чинтысьлыдыс — относительнӧй лыдъяс.

24. Ыджда серти относительнӧй лыдъясӧс ӧтластитӧм. Кор ми шуам, мый 10 ыджыдджык 7-ысь, лоӧ, мый 10 − 7 разносьт положительнӧй лыд, сэки жӧ, кор 7 − 10 разносьт эм отрицательнӧй лыд. Шусям паськӧдны тайӧ поняттьӧсӧ ыджыдджык да ичӧтджык йылысь относительнӧй лыдъяс вылӧ: кутам лыддьыны, мый относительнӧй лыд a ыджыдджык мӧд относительнӧй лыд b-ысь сэк, кор a − b разносьт положительнӧй лыд; a ичӧтджык b-ысь сэк, кор a − b разносьт отрицательнӧй лыд. Та дырйи колӧ тӧдны, мый:
1. Быд положительнӧй лыд ыджыдджык нульысь да быд отрицательнӧй лыдысь; пример, 8 > 0; 8 > − 10 сы вӧсна, мый 8 − 0 да 8 − (−10) разносьтъяс кыкнаныс положительнӧй лыдъяс.
2. Быд отрицательнӧй лыд ичӧтджык нульысь да быд положительнӧй лыдысь; пример, −5 < 0; −5 < +2 сы вӧсна, мый −5 − 0 да −5 − (+2) разносьтъяс отрицательнӧй лыдъяс.
3. Кык отрицательнӧй лыдысь сійӧ лыд ыджыдджык, кодлӧн абсолютнӧй величинаыс ичӧтджык; сідз, − 5 > −12 сы вӧсна, мый разносьт −5 − (−12) положительнӧй лыд (+7).
Тайӧ куим положенньӧсӧ бура позьӧ петкӧдлыны лыда чӧрс вылын. Босьтам произвольнӧй кузьта a единича (4-ӧд серпас). Шуам, мый кутшӧмкӧ веськыд визь кузя A чутсянь, кыдз вундӧг заводитанінсянь, пукталӧма веськыдвыв +1, +2, +3, +4... положительнӧй лыдъяс мыччӧдлан вундӧгъяс, а шуйгавыв −1, −2, −3, −4... отрицательнӧй лыдъяс мыччӧдлан вундӧгъяс. Сэк сійӧ визь кузя шуйгавывсянь веськыдвывлань мунігӧн (индӧма стрелкаӧн) век кутам ичӧтджык лыдъясысь вуджавны гырысьджыкъясӧ, а мӧдарӧ мунігӧн, веськыдвывсянь шуйгавылӧ, гырысьджык лыдъяссянь ичӧтджыкъясӧ. Мӧд ногӧн кӧ, кык лыдысь сійӧ ыджыдджык, коді лыда чӧрс вылын веськыдвылынджык. [4-ӧд серпас.]
Индӧд. Кор кӧсйӧны дженьыда висьтавны, мый a положительнӧй лыд, гижӧны: a > 0; колӧ кӧ петкӧдлыны, мый a отрицательнӧй лыд, гижӧны a < 0.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

24. Ньӧбӧма тӧвар a шайтысь, а вузалӧма b шайтысь. Уна-ӧ воӧма прибыль? Колӧ артавны тайӧ прибыльсӧ, кор a = 40, b = 35. Мый петкӧдлӧ тані отрицательнӧй результатыс?
25. Кодкӧ быд тӧлысьын босьтӧ m шайт доход, а расходуйтӧ n ш. Уна-ӧ кольӧ сылӧн быд тӧлысьын? Тӧдам, m = 120, а n = 130. Мый петкӧдлӧ отрицательнӧй результатыс?
Тайӧ примеръясын колӧ вӧчны индӧм действийӧяс:
26. 12 − (−2)
5 − (−5)
(+8) − (−10)
(+1) − (−1)
27. a − (−b)
(+m) − (−n)
(+2x) − (−3x)
28. 10 + (+2) − (−4) − (+2) + (−2)
29. Артавны сумма a + b + c + d, кор a = 2, b = −3, c = −½, d = −¼.
30. Артавны разносьт m − n, кор m = −10, n = −15.
31. Выраженньӧ 10 − 2 − 3 + 7 колӧ бергӧдны относительнӧй лыдъяса суммаӧ.
32. 10 + 8 сумма бергӧдны относительнӧй лыдъяса разносьтӧ.

ІV. ОТНОСИТЕЛЬНӦЙ ЛЫДЪЯСӦС СОДТӦМЛӦН ДА ЧИНТӦМЛӦН МЕДГЫРЫСЬ СВОЙСТВОЯС.

25. Примеръясысь аддзам, мый лыдъясӧс содтӧмлӧн да чинтӧмлӧн свойствоясыс, кодъясӧс ми петкӧдлім нин арифметическӧй лыдъяслы 6 да 7 §§-ясын, ассьыныс выннысӧ кутӧны тшӧтш и относительнӧй лыдъяс дырйи.
a) Переместительнӧй закон: содтанлыдъясӧс местаӧн вежлалӧмысь сумма оз вежсьы.
(+20) + (−5) = +15; (−5) + (+20) = +15;
(−10) + (−2) + (+40) = +28
(+40) + (−10) + (−2) = +28
(−2) + (+40) + (−10) = +28 да с. в.

b) Сочетательнӧй закон: сумма оз вежсьы, некымын содтанлыд кӧ вежан суммаӧн.
Сідз, сумма арталігӧн:
(−4) + (+3) + (−1) + (+5) = +3
ми вермам кутшӧмкӧ содтанлыдъяс пыдди, шуам, мӧд да коймӧд пыдди, пуктыны водзвыв арталӧмӧн налысь сумма: (+3) + (−1) = +2. Сэк миян лоӧ: (−4) + (+2) + (+5) = 3, лои сійӧ жӧ сумма, кутшӧм вӧлі и водзын.

c) Кутшӧмкӧ лыд дінӧ медым содтыны некымын содтанлыдлысь сумма, позьӧ сійӧ лыд дінӧ содтавны быд содтанлыд мӧда-мӧд бӧрти торйӧн.
Шуам, 40 дінӧ колӧ содтыны сумма 20 + (−5) + (+7). Тайӧ позьӧ гижны тадз:
40 + [20 + (−5) + (+7)].
Ми вермам первой артавны содтан сумма:
20 + (−5) = 20 − 5 = 15; 15 + (+7) = 15 + 7 = +22
да сы бӧрын артмӧм лыд +22 содтыны 40 дінӧ:
40 + (+22) = +62.
Но та пыдди ми вермам 40 дінӧ водзын содтыны первой содтанлыд 20, сэсся мӧд содтанлыд −5 да бӧрын коймӧд содтанлыд +7:
40 + 20 = 60; 60 + (−5) = 55; 55 + (+7) = 62.
Медбӧръя сумма лоӧ сійӧ жӧ.

d) Кутшӧмкӧ лыдысь медым чинтыны некымын содтанлыдлысь сумма, позьӧ сійӧ лыдысь чинтавны быд содтанлыд мӧда-мӧд бӧрти торйӧн.
Шуам, миян колӧ 20-ысь чинтыны сумма 10 + (−4) + (−3), мый позьӧ гижны тадз:
20 − [10 + (−4) + (−3)].
Водзын ми вермам артавны чинтан сумма:
10 + (−4) = 10 − 4 = 6; 6 + (−3) = 6 − 3 = 3
да сы бӧрын артмӧм лыд чинтыны 20-ысь:
20 − 3 = 17.
Та пыдди ми вермам 20-ысь чинтыны первой воддза содтанлыд 10, сэсся мӧд содтанлыд (−4) да бӧрын коймӧд содтанлыд (−3):
20 − 10 = 10; 10 − (−4) = 10 + 4 = 14;
14 − (−3) = 14 + 3 = 17.
Миян лои сэтшӧм жӧ лыд, кутшӧм вӧлі и водзын.
Тадз жӧ позьӧ петкӧдлыны относительнӧй лыдъяс вылӧ содтӧмлысь да чинтӧмлысь мукӧд свойствояссӧ.

V. ОТНОСИТЕЛЬНӦЙ ЛЫДЪЯСӦС ӦКТӦМ (БОСЬТӦМ).

26. Задача. Октябрскӧй кӧрт туй кузя мунӧ поезд шӧркоддьӧма v км быд часын *. Лун шӧр кадын поезд вӧлі Бологоеын. Кӧні лоӧ поезд t час мысти?

* Артасьӧм кокньӧдӧм могысь ми босьтам, мый поезд мунӧ век ӧткодя, сідзжӧ и станцияясӧ сувтлӧм пыдди вылӧ ог босьтӧй.

Тайӧ задача решитӧм вылӧ петкӧдам формула. 1 часӧн кӧ поезд мунӧ v км, t часӧн мунас t пӧв унджык. Сідзкӧ, корсян туй x лоӧ:
x = vt.
Шуам кӧ, мый v = 40, а t = 3, сэк поезд Бологоесянь лоӧ 40 ⋅ 3 = 120 км сайын.
Татшӧм решитӧм оз на сет колана ӧтвет задачаса вопрос вылӧ. Ми ог тӧдӧй, кодарын поездыс Бологоесянь — Москваланьын али Ленинградланьын. Сӧмын относительнӧй лыдъяс отсӧгӧн ми вермам задачаса вопрос вылӧ сетны лючкиа ӧтвет.
Лӧсьӧдчам Ленинградсянь Москвалань направленньӧ шуны положительнӧйӧн. Сэк став расстоянньӧыс, кодӧс пондам артавны Бологоесянь Москвалань, лоӧ положительнӧйӧн, а Ленинградлань — отрицательнӧйӧн. Сідз жӧ и ӧд — ӧти часӧн мунан туй лоӧ положительнӧй, кор поезд мунӧ Москвалань, а Ленинградлань мунігӧн — отрицательнӧй.
Ӧні ми вермам сетны задачаын пуктӧм вопрос вылӧ стӧчджык ӧтвет.
Поезд кӧ муніс Москвалань, ӧд сылӧн вӧлі +40 км часӧн. Сэк 3 часӧн сійӧ муніс туй x = (+40) ⋅ 3 = +120 км, мӧд ног кӧ, поезд Бологоесянь Москвалань муніс 120 км (5-ӧд серпас). [5-ӧд серпас.]
Поезд кӧ муніс Ленинградлань, сылӧн ӧд вӧлі −40 км часӧн. Сэк 3 час мысти Бологоесянь поезд лоӧ (−40) + (−40) + (−40) = −120 км сайын Ленинградлань (6-ӧд серпас). Татысь ми аддзам, мый:
x = (−40) ⋅ 3 = −120.
Ӧні формула x = vt сетӧ стӧч ӧтвет, кӧні да кодарын лоӧ поездыс, сӧмын v колӧ босьтны положительнӧй либӧ отрицательнӧй пасӧн, поезд мунан направленньӧ серти. [6-ӧд серпас.]
Шуам кӧ, мый v = +50, а t = +4, сэк формула сетас:
x = (+50) ⋅ (+4) = +200,
мӧд ног кӧ, поезд 200 км сайын Бологоесянь Москваланьын.
Если кӧ v = −30, а t = +2, сэк:
x = (−30) ⋅ (+2) = −60,
мӧд ног кӧ, поезд 60 км сайын Бологоесянь Ленинградланьын.
Арифметикаысь тӧдам, мый быдса лыд вылӧ ӧктӧм лоӧ сэтшӧм действийӧ, кӧні ӧти лыд (ӧктанлыд) босьтсьӧ сымынысь, кымын единича мӧд лыдын (ӧктысьлыдын). Дроб вылӧ ӧктӧм лоӧ сэтшӧм действийӧ, код отсӧгӧн корссьӧ ӧктанлыдысь сэтшӧм пай, кутшӧм пай лоӧ ӧктысьлыд единичаысь.
Воддза задачаысь тыдалӧ, мый тайӧ урчитӧмъяссӧ позьӧ применяйтны отрицательнӧй лыдъясӧс ӧктігӧн, кор ӧктысьлыд положительнӧй. Шуам, колӧ −5 ӧктыны +3 вылӧ (либӧ прӧста куим вылӧ), лоӧ, мый −5 колӧ босьтны содтанлыдӧн куимысь (лоӧ −15); 0 ӧктыны 5 вылӧ, лоӧ, мый 0-ӧс колӧ босьтны 5-ысь содтанлыдӧн (артмас 0); −12 ӧктыны +¾ вылӧ (либӧ прӧста ¾ вылӧ) лоӧ, мый −12-ысь колӧ корсьны куим нёльӧд пай (артмас −9).

27. Отрицательнӧй лыд вылӧ ӧктӧм. Воддза задача вежам тадзи: лун шӧр кадӧ поезд Бологоеын. Кӧні сійӧ вӧлі 3 час сайын? Тайӧ задача решитігӧн миян бара ковмас поезд мунан ӧд ӧктыны мунан кад вылӧ. Кыкнан задачалӧн ӧтнога условйӧяс дай кыкнаныс найӧ решитчӧны ӧти ногӧн, а ӧтвет оз ло ӧткодь: ӧтвет лоӧ сы серти, кутшӧм кад ми босьтам — лун шӧрӧдз али лун шӧр бӧрын.
Медым миян формула x = vt сетіс быд случайын ӧтвет лючки, лӧсьӧдчам тадзи:
Кутам лыддьыны лун шӧр бӧръя кад положительнӧйӧн, а лун шӧрӧдз кад отрицательнӧйӧн; талы соответствуйтӧмысь t лыд лоӧ положительнӧй либӧ отрицательнӧй. Сёрни кӧ мунӧ лун шӧр бӧръя кад йылысь — положительнӧй, а лун шӧрӧдз кад йылысь кӧ — отрицательнӧй. Сідзкӧ кыкнан ӧктасыс v да t ӧні вермасны лоны положительнӧй да отрицательнӧй значенньӧаӧсь.
Видзӧдлам став случайяс, кодъяс вермасны паныдасьны миянсьыным задача решайтігӧн. Ог вунӧдӧй, мый лун шӧр кадӧ поезд Бологоеын, сійӧ мунӧ 40 км час.
1 случай. Поезд мунӧ Москвалань. Кӧні сійӧ лоӧ 3 час мысти?
Тайӧ случайын ӧд положительнӧй: v = +40; кад сідзжӧ положительнӧй: t = +3. Тайӧ случай ми видлалім нин (5‐ӧд серпас). Решитӧм бӧрын ӧтвет сюри:
x = + 40 ⋅ (+3) = +120.
2 случай. Поезд мунӧ Ленинградлань. Кӧн сійӧ лоӧ 3 час мысти?
Тан ӧд отрицательнӧй: v = −40; кад положительнӧй: t = +3. Тайӧ случай ми видлалім жӧ нин (6‐ӧд серпас). Решитӧм сетӧ:
x = (−40) ⋅ (+3) = −120.
3 случай. Поезд мунӧ Москвалань. Кӧн сійӧ вӧлі 3 час водзджык?
Тан ӧд положительнӧй: v = +40, а кад отрицательнӧй: t = −3.
Тыдалӧ, мый 3 час водзджык поезд вӧлі Ленинграда‐Бологоеа костын 120 км сайын Бологоесянь (7‐ӧд серпас).
[7-ӧд серпас.]
120 км расстоянньӧ Бологоесянь шуйгавылын кӧ, сійӧ отрицательнӧй лыд. Сідзкӧ:
x = (+40) ⋅ (−3) = −120.
4 случай. Поезд мунӧ Ленинградлань. Кӧн сійӧ вӧлі 3 час водзджык? 
Тані кад да-й ӧд кыкнаныс отрицательнӧйӧсь. v = −40; t = −3.
Тыдалӧ, мый 3 час водзджык поезд вӧлі Бологоеа-Москваа костын 120 км сайын Бологоесянь (8-ӧд серпас).
Бологоесянь Москвалань туй положительнӧй, сідзкӧ:
x = (−40) ⋅ (−3) = +120.
[8‐ӧд серпас.]
28. Ӧктан правилӧ. Воддза задачаын 40 да 3 пыдди босьтім кӧ кутшӧмкӧ мукӧд лыдъяс (тшӧтш и дроба лыдъясӧс), сэк миян мӧвпалӧмлӧн ходыс тайӧ вӧсна эськӧ эз вежсьы. Ӧні вайӧдам относительнӧй лыдъясӧс ӧктӧмлы общӧй правилӧ.
Торйӧдам став случайяссӧ, кодъяс паныдасьлісны ӧктігӧн, да найӧс лӧсьӧдам кӧть кутшӧм лыда случай вылӧ:

(+40) ⋅ (+3) = +120, либӧ (+a) ⋅ (+b) = +ab;
(−40) ⋅ (+3) = −120, „ (−a) ⋅ (+b) = −ab;
(+40) ⋅ (−3) = −120, „ (+a) ⋅ (−b) = −ab;
(−40) ⋅ (−3) = +120, „ (−a) ⋅ (−b) = +ab.

Тайӧ случайяссӧ мӧда-мӧдкӧд ӧтластитӧмӧн, ми аддзам:
1. Кыкнан ӧктаслӧн кӧ пасъясыс ӧткодьӧсь, сэк произведенньӧ лоӧ положительнӧй.
2. Ӧктасъяслӧн кӧ пасъясыс противоположнӧйӧсь, сэк произведенньӧ лоӧ отрицательнӧй.
3. Произведенньӧлӧн абсолютнӧй ыдждаыс (величина) равнӧй ӧктасъяс абсолютнӧй ыджда произведенньӧлы.
Татысь петӧ общӧй правилӧ:
Кор колӧ корсьны кык относительнӧй лыдлысь произведенньӧ, сэк колӧ ӧктыны налысь абсолютнӧй величинаяс да произведенньӧ водзӧ пуктыны + пас, кыкнан ӧктас водзас кӧ пасъясыс ӧткодьӧсь, пуктыны − пас, ӧктасъяс водзын кӧ пасъясыс противоположнӧйӧсь.
Тайӧ правилӧлӧн бӧръя часьтыс, кӧні сёрнитчӧ пасъяс йылысь, шусьӧ пасъяс йылысь правилӧӧн. Сійӧ шуӧны тадз: кык лыд ӧктігӧн ӧтсикас пасъяс сетӧны +, а разнӧйяс сетӧны −.
Вайӧдӧм примеръяссӧ видлалӧм бӧрын позьӧ сетны нӧшта мӧд правилӧ, кодӧн водзын ковмас пӧльзуйтчыны: положительнӧй лыд вылӧ ӧктігӧн ӧктанлыдлӧн пас оз вежсьы (произведенньӧлӧн лоӧ сійӧ жӧ пас, кутшӧм вӧлі ӧктанлыдлӧн); отрицательнӧй лыд вылӧ ӧктігӧн ӧктанлыдлӧн пас вежсьӧ противоположнӧй вылӧ.
Нӧшта ог вунӧдӧй, мый ӧти ӧктас кӧ нуль, сэк произведенньӧ лоӧ нуль ыджда.

29. Куим да унджык лыдлӧн произведенньӧ. Произведенньӧлӧн пас. Шуам, колӧ корсьны произведенньӧ:
(+2) ⋅ (−1) ⋅ (+3) ⋅ (−10) ⋅ (−4) ⋅ (−5).
Первой лыдӧс ӧктам мӧд вылӧ, артмӧм произведенньӧ ӧктам коймӧд вылӧ, выль артмӧм произведенньӧ нёльӧд вылӧ да с. в.
(+2) ⋅ (−1) = −2;
(−2) ⋅ (+3) = −6; (−6) ⋅ (−10) = +60;
(+60) ⋅ (−4) = −240; (−240) ⋅ (−5) = +1200.
Босьтавсисны кӧ сӧмын положительнӧй лыдъяс, сэк медбӧръя произведенньӧлӧн пас, дерт, лои +. Но кор став либӧ некымын ӧктасъяс отрицательнӧйӧсь, сэк произведенньӧ лоӧ, ӧктасъяс лыд кӧ чётнӧй, + паса, а ӧктасъяс лыд кӧ абу чётнӧй, сэк лоӧ − паса. Сідз:
1 отрицательнӧй ӧктас: (+2) ⋅ (−1) ⋅ (+3) = −6;
2 отрицательнӧй ӧктасъяс: (+2) ⋅ (−1) ⋅ (+3) ⋅ (−10) = +60;
3 отрицательнӧй ӧктасъяс: (+2) ⋅ (−1) ⋅ (+3) ⋅ (−10) ⋅ (−4) = −240 да с. в.

30. Отрицательнӧй лыдлӧн степень. Воддза §-са правилӧ применитам ӧтгырся ӧктасъясӧс ӧктӧм вылӧ, мӧд ног кӧ, степеньӧ лэптӧм вылӧ.
Корсям кутшӧмкӧ отрицательнӧй лыдлысь квадрат:
(−3)² = (−3) ⋅ (−3) = +9; (−7)² = (−7) ⋅ (−7) = +49,
мӧд ногӧн кӧ:
(−a)² = (−a) ⋅ (−a) = +a².
Отрицательнӧй лыдлӧн квадрат эм положительнӧй лыд.
Ӧні корсям отрицательнӧй лыдлысь куб:
(−2)³ = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = −8;
(−6)³ = (−6) ⋅ (−6) ⋅ (−6) = −216,
мӧд ногӧн кӧ:
(−a)³ = (−a) ⋅ (−a) ⋅ (−a) = −a³.
Отрицательнӧй лыдлӧн куб эм отрицательнӧй лыд.
Абу сьӧкыд казявны, мый отрицательнӧй лыдӧс кӧть кутшӧм чётнӧй степеньӧ лэптігӧн артмӧ положительнӧй лыд. Тадзисӧ сы вӧсна, мый отрицательнӧй ӧктасъясыс тайӧ случайын чётнӧй лыд (29 §).
Сідз:
(−3)⁴ = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = +81;
(−2)⁶ = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = +64 да с. в.
Сы вӧсна жӧ отрицательнӧй лыдлӧн быдсяма нечётнӧй степень сетӧ век отрицательнӧй лыд. Сідз:
(−3)⁵ = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = −243;
(−2)⁷ = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = −128 да с.в.
Та ногӧн:
Отрицательнӧй лыдлӧн чётнӧй степень положительнӧй лыд, а нечётнӧй степень отрицательнӧй лыд. Торйӧн пасъям:
(−1)² = (−1)⁴ = (−1)⁶ = ... = +1;
(−1)³ = (−1)⁵ = (−1)⁷ = ... = −1.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

33. (−2) ⋅ (−3)
(+7) ⋅ (−2)
(−8) ⋅ (−10);
34. (−8½) ⋅ (+2¾)
(+0,36) ⋅ (−⅜) ⋅ (−⅖);
35. (−1)²
(−1)³
(−1)⁴
(−1)⁵
36. Артавны выраженньӧ ax² + bx + c, кор a = 3; b = −4; c = −5; x = 4.
37. Артавны тайӧ жӧ выраженньӧсӧ, кор a = −4, b = 3, c = −5 да x = 4.
38. 4 ⋅ 0,5 ⋅ ½ ⋅ 0 ⋅ 0,3 ⋅ 0 − 8¾ ⋅ 0 ⋅ 0 ⋅ x.
39. (−½) ⋅ (+3,5) ⋅ (+2) ⋅ (−⅞).

VІ. ОТНОСИТЕЛЬНӦЙ ЛЫДЪЯСӦС ЮКӦМ.

31. Урчитӧм. Относительнӧй лыдъясӧс (кыдз и арифметическӧй лыдъясӧс) юкӧм лоӧ действийӧ, мыйӧн кык ӧктаслысь сетӧм произведенньӧ да на пиысь ӧти ӧктас серти корссьӧ мӧд ӧктас. Сідз, +10 юкны −2 вылӧ, тайӧ лоӧ, корсьны сэтшӧм x лыд, медым произведенньӧ (−2)x равняйтчис +10, сэтшӧм лыдӧн лоӧ −5 сы вӧсна, мый (−5) ⋅ (−2) = +10.
Тайӧ урчитӧмысь петӧ, мый юкӧм ми век вермам прӧверитны ӧктӧмӧн: частнӧй кӧ ӧктам юкысьлыд вылӧ да артмас юканлыд, юкӧм лои вӧчӧма лючки.
32. Юкан правилӧ. Относительнӧй лыдъясӧс юкӧм вылӧ видлалам со кутшӧм примеръяс:
(+10) : (+2) = +5, сы вӧсна, мый (+2) ⋅ (+5) = +10;
(−10) : (−2) = +5, „ „ „ (−2) ⋅ (+5) = −10;
(−10) : (+2) = −5, „ „ „ (+2) ⋅ (−5) = −10;
(+10) : (−2) = −5, „ „ „ (−2) ⋅ (−5) = +10.

Тайӧ примеръясысь вӧчам правилӧ: Медым ӧти лыд (юканлыд) юкны мӧд (юкысьлыд) вылӧ, колӧ юканлыдлысь абсолютнӧй ыдждасӧ (величинасӧ) юкны юкысьлыд абсолютнӧй ыджда вылӧ да результатсӧ гижны — кыкнан лыд кӧ ӧти сикас пасаӧсь, + пасӧн, а разнӧй пасаӧсь кӧ, − пасӧн.
Та ногӧн юкигӧн пасъяс йылысь правилӧ кольӧ сэтшӧм жӧ, кутшӧм и ӧктігӧн.

33. Случайяс, кор юканлыд либӧ юкысьлыд нуль ыджда. 
а) Шуам, колӧ юкны 0 кутшӧмкӧ лыд вылӧ, например, +10 вылӧ. Тайӧ лоӧ корсьны сэтшӧм лыд, кодӧс +10 вылӧ кӧ ӧктам, лоӧ 0. Сэтшӧм лыдӧн лоӧ 0, сӧмын 0, сы вӧсна, мый 0 ⋅ (+10) = 0, а произведенньӧыс кутшӧмкӧ лыдлӧн, коді абу нуль ыджда, +10 вылӧ ӧктігӧн некыдз оз вермы лоны 0 ыдждаӧн. Та ногӧн жӧ корсям:
0 : (−2) = 0, сы вӧсна, мый (−2) ⋅ 0 = 0,
0 : ¾ = 0, „ „ „ ¾ ⋅ 0 = 0 да с. в.
Сідзкӧ, кор юканлыд нуль ыджда, а юкысьлыд абу нуль ыджда, частнӧйын лоӧ нуль.
б) Ӧні шуам, медым юкысьлыд лоӧ нуль, а юканлыд кутшӧмкӧ мӧд лыд, пример (+5) : 0. Тайӧ лоӧ, мый колӧ корсьны выль лыд, кодӧс колӧ босьтны 0 вылӧ да медым лоӧ +5. Но кӧть мед кутшӧм лыд ми ог босьтӧй 0 вылӧ, век миян артмас 0, а некор оз артмы +5; сідзкӧ, частнӧй (+5) : 0 некор оз вермы лоны кутшӧмкӧ лыдӧн. Та ногӧн кӧ, оз вермы лоны некутшӧм юкӧм:
(−5) : 0; (+0,3) : 0; (−7,26) : 0 да с. в.
Юкысьлыд кӧ нуль, а юканлыд абу нуль, сэк юкӧм вӧчны оз позь.
в) Медбӧрын босьтам сэтшӧм случай, кор юканлыд да юкысьлыд кыкнаныс нуль ыдждаӧсь:
0 : 0 = ?
Тайӧ случайын частнӧй вермас равняйтчыны кӧть кутшӧм лыдлы сы вӧсна, мый быд лыд нуль вылӧ ӧктігӧн результатын сетӧ нуль.
Позьӧ гижны:
0 : 0 = 5; 0 : 0 = 7; 0 : 0 = −100 да с. в. сы вӧсна, мый
5 ⋅ 0 = 0; 7 ⋅ 0 = 0; (−100) ⋅ 0 = 0 да с. в.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

40. (+20) : (+4)
(+20) : (−4)
(−20) : (+4)
(−20) : (−4)
41. (+2a) : −2
(−5x) : x
(−7x²) : −7
42. 0 : 8
0 : ½
0 : 0,3
0 : a.

VІІ. ӦКТӦМЛӦН ДА ЮКӦМЛӦН МЕДГЫРЫСЬ СВОЙСТВОЯС.

34. Убедитчам примеръясӧн, мый арифметическӧй лыдъяс ӧктӧмлӧн да юкӧмлӧн свойствоясыс, кодъясӧс ми петкӧдлім нин 8 да 9 §§-ын, кольӧны сідзжӧ и относительнӧй лыдъяслы.
а) Переместительнӧй закон: ӧктанлыдъясӧс местаӧн вежлалӧм вӧсна произведенньӧ оз вежсьы.
Водзын сӧмын босьтам кык лыд ӧктӧм вылӧ примеръяс:
(+5) ⋅ (+2) = +10 да (+2) ⋅ (+5) = +10
(−5) ⋅ (+2) = −10 „ (+2) ⋅ (−5) = −10
(−⅗) ⋅ (−¾) = +9⁄20 „ (−¾) ⋅ (−⅗) = +9⁄20 да с. в.
Ӧні босьтам произведенньӧ, кӧні кыкысь унджык ӧктасыс. Шуам, татшӧмӧс: (−2) ⋅ (−5) ⋅ (+3). Тайӧ произведенньӧлӧн абсолютнӧй величинаыс лоӧ 2 ⋅ 5 ⋅ 3. Пас лоӧ сы серти, чётнӧй али нечётнӧй отрицательнӧй ӧктасъяслӧн лыдыс; миян примерын лоӧ + пас. Ӧктасъяссӧ кӧ вежлалам местананыс, шуам, кӧть тадз: (+3) ⋅ (−5) ⋅ (−2), лоӧ выль произведенньӧ, кодлӧн абсолютнӧй величинаыс 3 ⋅ 5 ⋅ 2, а пасыс лоӧ + либӧ −, сы серти, чётнӧй али нечётнӧй отрицательнӧй ӧктасъяслӧн лыдыс. Но 3 ⋅ 5 ⋅ 2 = 2 ⋅ 5 ⋅ 3 (арифметическӧй лыдъяс ӧктан переместительнӧй закон серти) да отрицательнӧй ӧктасъяслӧн лыд кольӧ сійӧ жӧ, кутшӧм вӧлі и водзын. Сідзкӧ, кыкнан произведенньӧлӧн абсолютнӧй ыдждаыс ӧткодьӧсь да пасъясыс ӧткодьӧсь жӧ. Та вӧсна:
(−2) ⋅ (−5) ⋅ (+3) = (+3) ⋅ (−5) ⋅ (−2).
б) Сочетательнӧй закон: произведенньӧ оз вежсьы, кор кымынкӧ ӧктас вежам найӧ произведенньӧӧн.
Медым корсьны произведенньӧ
(−5) ⋅ (+3) ⋅ (−2)
примерлысь, сэк позьӧ вӧчны сійӧ пӧрадокӧн, кыдз сулалӧны ӧктасъясыс,
(−5) ⋅ (+3) = −15; (−15) ⋅ (−2) = +30.
Мӧд ног кӧ: ми вермам кутшӧмкӧ кык ӧктас пыдди, шуам, +3 да −2 пыдди, босьтны налысь произведенньӧ, (сійӧ лоӧ −6) да сы вылӧ ӧктыны коймӧд ӧктас: (−5) ⋅ (−6) = +30. Сідзкӧ
(−5) ⋅ (+3) ⋅ (−2) = (−5) ⋅ [(+3) ⋅ (−2)].
в) Медым кутшӧмкӧ лыд ӧктыны произведенньӧ вылӧ, сэк сійӧ лыдсӧ позьӧ ӧктыны воддза ӧктас вылӧ, артмӧм произведенньӧсӧ мӧд ӧктас вылӧ да с. в. Дзик жӧ тадз: медым юкны кутшӧмкӧ лыд некымын ӧктасысь лоан произведенньӧ вылӧ, позьӧ тайӧ лыдсӧ юкны первой ӧктасыс вылӧ, результатсӧ юкны мӧд ӧктасыс вылӧ да с. в.
Сідз, медым ӧктыны +10-ӧс (−2) ⋅ (+3) произведенньӧ вылӧ, сэк ми первой вермам артавны сійӧ произведенньӧсӧ (лоӧ −6) да сэсся сы вылӧ ӧктыны +10, лоӧ −60, но сідзжӧ позьӧ +10 первой ӧктыны −2 вылӧ, артмас −20, сэсся артмӧм произведенньӧ ӧктыны +3 вылӧ, сэк петас −60. Сідзкӧ:
(+10) ⋅ [(−2) ⋅ (+3)] = (+10) ⋅ (−2) ⋅ (+3).
Мӧд ног кӧ: a(bc...) = abc...
Дзик жӧ тадз:
10 : [(−2) ⋅ (+3)] = [10 : (−2)] : (+3),
10 : [(−2) ⋅ (+3)] = 10 : (−6) = −10⁄6 = −5⁄3
[10 : (−2)] : (+3) = (−5) : (+3) = −5⁄3.
Мӧд ног кӧ: a : (bc...) = (a : b) : c...
Тадзи жӧ позьӧ казявны веськыдлунсӧ и распределительнӧй свойстволысь.
г) Петкӧдлам нӧшта юкӧмлысь татшӧм свойство: юканлыд да юкысьлыд кӧ ӧктам (либӧ юкам) ӧткодь лыд вылӧ (нульысь ӧтдор), частнӧй оз вежсьы.
Кыдз ми аддзылім (9 §, d), a/b = (am)/(bm) равенство лючки быд арифметическӧй лыдъяслы, кыдз быдсаяслы, сідз жӧ и дробъяслы. Тайӧ равенство сідзжӧ оз торксьы, кор став либӧ некымын шыпасъяс пыдди лоӧны относительнӧй лыдъяс.
Босьтам юкӧм вылӧ кутшӧмкӧ пример, 5 : 0,8 да юканлыд да юкысьлыд ӧктам, шуам, 3 вылӧ. Частнӧй оз вежсьы сы вӧсна, мый став лыдыс арифметическӧй лыдъяс; та серти вермам гижны равенство:
5/0,8 = (5 ⋅ 3)/(0,8 ⋅ 3).
Шуам, медым тайӧ равенствоын кутшӧмкӧ ӧти лыд пӧрӧ отрицательнӧйӧ; шуам, 5 пыдди лоӧ −5.
−5/0,8 = (−5 ⋅ 3)/(0,8 ⋅ 3).
Равенство эз торксьы сы вӧсна, мый абсолютнӧй величинаяс кыкнан частнӧйлӧн эз вежсьыны да кыкнаныс найӧ отрицательнӧй лыдъяс.
Тадз жӧ кокни прӧверитны, мый равенство оз торксьы, кор мӧд лыд либӧ коймӧд лыд вӧчам отрицательнӧйӧн. Сідзкӧ, a, b да m шыпасъяс пыдди кӧть кутшӧм лыдъяс эг босьтӧй — положительнӧй кӧть отрицательнӧй, — а равенство a/b = (am)/(bm) век кольӧ лючки.
Частнӧй оз вежсьы юканлыдӧс да юкысьлыдӧс ӧткодь лыд вылӧ юкӧмысь сы вӧсна, мый юкӧм ӧтвына обратнӧй лыд вылӧ ӧктӧмкӧд.
Сӧмын ог вунӧдӧй, мый лыд, код вылӧ ми ӧктам (либӧ юкам) юканлыдӧс да юкысьлыдӧс, оз вермы лоны нульӧн сы вӧсна, мый сэк 33 § в серти артмӧ неопределённӧй частнӧй.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

43. Прӧверитӧмӧн аддзам, мый тайӧ равенствояс вернӧйӧсь:
(−5) ⋅ (+2) ⋅ (−1) = (+2) ⋅ (−1) ⋅ (−5) = (+2) ⋅ (−5) ⋅ (−1)
10 ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (+5) = 10 ⋅ [(−3) ⋅ (−2) ⋅ (+5)] = 10 ⋅ (−2) ⋅ [(−3) ⋅ (+5)]
[10 + (−3) + (−2)] ⋅ (−7) = 10 ⋅ (−7) + (−3) ⋅ (−7) + (−2) ⋅ (−7)
(¾ − 0,2 + ⅞) ⋅ 0,3 = ¾ ⋅ 0,3 − 0,2 ⋅ 0,3 + ⅞ ⋅ 0,3.
44. Ӧктӧм сочетательнӧй свойство вылӧ пыксьӧмӧн, кыдзи медся бурджык артавны татшӧм произведенньӧяс:
8 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 125; 2,5 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 5; ¾ ⋅ 8,2 ⋅ 4 ⋅ 10?
45. Прӧверитны, мый 3,5 : (−7) частнӧй оз вежсьы, ми кӧ ӧктам юканлыд да юкысьлыд 4 вылӧ да сійӧс жӧ юкам кӧ −0,75 вылӧ.

КОЙМӦД ЮКӦД.

ӦТКАЧЛЕНА ДА УНАЧЛЕНА БЫДСА ВЫРАЖЕННЬӦЯС. АЛГЕБРАИЧЕСКӦЙ ДРОБЪЯС.

І. ПРЕДВАРИТЕЛЬНӦЙ ВЕЖӦРТАСЪЯС.

35. Ӧткачлен да уначлен. Алгебраическӧй выраженньӧяс юксьӧны кык группаӧ, сы серти, кутшӧм алгебраическӧй бӧръя действийӧ наӧ пырӧ.
Алгебраическӧй выраженньӧ, кӧні медбӧръя действийӧ абу содтӧм либӧ чинтӧм, шусьӧ ӧткачленӧн.
Сідзкӧ, ӧткачлен лоӧ шыпасӧн либӧ лыдпасӧн пасйӧм торъя лыд −а, +10; произведенньӧ ab, (a + b)c; частнӧй (a − b)/c; степень b²; ӧткачлен абу сумма, абу разносьт.
Ӧткачлен кӧ частнӧй, сэк сійӧ шусьӧ дроба ӧткачленӧн; став мукӧд ӧткачленъяс шусьӧны быдсаясӧн. Ӧткачлен (a − b)/c дроба ӧткачлен; (x − y)ab; a(x + b)² быдса ӧткачленъяс. Алгебра заводитігӧн ми кутам сёрнитны сӧмын быдса ӧткачленъяс йылысь, найӧс кокньӧдӧм вӧсна кутам шуны прӧста «ӧткачленъясӧн».
Алгебраическӧй выраженньӧ, коді артмӧма + да − пасъясӧн мӧда-мӧдкӧд ӧтлаасьӧм ӧткачленъясысь, шусьӧ уначленӧн. Уначленӧн лоӧ выраженньӧ:
ab − a + b² − 10 + (a − b)/c.
Торъя выраженньӧясыс, кодъясӧс + да − пасъясӧн ӧтлаалӧмысь артмис уначлен, шусьӧны сылӧн членъясӧн. Уначленлысь членъяссӧ колӧ видзӧдны тшӧтш сійӧ пасъясӧн, кодъяс на водзын сулалӧны; например, шуӧны: −a член, +b² член да с. в. Первой член водзӧ + пас оз век пуктыссьы; сідз миян примерын первой член эм ab либӧ +ab.
Выраженньӧ, кӧні кык член, шусьӧ кыкачленӧн; кӧні куим член — куимачленӧн да с. в. Уначленлӧн кӧ став членъяс быдсаӧсь, сійӧ сідзжӧ шусьӧ быдсаӧн.

36. Коэффициент. Шуам, сетӧма произведенньӧ:
a3ab(−2),
кӧні некымын ӧктас пасйӧма лыдпасӧн, а мукӧдыс шыпасъясӧн. Татшӧм произведенньӧясӧс (ӧктан сочетательнӧй закон серти) позьӧ вежны мӧд ногӧн, став ӧктассӧ, кодъясӧс выразитӧма a шыпасӧн да с. в., ӧти группаӧ чукӧртӧмӧн:
3 ⋅ (−2) ⋅ (aa)b,
мый позьӧ гижны нӧшта дженьыда: −6a²b.
Лыдпасӧн пасйӧм ӧктас, коді сулалӧ шыпаса ӧктас водзын, шусьӧ ӧткачлен коэффициентӧн. Сідз, −6ab² ӧткачленын −6 лоӧ коэффициент.
Кор коэффициент быдса положительнӧй лыд, сэк казялам, мый сійӧ петкӧдлӧ, кымынысь шыпаса выраженньӧ, код водзӧ сійӧс пуктӧма, повторяйтчӧ содтанлыдӧн; сідз, 3ab лоӧ сійӧ жӧ, мый (ab) ⋅ 3, либӧ ab + ab + ab. Коэффициент кӧ быдса отрицательнӧй лыд, сэк сійӧ петкӧдлӧ, кымынысь шыпаса выраженньӧ, код водзӧ сійӧ пуктӧма, повторяйтчӧ чинтанлыдӧн; сідз, −3x лоӧ −x − x − x. Коэффициент кӧ дроба лыд, сэк сійӧ петкӧдлӧ, кутшӧм пай босьтчӧ шыпаса выраженньӧа лыда величинаысь. Сідз, ⅔ax лоӧ сійӧ жӧ, мый ax ⋅ ⅔, а ax лыд босьтны ⅔ вылӧ лоӧ ax-ысь корсьны кык коймӧд пай.

37. Уначленлӧн свойствояс. Быд уначлен вылӧ позьӧ видзӧдны кыдз алгебраическӧй сумма вылӧ. Уначлен 2a − b + c эм сумма 2a + (−b) + (+c). Тайӧ сы вӧсна, мый +(−b) да −b выраженньӧяс ӧтвынаӧсь; +(+c) да +c выраженньӧяс ӧткодьӧсь жӧ. Та вӧсна относительнӧй лыдъяс суммалӧн (25 §) став свойствоясыс инмӧны сідзжӧ и уначленлы. Казьтыштам на костысь кыкӧс:
а) Переместительнӧй закон: уначленлӧн лыда ыджда оз вежсьы, кор сылысь членъяс (найӧ пасъясӧн) местаясӧн вежлалам.
б) Сочетательнӧй закон: уначленлӧн лыда ыджда оз вежсьы, кор сылысь кутшӧмкӧ членъяс вежам найӧ алгебраическӧй суммаӧн.
Индам уначленлысь нӧшта со кутшӧм важнӧй свойство.
в) Уначленын быд член водзысь кӧ вежам пас мӧдарӧ, сэк уначленлӧн лыда ыджда сідзжӧ вежас мӧдарӧ пассӧ, а абсолютнӧй величина уначленлӧн кольӧ вежсьытӧг.
Пример: 2a² − ab + b² − ½a уначленлӧн лыда ыджда, кор a = −4 да b = −3, лоӧ:
2(−4)² − (−4)(−3) + (−3)² − ½(−4) = 2 ⋅ 16 − 12 + 9 + 2 = 32 − 12 + 9 + 2 = 31,
а лыда ыджда −2a² + ab − b² + ½a уначленлӧн, кор воддза моз жӧ a = −4 да b = −3, лоӧ:
−2(−4)² + (−4)(−3) − (−3)² + ½(−4) = −2 ⋅ 16 + 12 − 9 − 2 = −32 + 12 − 9 − 2 = −31.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

46. Кокньӧдны (<rus>упростить</rus>) со кутшӧм выраженньӧяс:
ax ⋅ 10xaax; aa(−5)bxx(+2);
ab ⋅ ¾ ⋅ axx(−½); 5mxy(−4)mxyy.
47. Петкӧдлыны суммаӧн выраженньӧяс: 2a; 3ax; 5a²b; 4(a + 1);
48. Артавны со кутшӧм ӧткачленъяс:
7a²bc, кор a = 3; b = 2; c = 5⁄7.
0,8a(b + c), кор a = 1; b = ⅚; c = 0,25.
3(a + b)²c, кор a = 1; b = ⅚; c = 0,25.
−7x²y³, кор x = −2; y = 1.
0,52ax²y, кор a = 100, x = −3, y = −2.
49. Артавны со кутшӧм уначленъяс:
2x⁴ − x³ + 5x² − 7x + 1, кор x = 1; кор x = 2.
ax² + bx + c, кор a = 3; b = −2; c = −5; x = 1.
50. Прӧверитӧмӧн убедитчыны, мый кор x = 2, сэк кык уначлен: x³ − 2x² + 3x − 5 да −x³ + 2x² − 3x + 5 сетасны сэтшӧм лыдъяс, кодъяс абсолютнӧй величинаӧн ӧтыдждаӧсь, а пасъясӧн мӧда-мӧдыслы мӧдараӧсь.

38. Подобнӧй членъясӧс ӧтиӧ вайӧдӧм. Уначленлӧн членъяс, кодъяс мӧда-мӧдсьыс торъялӧны сӧмын коэффициентъясӧн либӧ пасъясӧн, либӧ нинӧмӧн оз торъявны, шусьӧны подобнӧйӧн. 
Шуам, уначленын:
4a − 3x + 0,5a + 8x + 3ax − 2x первой член подобнӧй коймӧдкӧд (найӧс гижтӧма ӧти визьӧн), мӧд член подобнӧй нёльӧд да квайтӧд членъяскӧд (гижтӧма кык визьӧн), витӧд членлӧн подобнӧй абу.
Уначленын кӧ эмӧсь мӧда-мӧдкӧд подобнӧй членъяс, сэк найӧс уначлен сочетательнӧй свойство серти позьӧ ӧтлаавны ӧти членӧ. Сідз, тайӧ индӧм примерысь ми вермам членъяссӧ группаавны тадзикӧн:
(4a + 0,5a) + (−3x + 8x − 2x) + 3ax.
Но тыдалӧ, мый кутшӧмкӧ лыдлӧн 4 да 0,5 сэтшӧм жӧ лыдлӧн итогын сетӧны 4,5 сійӧ жӧ лыд. Сідзкӧ, 4a + 0,5a = 4,5a. Сідз жӧ, −3x + 8x = 5x да 5x − 2x = 3x. Сідзкӧ, уначлен позяс гижны: 4,5a + 3x + 3ax.
Уначленлысь мӧда-мӧдкӧд став подобнӧй членъяссӧ ӧти членӧ ӧтлаавлӧм шусьӧ подобнӧй членъяс ӧтиӧ вайӧдӧмӧн.
Содтӧд. Ӧтыджда коэффициента, но разнӧй паса ӧткодь членъяс мӧда-мӧдсӧ бырӧдӧны; шуам, членъяс: +2a да −2a; −½x² да +½x².

Примеръяс.
1. a + 5mx − 2mx + 7mx − 8mx = a + 2mx;
2. 4ax + b² − 7ax − 3ax + 2ax = −4ax + b² = b² − 4ax;
3. 4a²b³ − 3ab + 0,5a²b³ + 3a²c + 8ab = 4,5a²b³ + 5ab + 3a²c.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

51. a³x² + 3a²x³ + ½a²x³ + a²x³;
52. 2x − 5xy − 8xy − 3,1xy − 0,2xy;
53. a + 8mxy² − 4½mxy²;
54. a − 8mxy² + 4½mxy²;
55. 5a³ − 7a²b + 7ab² + a²b − 2a³ − 8ab² + a³ − 12ab² + 3a²b;
56. x⁵ − 4ax⁴ − 2ax⁴ + 2a²x³ + 5ax⁴ − 2a²x³ + ax⁴ − 7a²x³.

ИСТОРИЯЫСЬ ТӦДМӦДЪЯС.

Отрицательнӧй лыдъяс паныдасьӧны нин греческӧй математик Диофант уджъясын (миян эраса ІV нэмӧ), но Диофант найӧс шуӧ «недопустимӧйӧн» да задачаяс решитігӧн налы некутшӧм значенньӧ оз пукты. Но сэнъясын, кӧні ковмывлӧ ӧктыны мӧда-мӧд вылӧ «−» паса кык лыд, сійӧ вӧчӧ ӧнія правилӧ ногӧн жӧ. Шуӧ: «чинтанлыд, кодӧс ӧктан чинтанлыд вылӧ, сетас содтанлыд». Сійӧ вӧчӧ со кыдз:
(7 − 3) ⋅ (5 − 2) = 7 ⋅ 5 − 7 ⋅ 2 − 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 = 12.
Индийскӧй математик Брамагупта (620 воын) сетӧ нин относительнӧй лыдъяс содтӧм да чинтӧм йылысь правилӧяс. Вайӧдам найӧ пӧвстысь некымынӧс:
«Кык имуществолӧн сумма лоӧ имущество», пример: (+2) + (+3) = 5.
«Кык уджйӧзлӧн сумма лоӧ уджйӧз», пример: (−2) + (−3) = −5.
«Имуществолӧн да уджйӧзлӧн сумма найӧ разносьт ыджда», мӧд ног кӧ (+5) + (−7) = −2.
«Нульысь чинтӧм уджйӧз лоӧ имуществоӧн, а имущество — уджйӧзӧн», пример: 0 − (−3) = +3; 0 − (+3) = −3.
Европаын нӧшта 1544 воын на математик Штифель отрицательнӧй лыдъясӧс шуис «нелепӧйӧн». Жирар ас трудъясас (1629 в.) пӧльзуйтчис нин отрицательнӧй лыдъясӧн, но дзикӧдзсӧ математикаас сюйисны Декарт (1637 в.), коді налысь вежӧртассӧ объясняйтіс, кыдз направленнӧй величинаяслысь, да учёнӧй художник Леонардо-да-Винчи (1452−1519 в.). Чинтӧм да содтӧм действийӧ петкӧдлӧм вылӧ важӧн употребляйтісны быдса латинскӧй кывъяс плюс да минус, кодъясӧс бӧрын сократитісны выланыс чертаа ӧти шыпасӧдз p да m.

ІІ. АЛГЕБРАИЧЕСКӦЙ СОДТӦМ ДА ЧИНТӦМ.

39. Ӧткачленъясӧс содтӧм. Шуам, колӧ ӧтлаавны некымын ӧткачлен: 3a; −5b; +0,2a; −7b да c.
Налӧн сумма выразитчас со кыдз:
3a + (−5b) + (+0,2a) + (−7b) + c.
Выраженньӧяс +(−5b), +(+0,2a) да +(−7b) ӧтвынаӧсь −5b, +0,2a да −7b выраженньӧяскӧд; та кузя индӧм ӧткачленъяслысь сумма позьӧ гижны прӧстӧджык, тадзи:
3a − 5b + 0,2a − 7b + c,
мый подобнӧй членъяс ӧтиӧ вайӧдӧм бӧрти сетас:
3,2a − 12b + c.

Правилӧ. Медым содтыны некымын ӧткачлен, колӧ гижны найӧс мӧда-мӧд бӧрын ас пасъяснас да вӧчны подобнӧй членъясӧс ӧтиӧ вайӧдӧм.

40. Уначленъясӧс содтӧм. Шуам, кутшӧмкӧ m алгебраическӧй выраженньӧ дінӧ колӧ содтыны уначлен a − b + c. Корсян сумма позьӧ гижны тадз:
m + (a − b + c).

Уначлен a − b + c мӧд ногӧн лоӧ сумма a + (−b) + c; но кор колӧ содтыны сумма, колӧ быд содтанлыд содтыны мӧда-мӧд бӧрти. Та серти:
m + (a − b + c) = m + a + (−b) + c.
Но содтыны −b лоӧ сійӧ жӧ, мый чинтыны b; та вӧсна:
m + (a − b + c) = m + a − b + c.

Правилӧ. Медым кутшӧмкӧ алгебраическӧй выраженньӧ дінӧ содтыны уначлен, колӧ сійӧ выраженньӧ дінӧ гижны уначленлысь быд член мӧда-мӧд бӧрти ас пасъяснас да вӧчны подобнӧй членъясӧс ӧтиӧ вайӧдӧм.
Воддза член водзын кӧ некутшӧм пас абу пуктӧма, сэк оз ков вунӧдны, мый сэсь колӧ лыддьыны +.
Пример: 3a² − 5ab + b² + (4ab − b² + 7a²).
Тайӧ примерын алгебраическӧй выраженньӧ сетӧма уначлен видӧн 3a² − 5ab + b². Индӧм правилӧяс серти аддзам:
3a² − 5ab + b² + (4ab − b² + 7a²) = 3a² − 5ab + b² + 4ab − b² + 7a² = 10a² − ab.

Индӧд. Содтыны сетӧм уначленъяслӧн кӧ эмӧсь ӧткодь членъяс, сэк содтанлыдъяс бурджык гижавны мӧда-мӧд улӧ сідз, медым ӧткодь членъяс сулалісны мӧда-мӧд улынӧсь:
3a² − 5ab + b²
+
7a² + 4ab − b²
_________
10a² − ab

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

Содтыны татшӧм уначленъяс мӧда-мӧд улӧ гижалӧмӧн (ӧткодь членъясӧс ӧткодь членъяс улӧ):
57. (2x − y − z) + (2y + z − x) + (2z − x − y);
58. (3x³ − 4x² + 2x − 1) + (2x² − 3x + 4) + (x³ − 2 + 4x + 3x²);
59. (4a³ − 5a²b + 7ab² + 9b³) + (−2a³ + 4a²b − ab² − 4ab³) + (8ab² − 10a²b + 6a³ + 10b³).

41. Ӧткачленъясӧс чинтӧм. Шуам, колӧ 10ax ӧткачленысь чинтыны ӧткачлен −3ax. Корсян разносьт лоӧ:
10ax − (−3ax).
−3ax лыд чинтігӧн чинтӧм действийӧ правилӧ серти позьӧ вӧчны противоположнӧй паса лыд содтӧмӧн. Татшӧм лыдыс эм +3ax, сідзкӧ:
10ax − (−3ax) = 10ax + (3ax) = 10ax + 3ax = 13ax.

Правилӧ. Медым чинтыны ӧткачлен, сэк колӧ сійӧс чинтанлыд дінӧ гижны противоположнӧй пасӧн (сэсся, лоӧны кӧ, вӧчны подобнӧй членъясӧс ӧтиӧ вайӧдӧм).

42. Уначленӧс чинтӧм. Шуам, колӧ кутшӧмкӧ m алгебраическӧй выраженньӧысь чинтыны уначлен a − b + c. Разносьт лоӧ:
m − (a − b + c).
Та вылӧ чинтӧм действийӧ правилӧ серти сӧмын m дінӧ колӧ содтыны противоположнӧй (a − b + c) лыд. Сэтшӧм противоположнӧй лыднас лоӧ: −a + b − c. Та серти:
m − (a − b + c) = m + (−a + b − c).
Ӧні уначленъяс содтӧм правилӧ серти лоӧ:
m − (a − b + c) = m − a + b − c.

Правилӧ. Медым кутшӧмкӧ алгебраическӧй выраженньӧысь чинтыны уначлен, сэк колӧ сійӧ выраженньӧ дінӧ гижны уначленлысь быд член мӧда-мӧд бӧрти, но противоположнӧй пасъясӧн, да вӧчны подобнӧй членъясӧс ӧтиӧ вайӧдӧм, найӧ кӧ эмӧсь.

Индӧд. Кор колӧ ӧти уначленысь чинтыны мӧд уначлен да уначленъясын кӧ эмӧсь подобнӧй членъяс, сэк бурджык лоӧ уначленъясӧс гижавны мӧда-мӧд улӧ сідз, медым подобнӧй членъяс лоӧны мӧда-мӧд улынӧсь. Та дырйи оз ков вунӧдны чинтысьлыдлысь пасъяссӧ вежлавны мӧдарӧ (противоположнӧйӧ). Пример: (7a² − 2ab + b²) − (5a² + 4ab − 2b²) чинтӧм вӧчӧм бурджык гижавны тадз:
7a² − 2ab + b²
−5a² − 4ab + 2b²
___________
2a² − 6ab + 3b²

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

60. (2p² − 4p + 8) − (p² − 5p − 7).
61. Чинтыны (4x² + y² + 5)-ысь (−2y² + y + 6).
62. Чинтыны (½x² − ⅓x + 1)-ысь (¼x² + ⅔x + ⅕).
63. Колӧ тайӧ выраженньӧсӧ упроститны:
x = (2a² − 2b² + c²) − (a² − 2b² − c²) + (3a² + 4b² − 3c²).

43. Скобкаяс восьтӧм, кодъяс водзын сулалӧ + либӧ − пас. Шуам, 2a + (a − 3b + c) − (2a − b + 2c) выраженньӧысь колӧ восьтавны скобкаяс. Тайӧ колӧ гӧгӧрвоны сідз, мый скобкаяс пытшкын сулалысь уначленъяс вылын колӧ вӧчны сійӧ действийӧяс, кодъясӧс индӧма скобкаяс водзса пасъясӧн. Миян примерын первойя скобкаяс водзын сулалӧ +, а мӧдъясыс водзын − пас. Сетӧм правилӧяс серти содтӧм да чинтӧм вӧчӧм бӧрти лоӧ скобкаястӧм выраженньӧ:
2a + a − 3b + c − 2a + b − 2c = a − 2b − c.
Та ногӧн, скобкаяс восьтігӧн, кор найӧ водзын сулалӧ +, скобкаяс пытшкӧс пасъяс оз вежсьыны; а кор скобкаяс водзын сулалӧ −, сэк скобкаяс пытшкӧс быд член водзын сулалысь пас колӧ вежны противоположнӧйӧн.
Шуам, нӧшта колӧ восьтыны скобкаяс со кутшӧм выраженньӧысь:
10p − [3p + (5p − 10) − 4].
Медбур первой восьтыны гӧгрӧс скобкаяс, а сэсся квадратнӧйясӧс:
10p − [3p + 5p − 10 − 4] = 10p − 3p − 5p + 10 + 4 = 2p + 14.

44. Скобкаясӧ уначленлысь кутшӧмкӧ пай йӧртӧм. Мукӧддырйи уначлен мӧдногаалігӧн (преобразуйтігӧн) ковмывлӧ сылысь некымын член йӧртны скобкаяс сайӧ, медым уначленысь вӧчны либӧ сумма — сэк скобка водзӧ колӧ пуктыны +, либӧ разносьт — сэк скобка водзӧ колӧ пуктыны −. Шуам, миян уначленысь a + b − c бӧръя кык членсӧ колӧ йӧртны скобкаясӧ да скобкаяс водзас пуктыны + пас, сэк гижам тадзи:
a + b − c = a + (b − c);
скобкаяс пытшкӧс членъяс водзын пасъяс колины важыс — кутшӧмъяс вӧліны сетӧм уначленын. Мый тан равенство веськыд, позьӧ аддзыны содтӧм правилӧ серти скобкаяс бӧр восьтӧмӧн; сэк выльысь артмас сетӧм уначлен.
Шуам, сійӧ жӧ уначленын кык бӧръя член колӧ йӧртны скобкаясӧ да скобка водзас пуктыны − пас. Сэк гижам тадз:
a + b − c = a − (−b + c) = a − (c − b);
скобкаяс пытшкӧс членъяс водзын пасъяс лоины противоположнӧйӧсь. Мый тані равенство веськыд, позьӧ аддзыны чинтӧм правилӧ серти скобкаяссӧ бӧр восьтӧмӧн; сэк артмас бӧр сетӧм уначлен.
Позьӧ став уначлен йӧртны скобкаясӧ + либӧ − пас скобкаяс водзӧ пуктӧмӧн. Сідз, уначлен a + b − c позьӧ гижны тадз:
+(a + b − c), либӧ −(−a − b + c).

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

Восьтыны скобкаяс да упроститны:
64. x + [x − (x − y)]
m − [n − [m + (m − n)] + m]
65. a + b − c − [a − (b − c)] − [a + (b − c) − (a − c)]
66. (3x² − 4y²) − (x² − 2xy − y²) + [2x² + 2xy + (−4xy) + 3y²]
67. Уначленын a − b − c + d, сылысь лыда ыджда вежтӧг:
а) Бӧръя куим член на водзӧ − пас пуктӧмӧн йӧртны скобкаясӧ;
б) Бӧръя кык член на водзӧ + пас пуктӧмӧн йӧртны скобкаясӧ;
в) Кык шӧр член на водзӧ − пас пуктӧмӧн йӧртны скобкаясӧ.

ІІІ. АЛГЕБРАИЧЕСКӦЙ ӦКТӦМ.

45. Ӧткачленъясӧс ӧктӧм. а) Шуам, колӧ a³ ӧктыны a² вылӧ: (aaa) ⋅ (aa). Тан произведенньӧ босьтчыссьӧ мӧд произведенньӧ вылӧ. Но кор кутшӧмкӧ лыд колӧ босьтны произведенньӧ вылӧ, сэк сійӧ лыд колӧ босьтны первой ӧктас вылӧ, артмӧм результат ӧктыны мӧд ӧктас вылӧ да с. в. Сідзкӧ:
a³a² = (aaa)aa,
тайӧ позьӧ гижны и скобкаястӧг, сы вӧсна, мый действийӧяслӧн пӧрадок кольӧ и скобкаястӧг сійӧ жӧ, кутшӧм вӧлі индӧма скобкаясӧн:
a³a² = aaaaa = a⁵.
Ми аддзам, мый произведенньӧлӧн степень петкӧдлысь равняйтчӧ ӧктасъяс степень петкӧдлысь суммалы.
Босьтам нӧшта пример: x³ колӧ босьтны x⁴ вылӧ. Первой случайын моз жӧ мӧвпалӧмӧн сюрӧ:
x³ ⋅ x⁴ = (xxx) ⋅ (xxxx) = xxxxxxx = x⁷.
Мӧд ногӧн кӧ, aᵐ да aⁿ-лӧн произведенньӧ лоӧ:
aᵐ ⋅ aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
Сідзкӧ, ӧткодь лыда степеньяслӧн произведенньӧ лоӧ сійӧ жӧ степень ыджда лыд, кодлӧн степень петкӧдлысь лоӧ ӧктасъяс степень петкӧдлысь сумма ыджда. Тайӧ позьӧ шуны дженьыдджыка:
Ӧткодь лыда степеньяс ӧктігӧн налӧн степень петкӧдлысьяс содтыссьӧны.
Та ногӧн: 
m²m³ = m⁵; x³x = x⁴; y²yy³ = y⁶.
б) Шуам, колӧ ӧктыны:
3ax²(−5abx).
Сы вӧсна, мый ӧткачлен −5abx эм произведенньӧ, то сӧмын колӧ ӧктанлыдсӧ босьтны первой ӧктас вылӧ (−5), результатсӧ — мӧд ӧктас вылӧ (a) да с. в. Сідзкӧ,
3ax²(−5abx) = 3ax²(−5)abx.
Тайӧ произведенньӧын ӧктан сочетательнӧй закон серти ӧктасъяссӧ чукӧртам татшӧм группаясӧ:
(+3) ⋅ (−5) ⋅ (aa) ⋅ b ⋅ (x²x).
Быд группаын ӧктӧм вӧчӧм бӧрти лоӧ: −15a²bx³.

Правилӧ. Ӧткачленӧс ӧткачлен вылӧ ӧктігӧн колӧ мӧда-мӧд вылӧ босьтны налысь коэффициентъяс да ӧткодь шыпасъяслысь степень петкӧдлысьяссӧ содтыны, а шыпасъяс, кодъяс сӧмын эмӧсь ӧктанлыдын либӧ ӧктысьлыдын, вуджӧдны произведенньӧӧ ас степень петкӧдлысьяснас.
Примеръяс:
1. 0,7a³x(3a⁴x²y²) = 2,1a⁷x³y²;
2. −3,5x²y(¾x³) = −21⁄8x⁵y.

46. Ӧткачленлӧн квадрат да куб. Ми аддзам, мый лэптыны лыд квадратӧ либӧ кубӧ сійӧ лоӧ — лыд босьтны кыкысь либӧ куимысь ӧктасӧн; шуам:
11² =11 ⋅ 11 = 121;
(−1½)² =(−1½) ⋅ (−1½) = 2¼;
4³ = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64;
(−5)³ = (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) = −125.

Применитам тайӧ урчитӧмсӧ быдса ӧткачленъясӧс квадратӧ да кубӧ лэптӧм вылӧ.
1. Шуам, а⁴ колӧ лэптыны квадратӧ либӧ кубӧ. Урчитӧм серти:
(a⁴)² = a⁴ ⋅ a⁴;
(a⁴)³ = a⁴ ⋅ a⁴ ⋅ a⁴.
Ӧткачленъясӧс ӧктан правилӧ серти артмас:
(a⁴)² = a⁸; (a⁴)³ = a¹².
Дзик жӧ сідз:
(a³)² = a⁶; (a³)³ = a⁹.
Мӧд ногӧн кӧ:
(aᵐ)² = aᵐaᵐ = a²ᵐ; (aᵐ)³ = aᵐaᵐaᵐ = a³ᵐ.
Кор колӧ лэптыны квадратӧ либӧ кубӧ степень, сэк колӧ степень петкӧдлысьсӧ босьтны кыкысь (квадратӧ лэптігӧн) либӧ куимысь (кубӧ лэптігӧн). Сідз:
(4²)² = 4⁴ = 256; (2²)³ = 2⁶ = 64 да с. в.
Прӧверитӧм: 4² = 16; 16² = 256; 2² = 4; 4³ = 64.

2. Шуам, колӧ квадратӧ либӧ кубӧ лэптыны abc произведенньӧ. Урчитӧм серти:
(abc)² = (abc)(abc); (abc)³ = (abc)(abc)(abc).
Ӧктан свойство применяйтӧмӧн лоӧ:
(abc)² = abcabc = (aa)(bb)(cc) = a²b²c²;
(abc)³ = abcabcabc = (aaa)(bbb)(ccc) = a³b³c³.
Кор колӧ лэптыны квадратӧ либӧ кубӧ произведенньӧ, сэк тайӧ степеньӧ быд ӧктас колӧ лэптыны торйӧн (да результатсӧ босьтны мӧда-мӧд вылӧ). Сідз:
(2 ⋅ 3 ⋅ 5)² = 2² ⋅ 3² ⋅ 5² = 4 ⋅ 9 ⋅ 25 = 900.
Прӧверитӧм: 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30; 30² = 900.
(2 ⋅ 3)³ = 2³ ⋅ 3³ = 8 ⋅ 27 = 216.
Прӧверитӧм: 2 ⋅ 3 = 6; 6³ = 216.

3. Шуам, ӧні колӧ квадратӧ либӧ кубӧ лэптыны ӧткачлен −4a³bc⁴. Ӧні выводитӧм правилӧяс серти лоӧ:
(−4a³bc⁴)² = (−4)² ⋅ (a³)² ⋅ (b)² ⋅ (c⁴)² = 16a⁶b²c⁸;
(−4a³bc⁴)³ = (−4)³ ⋅ (a³)³ ⋅ (b)³ ⋅ (c⁴)³ = −64a⁹b³c¹².

Правилӧяс. 1. Кор колӧ квадратӧ лэптыны быдса ӧткачлен, сэк квадратӧ колӧ лэптыны ӧткачленлысь коэффициент, а шыпасъяслысь степень петкӧдлысьяссӧ ӧктыны кык вылӧ.
2. Кор колӧ кубӧ лэптыны быдса ӧткачлен, сэк кубӧ колӧ лэптыны ӧткачленлысь коэффициент, а шыпасъяслысь степень петкӧдлысьяссӧ ӧктыны куим вылӧ.

47. Уначленӧс ӧткачлен вылӧ ӧктӧм. Шуам, колӧ уначлен a + b − c босьтны кутшӧмкӧ ӧткачлен вылӧ, кодӧс ми пасъям m-ӧн:
(a + b − c) ⋅ m.
Ӧктан распределительнӧй закон серти миян лоӧ: (a + b − c) ⋅ m = am + bm − cm.

Правилӧ: Кор колӧ уначлен босьтны ӧткачлен вылӧ, сэк сійӧ ӧткачлен вылӧ колӧ босьтны уначленлысь быд член да артмӧм произведенньӧяс ӧтлаавны.
Сы вӧсна, мый произведенньӧлӧн ыдждаыс ӧктасъясӧс местаӧн вежлалӧмысь оз вежсьы, тайӧ правилӧ серти жӧ вӧчсьӧ ӧткачленӧс уначлен вылӧ ӧктӧм. Сідзкӧ: m ⋅ (a + b − c) = ma + mb − mc.

Примеръяс.
1. (3x² − 2ax + 5a²) ⋅ (−4ax).
Тані уначленлысь членъяс ӧткачлен вылӧ ӧктӧм колӧ вӧчны ӧткачленъясӧс ӧктан правилӧ серти; сідзжӧ оз ков вунӧдны пасъяс йылысь правилӧ: ӧктігӧн ӧти сикас пасъяс сетӧны +, а разнӧй сикас −. 
Ӧктам −4ax ӧткачлен вылӧ уначленлысь быд член торйӧн:
(3x²) ⋅ (−4ax) = −12ax³; (−2ax) ⋅ (−4ax) = +8a²x²;
(+5a²) ⋅ (−4ax) = −20a³x.
Ӧні артмӧм результатъяс ӧтлаалам:
−12ax³ + 8a²x² − 20a³x.
2. (a² − ab + b²)(3a) = a²(3a) − (ab)(3a) + b²(3a) = 3a³ − 3a²b + 3ab².
3. (7x² + ¾ax − 0,3)(2,1a²x) = (7x²)(2,1a²x) + (¾ax)(2,1a²x) − 0,3(2,1a²x) = 14,7a²x³ + 1,575a³x² − 0,63a²x.
4. 2a(3a − 4ax + ½x²) = 6a² − 8a²x + ax².

48. Уначленӧс уначлен вылӧ ӧктӧм. Шуам, уначлен a + b − c колӧ босьтны уначлен (m − n) вылӧ, мый позьӧ гижны тадзи:
(a + b − c)(m − n).
Видзӧдлам кӧ (m − n) ӧктанлыд вылӧ кыдз ӧткачлен вылӧ, сэк уначлен ӧткачлен вылӧ ӧктан правилӧ серти лоӧ:
(a + b − c)(m − n) = a(m − n) + b(m − n) − c(m − n).
Артмӧм уначленлӧн быд член лоӧ ӧткачленлӧн уначлен вылӧ произведенньӧ. Воддза правилӧ серти сюрӧ:
(am − an) + (bm − bn) − (cm − cn).
Содтӧм да чинтӧм правилӧяс серти скобкаяс восьтӧм бӧрын артмас:
(a + b − c)(m − n) = am − an + bm − bn − cm + cn.

Правилӧ. Медым уначлен ӧктыны уначлен вылӧ, колӧ первой уначленлысь быд член босьтны мӧд уначленса быд член вылӧ да артмӧм произведенньӧяс ӧтлаавны.
Та дырйи, дерт, оз ков вунӧдны пасъяс йылысь правилӧяс: ӧти сикас пасъяс сетӧны +, разнӧй сикас −.
Пример:
(a² − 5ab + b² − 3)(a³ − 3ab² + b³).
Первой ӧктам ӧктанлыдлысь став членъяссӧ ӧктысьлыд первой член вылӧ:
(a² − 5ab + b² − 3)a³ = a⁵ − 5a⁴b + a³b² − 3a³.
Сэсся ӧктам ӧктанлыдлысь став членъяссӧ ӧктысьлыдса мӧд член вылӧ.
(a² − 5ab + b² − 3)(−3ab²)= −3a³b² + 15a²b³ − 3ab⁴ + 9ab².
Водзӧ ӧктам ӧктысьлыдса коймӧд член вылӧ:
(a² − 5ab + b² − 3)(+b³) = a²b³ − 5ab⁴ + b⁵ − 3b³.
Медбӧрын артмӧм произведенньӧяс мӧда-мӧд дінӧ содтам да вӧчам подобнӧй членъясӧ вайӧдӧм; бӧръя результат лоӧ:
a⁵ − 5a⁴b − 2a³b² − 3a³ + 16a²b³ − 8ab⁴ + 9ab² + b⁵ − 3b³.

Примеръяс.
1. (a − b)(m − n − p) = am − bm − an + bn − ap + bp;
2. (x² − y²)(x + y) = x³ − xy² + x²y − y³;
3. (3an + 2n² − 4a²)(n² − 5an) = 3an³ + 2n⁴ − 4a²n² − 15a²n² − 10an³ + 20a³n = −7an³ + 2n⁴ − 19a²n² + 20a³n;
4. (2a² − 3)² =(2a² − 3)(2a² − 3)=(2a²)² − 3(2a²) − 3(2a²) + 9 = 4a⁴ − 6a² − 6a² + 9 = 4a⁴ − 12a² +9.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

68. (5a²b³)(3ab⁴c)
(¾ax³)(⅚ax³)
69. (0,3abx)(2,7a²bx²)
(7a²b⁴c)(3ab³c²)(1⁄21a³b)
70. (3⁄7mx²y³)²
(2a³bx²)³
71. (0,1xᵐy³)²
(½m²ny³)³
72. (3a² − 2b³ + c) ⋅ 2ab
73. (5a − 4a²b + 3a³b² − 7a⁴b³) ⋅ 5a²b.
74. (a + b − c)(m − n)
(2a − b)(3a + b²)
75. (a + ½b)(2a − b)
(x² + xy + y²)(x − y)
76. (x² − xy + y²)(x + y)
77. (2x + 3y)(3x − 2y)
(y − 1)(y³ + y² + y + 1).

49. Расположитӧм уначлен. Кутшӧмкӧ шыпас степеньяс серти расположитны уначлен, сійӧ лоӧ гижны сійӧ уначленлысь членъяс сэтшӧм последовательносьтӧн, медым сійӧ шыпаслӧн степеньяс первой членсянь медбӧръяланьӧдз кайисны либӧ лэччисны. Сідз, уначлен 1 + 2x + 3x² − x³ пуктӧма x шыпасса степеньяс кайӧм серти. Сійӧ жӧ уначлен лоӧ пуктӧма x шыпасса степеньяс лэччӧм серти, кор сійӧс гижам тадзи: −x³ + 3x² + 2x + 1.
Шыпасыс, мый серти расположитӧма уначлен, шусьӧ уначленса главнӧй шыпасӧн. Член, кӧні эм медыджыд степеня главнӧй шыпас, шусьӧ уначленса медвылыс членӧн; член, кӧні медічӧт степеня главнӧй шыпас либӧ сійӧ шыпас дзикӧдз абу, шусьӧ медулыс членӧн.

50. Расположитӧм уначленъясӧс ӧктӧм медся бур вӧчны сідзи, кыдз петкӧдлӧма тайӧ примерын:
Ӧктыны (3x − 5 + 7x² − x³)(2 − 8x² + x).
Расположитам кыкнан уначлен x шыпасса степеньяс лэччӧм серти, ӧктысьлыд гижам ӧктанлыд улӧ да найӧ увті нуӧдам визь:
−x³ + 7x² + 3x − 5
−8x² + x + 2
________
8x⁵ − 56x⁴ − 24x³ + 40x²
       −x⁴ + 7x³ + 3x² − 5x
            −2x³ + 14x² + 6x − 10
________
8x⁵ − 57x⁴ − 19x³ + 57x² + x − 10

Ӧктанлыдлысь став член ӧктӧны ӧктысьлыд первой член вылӧ (−8x² вылӧ) да артмӧм произведенньӧ гижӧны визь улӧ. Сэсся ӧктанлыдлысь быд член ӧктӧны мӧд член вылӧ (+x вылӧ) да артмӧм произведенньӧ гижӧны первой произведенньӧ улӧ сідз, мед подобнӧй членъяс лоины мӧда-мӧд улынӧсь. Сідз жӧ вӧчӧны водзӧ. Медбӧръя произведенньӧ увті нуӧдӧны бара визь. Сы улӧ торъя произведенньӧяс ӧтлаалӧм бӧрти гижӧны лоан произведенньӧ (<rus>полное произведение</rus>).
Сідзжӧ позьӧ уначлен расположитны x шыпасса степеньяс кайӧм серти да ӧктӧм вӧчны сы ногӧн жӧ, кыдз вӧлі петкӧдлӧма ӧні.

51. Произведенньӧлӧн медвылыс да медулыс членъяс. Воддза примерысь петӧ:
произведенньӧса медвылыс член равняйтчӧ ӧктанлыдса да ӧктысьлыдса медвылыс членъяс произведенньӧлы;
произведенньӧса медулыс член равняйтчӧ ӧктанлыдса да ӧктысьлыдса медулыс членъяс произведенньӧлы.
Сы вӧсна, мый произведенньӧса став мукӧд членъяслӧн главнӧй шыпас бердса степень медвылыс членсаысь лоӧ ичӧтджык, но сыкӧд жӧ тшӧтш, медулыссаысь ыджыдджык, — произведенньӧса медвылыс да медулыс членъяслы подобнӧй членъяс лоны некор оз вермыны.
Произведенньӧса мукӧд членъяс артмӧны некымын подобнӧй членъясӧс ӧти членӧ ӧтлаалӧмӧн. Вермас лоны сідз, мый произведенньӧын ӧткодь членъясӧс чукӧртӧм бӧрын, медвылыс да медулыс членъясысь ӧтдор, став членъяс бырӧны. Тайӧ тыдалӧ со кутшӧм примерысь:
x⁴ + ax³ + a²x² + a³x + a⁴
                    x − a
________
x⁵ + ax⁴ + a²x³ + a³x² + a⁴x
   − ax⁴ − a²x³ − a³x² − a⁴x − a⁵
________
x⁵ − a⁵ = x⁵ − a⁵

52. Произведенньӧса членъяслӧн лыд. Шуам, ӧктанлыдын 5 член, а ӧктысьлыдын 3 член. Ӧктанлыдса быд член ӧктысьлыдса первой член вылӧ босьтӧм бӧрти произведенньӧын лоӧ 5 член; ӧктанлыдса быд член ӧктысьлыдса мӧд член вылӧ босьтӧм бӧрти произведенньӧын нӧшта лоӧ 5 член да с. в. Сідзкӧ, произведенньӧын лоӧ 5 ⋅ 3 = 15 член. Мӧд ногӧн кӧ, подобнӧй членъясӧ вайӧдтӧдз произведенньӧса членъяслӧн лыд ӧктанлыдса да ӧктысьлыдса членъяс лыд произведенньӧ ыджда.
Сы вӧсна, мый произведенньӧса медвылыс да медулыс членъяслы подобнӧй членъяс лоны оз вермыны, а мукӧд членъяс вермасны бырны, произведенньӧын ӧткодь подобнӧй членъясӧс вайӧдӧм бӧрти оз вермы лоны кык членысь этшаджык.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

Со кутшӧм уначленъяс пуктыны x шыпас степень лэччӧм серти да вӧчны ӧктӧм:
78. 24x + 6x² + x³ + 60 да 12x − 6x² + 12 + x³
79. (x⁵ − x² + x − 1)(x⁴ + x² − 1)
80. (x⁵ − ax⁴ + a²x³ − a³x² + a⁴x − a⁵)(x + a)

53. Кыкачленъясӧс ӧктан некымын формулаяс. Колӧ тӧдны кыкачленъясӧс ӧктан со кутшӧм формулаяс:

а) (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
Пример:
17² = (10 + 7)² = 10² + 2 ⋅ 10 ⋅ 7 + 7² = 100 + 140 + 49 = 289.
Кык лыд суммалӧн квадрат равняйтчӧ первой лыд квадратлы плюс первой лыдсӧ мӧд вылӧ ӧктӧмысь артман удвоеннӧй произведенньӧ плюс мӧд лыдлӧн квадрат.

б) (a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b².
Пример:
19² = (20 − 1)² = 20² − 2 ⋅ 20 ⋅ 1 + 1² = 400 − 40 + 1 = 361.

Кык лыд разносьтлӧн квадрат равняйтчӧ первой лыд квадратлы минус первой лыдсӧ мӧд вылӧ ӧктӧмысь артман удвоеннӧй произведенньӧ плюс мӧд лыдлӧн квадрат.
в) Сы вӧсна, мый кык лыдлысь да вообще кык алгебраическӧй выраженньӧлысь разносьт позьӧ бергӧдны алгебраическӧй суммаӧ, то кыкнан воддза правилӧсӧ позьӧ ӧтлаӧдны ӧтиӧ да шуны тадз:
Кыкачленлӧн квадрат равняйтчӧ первой член квадратлы плюс первой лыдсӧ мӧд вылӧ ӧктӧмӧн артман удвоеннӧй произведенньӧ плюс мӧд членлӧн квадрат.
Сӧмын оз ков вунӧдны, мый квадратӧ лэптан кыкачленлӧн быд член босьтсьӧ аслас паснас.

Примеръяс:
1. (2ab − c²)² = (2ab)² + 2(2ab)(−c²) + (−c²)² = 4a²b² − 4abc² + c⁴
2. (−m + 3n³)² = (−m)² + 2(−m)(3n³) + (3n³)² = m² − 6mn³ + 9n⁶.

г) (a + b)(a − b) = a² + ab − ab − b² = a² − b².
Пример.
25 ⋅ 15 = (20 + 5) ⋅ (20 − 5) = 20² − 5² = 400 − 25 = 375.
Та ногӧн, кык лыдысь сумма найӧ разносьт вылӧ ӧктігӧн равняйтчӧ квадратӧ лэптӧм сійӧ лыдъяс разносьтлы.

54. Тайӧ формулаяссӧ применяйтӧм. Индӧм формулаяс отсӧгӧн уначленъяс вылын ӧктӧм вӧчны лоӧ кокниджык обыкновеннӧй ногӧн ӧктӧм дорысь.

Примеръяс:

1. (4a³ − 1)² = (4a³)² − 2(4a³) ⋅ 1 + 1² = 16a⁶ − 8a³ + 1;
2. (x + y)(y − x) = (y + x)(y − x) = y² − x²;
3. (x + y + 1)(x − y + 1) = [(x + 1) + y][(x + 1) − y] = (x + 1)² − y² = x² − 2x + 1 − y²;
4. (a − b + c) ⋅ (a + b − c) = [a − (b − c)][a + (b − c)] = a² − (b − c)² = a² − (b² −2bc + c²) = a² − b² + 2bc − c².

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

a) 81. (a + 1)²
(1 + 2a)²
(x + ½)²
82. (3a² + 1)²
(0,1mx + 5x²)²
б) 83. (5a − 2)²
(3x − 2a)²
(3a² − ½)²
84. Корсьны (a + b)² да (a − b)² формулаяс серти татшӧм квадратъяс:
101²
997²
96²
57²
72²
89²
(2m − 3n)²;
(3ax − 4ay)²;
[0,2x³ − (⅜)]²
86. (½x² − 3½x)²;
(0,25p − 0,2q)²
87. (a + 1)(a − 1); (2a + 5)(2a − 5).
88. (2x − 3)(3 + 2x); (a² + 1)(1 − a²)

Сократитӧмӧн корсьны со кутшӧм произведенньӧ
89. (x² + 1)(x + 1)(x − 1)
(4x² + y²)(2x + y)(2x − y).
90. (m + n − p)(m + n + p)
[a + (b + c)][a − (b + c)].

55. Кык лыд суммалӧн куб да найӧ разносьтлӧн куб. Кыкачленъясӧс ӧктан формулаяс дінӧ колӧ содтыны нӧшта кыкӧс:
a) (a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³,
мӧд ног кӧ, кык лыд суммалӧн куб равняйтчӧ первой лыд кублы плюс первой лыд квадратӧс мӧд лыд вылӧ босьтӧмысь артман утроеннӧй произведенньӧ, плюс первой лыдӧс мӧд лыд квадрат вылӧ босьтӧмысь артман утроеннӧй произведенньӧ, плюс мӧд лыдлӧн куб.

Пример.
11³ = (10 + 1)³ = 10³ + 3 ⋅ 10² ⋅ 1 + 3 ⋅ 10 ⋅ 1² + 1³ = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331.

б) (а − b)³ = (а − b)²(а − b) = (а² − 2аb + b²)(а − b) = а³ − 2а²b + аb² − а²b + 2аb² − b³ = а³ − 3а²b + 3аb² − b³,
мӧд ног кӧ, кык лыд разносьтлӧн куб равняйтчӧ первой лыд кублы, минус первой лыд квадратӧс мӧд лыд вылӧ босьтӧмысь артман утроеннӧй произведенньӧ, плюс первой лыдӧс мӧд лыд квадрат вылӧ босьтӧмысь артман утроеннӧй произведенньӧ, минус мӧд лыдлӧн куб.

Пример.
29³ = (30 − 1)³ = 30³ − 3 ⋅ 30² ⋅ 1 + 3 ⋅ 30 ⋅ 1² − 1³ = 27000 − 2700 + 90 − 1 = 24389.

в) Кубӧ лэптан кыкачленлысь кӧ членъяс босьтам найӧ пасъясӧн, кыкнан воддза правилӧ позьӧ ӧтлаавны:
Кыкачленлӧн куб равняйтчӧ первой член кублы, плюс первой член квадратӧс мӧд член вылӧ босьтӧмысь артман утроеннӧй произведенньӧ, плюс первой членӧс мӧд член квадрат вылӧ босьтӧмысь артман утроеннӧй произведенньӧ, плюс мӧд членлӧн куб.

Пример.
(2a − 3b)³ = (2a)³ + 3(2a)²(−3b) + 3(2a)(−3b)² + (−3b)³ = 8a³ − 36a²b + 54ab² − 27b³.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

91. (a + 1)³; (a − 1)³; (2x + 3)³; (5 − 3x)³.
92. (½m − 2)³
(¾p − ⅓q)³
(5 − 3)³.

ІV. АЛГЕБРАИЧЕСКӦЙ ЮКӦМ.

56. Ӧткачленъясӧс юкӧм. Шуам, колӧ юкны:
a⁵ : a².
Сы вӧсна, мый юканлыд равняйтчӧ частнӧйӧс юкысьлыд вылӧ ӧктӧмысь артман произведенньӧлы, а тайӧ дырйи ӧткодь шыпасъяслӧн показательясыс содтыссьӧны, сэк корсян частнӧйын a шыпаслӧн показательыслы колӧ лоны сэтшӧм лыд, коді 2‐кӧд ӧтлаалӧмӧн сетас 5. Сэтшӧм лыдыс 5 да 2 разносьт ыджда. Сідзкӧ:
a⁵ : a² = a⁵⁻² = a³.
Та ногӧн жӧ аддзам:
x³ : x² = x; y⁴ : y = y³ да с. в.
Татысь петӧ, мый ӧткодь лыдлысь степеньяс юкигӧн частнӧй лоӧ сійӧ жӧ лыдлӧн степень, кодлӧн показательыс эм разносьт юканлыд показательысь юкысьлыд показательӧс чинтӧмысь. — Тайӧс шуӧны дженьыдджыка тадзи: ӧткодь лыдлысь степеньяс юкигӧн юкысьлыдлӧн показательыс чинтыссьӧ юканлыдса показательысь.
Шуам, колӧ юкны:
12a³b²x : 4a²b².
Юкӧм урчитӧм серти, частнӧйӧс юкысьлыд вылӧ ӧктӧмӧн лоӧ юканлыд. Сідзкӧ, корсян частнӧйса коэффициентлы колӧ лоны (12 : 4) = 3; a шыпаслӧн степень петкӧдлысь артмас юканлыдса a бердса степень петкӧдлысьысь юкысьлыдса a бердса степень петкӧдлысь чинтӧмӧн; b шыпас частнӧйӧ оз пыр; x шыпас частнӧйӧ вуджас ас степень петкӧдлысьнас (показательнас).
Сідзкӧ: 12a³b²x : 4a²b² = 3ax.
Прӧверитӧм: 3ax ⋅ 4a²b² = 12a³b²x.

Правилӧ. Медым юкны ӧткачленӧс ӧткачлен вылӧ, колӧ юканлыдса коэффициентсӧ юкны юкысьлыдса коэффициент вылӧ, юканлыдса шыпасъяс бердса степень петкӧдлысьясысь чинтыны юкысьлыдса сэтшӧм жӧ шыпасъяс бердса степень петкӧдлысьясӧс да частнӧйӧ вуджӧдны степень петкӧдлысьяссӧ вежтӧг юканлыдса сэтшӧм шыпасъяслысь, кодъяс юкысьлыдын абуӧсь.
Примеръяс:

1. 3m³n⁴x : 4m²nx = ¾mn³;
2. −ax⁴y³ : −⅚axy² = +6⁄5x³y;
3. 0,8axⁿ : −0,02ax = −40xⁿ⁻¹.

57. Нулевӧй степень петкӧдлысь (показатель). Кутшӧмкӧ ӧткодь лыдлысь степеньяс юкигӧн кӧ юкысьлыдлӧн степень петкӧдлысь лоӧ юканлыдса степень петкӧдлысь ыджда, сэк частнӧй лоӧ 1; пример a³ : a³ = 1 сы вӧсна, мый a³ = a³ ⋅ 1. Лӧсьӧдчам степень петкӧдлысьясӧс чинтавны тшӧтш и тайӧ случайын; сэк частнӧйын артмас нулевӧй степень петкӧдлыся шыпас a³ : a³ = a⁰. Дерт, тайӧ степень петкӧдлысьлӧн абу сэтшӧм значенньӧыс, кутшӧмӧс степень петкӧдлысьяслы ми сетім водзджык, сы вӧсна, мый лыдӧс ӧктасӧн оз позь босьтны 0 пӧв. Ми лӧсьӧдчам, мый a⁰ видӧн лоӧ a шыпаслысь ӧтгырся степеньяс юкӧмысь частнӧй, да сы вӧсна сійӧ частнӧйыс = 1, сідзкӧ a⁰ ми кутам босьтны 1 пыдди.

58. Ӧткачленъяслӧн юксьыны позьтӧм петкӧдлан признакъяс. Быдса ӧткачленъяс юкигӧн частнӧй кӧ оз вермы лоны быдса ӧткачлен, сэк шуӧны, мый сійӧс юкны оз позь. Ӧткачленъясӧс оз позь юкны кык случайын:
а) Кор юкысьлыдын эмӧсь шыпасъяс, кодъяс юканлыдын абуӧсь. Например, 4ab² оз позь юкны 2ax вылӧ, сы вӧсна, мый быдсикас ӧткачленӧс ӧктам кӧ 2ax вылӧ, артмас произведенньӧ, кӧні лоӧ x шыпас, а миян юканлыдын сэтшӧм шыпасыс и абу.
б) Кор юкысьлыдса кутшӧмкӧ шыпаслӧн степень петкӧдлысьыс юканлыдса сійӧ жӧ шыпас бердса степень петкӧдлысь серти ыджыдджык. Например, 10a³b² : 5ab³ оз позь, сы вӧсна, мый кӧть кутшӧм ӧткачленъяс частнӧйӧ эг гижӧй, сійӧс юкысьлыд вылӧ ӧктӧм бӧрын артмас ӧткачлена произведенньӧ, кӧні лоӧ b шыпас 3 неэтшаджык степень петкӧдлысьӧн, сэки кор тайӧ шыпасыс юканлыдӧ пырӧ 2 степень петкӧдлысьӧн.
Кор ӧткачлен оз вермы юксьыны мӧд ӧткачлен вылӧ, сэк частнӧй сӧмын юкан пасӧн индыссьӧ; сідз, 4a-ӧс 5b вылӧ юкӧмысь частнӧй позьӧ гижны:
4a : 5b, либӧ 4a/5b.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

93. 8a⁵x³y : 4a³x²
3a²x³ : (−5ax)
94. a⁸b : (−⅚a⁵b);
12amb³ : 4ab.

59. Уначленӧс ӧткачлен вылӧ юкӧм. Шуам, уначлен a + b − c колӧ юкны m ӧткачлен вылӧ:
(a + b − c) : m, либӧ (a + b − c)/m.
Уначлен a + b − c алгебраическӧй сумма, а медым кутшӧмкӧ лыд вылӧ юкны алгебраическӧй сумма, сэк сійӧ лыд вылӧ позьӧ юкны быд содтанлыд торйӧн. Сідзкӧ:
(a + b − c)/m = a/m + b/m − c/m.
Проверитӧмӧн аддзам, мый a/m + b/m − c/m уначленӧс юкысьлыд m вылӧ ӧктӧмӧн миян бӧр сюрӧ юканлыд a + b − c.

Правилӧ. Медым уначлен юкны ӧткачлен вылӧ, колӧ сійӧ ӧткачлен вылӧ юкны уначленлысь быд член да артмӧм частнӧйяс ӧтлаавны.

Примеръяс.

1. (20a³ − 8a² − a) : 4a = 5a² − 2a − ¼.
2. (4x² − 2x + 10) : 2x = 2x − 1 + 10/2x.
3. (½x³ − 0,3x² + 1) : 2x² = ¼x − 0,15 + 1/(2x²).

60. Ӧткачленӧс уначлен вылӧ юкӧм. Шуам, ӧткачлен a колӧ юкны b + c − d уначлен вылӧ. Татшӧм юкӧмысь частнӧй он вермы петкӧдлыны ӧткачленӧн ни уначленӧн сы вӧсна, мый частнӧй кӧ, шуам, лоӧ ӧткачлен либӧ уначлен да сійӧс ӧктам уначлена юкысьлыд вылӧ — (b + c − d) вылӧ — произведенньӧын лоӧ уначлен, а оз ло кыдз колӧ ӧткачлен. a-ӧс (b + c − d) вылӧ юкӧмысь частнӧй сӧмын позьӧ юкӧм пасъясӧн индыны.
a : (b + c − d), либӧ a/(b + c − d).

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

95. (4a²b + 6ab² − 12a³b⁵) : ¾ab.
96. (36a²x⁵ − 24a³x⁴ + 4a⁴x³) : 4a²x³.
97. (3a²y − 6a²y² + 3a²y³ − 3a²y⁴) : 3a²y.

61. Уначленӧс уначлен вылӧ юкӧм. Уначленӧс уначлен вылӧ юкӧмысь частнӧй шоча овлывлӧ быдса уначленӧн. Например:
(a² + 2ab + b²) : (a + b) = (a + b),
сы вӧсна, мый
a² + 2ab + b² = (a + b)².
Татшӧм частнӧйяссӧ позьӧ пасйыны сӧмын юкан пасӧн. Например, a − b + c уначленӧс d − e вылӧ юкӧмысь частнӧй индыссьӧ тадзи:
(a − b + c)/(d − e), либӧ (a − b + c) : (d − e).

62. Расположитӧм уначленъясӧс юкӧм. Частнӧй, кыдз быдса уначлен, овлывлӧ сэки, кор кыкнан уначленсӧ позьӧ расположитны ӧткодь шыпасса степеньяс серти. Тайӧ кыдз вӧчны, петкӧдлам со кутшӧм пример вылын:
(5x² − 19x³ + 17x + 6x⁴ − 4) : (1 − 5x + 3x²).
Кыкнан уначленсӧ гижам x шыпасса степеньяс лэччӧм серти да юкӧм кутам вӧчны сідз жӧ, кыдз юкам быдса лыдъясӧс:
6x⁴ − 19x³ + 5x² + 17x − 4 | 3x² − 5x + 1
−6x⁴ + 10x³ − 2x² |2x² − 3x − 4
_______________
1-я коляс .... −9x³ + 3x² + 17x − 4
                      +9x³ − 15x² + 3x
                       ____________
2-ӧд коляс ....           −12x² + 20x − 4
                                 +12x² − 20x + 4
                                  ____________
3-ӧд коляс .... 0

Шуам, мый корсян частнӧй лоӧ кутшӧмкӧ уначлен, кодын членъясыс пукталӧма x шыпасбердса степеньяс лэччӧм серти.
Юканлыд колӧ лоны юкысьлыдӧс частнӧй вылӧ ӧктӧмысь артмӧм произведенньӧ ыджда. Расположитӧм уначленъясӧс ӧктӧмысь тӧдам, мый произведенньӧса медвылыс член лоӧ ӧктанлыдса да ӧктысьлыдса медвылыс членъяс произведенньӧ ыджда. Юканлыдын медвылыс членӧн лоӧ первойыс, юкысьлыдын да частнӧйын медвылыс членъясӧн лоӧны сідзжӧ первойясыс. Сідзкӧ, юканлыдлӧн первой член (6x⁴) колӧ лоны юкысьлыд первой членӧс (3x²) частнӧй первой член вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧ ыджда. Татысь петӧ: медым корсьны частнӧйлысь первой член, колӧ юканлыдысь первой член юкны юкысьлыдса первой член вылӧ. Юкӧм бӧрын сюрӧ частнӧйлӧн первой член 2x². Гижам сійӧс частнӧйӧ, визь улӧ.
Юкысьлыдлысь быд член ӧктам частнӧй первой член вылӧ да артмӧм произведенньӧ чинтам юканлыдысь. Та вылӧ сійӧс гижам юканлыд улӧ сідз, медым подобнӧй членъяс лоины подобнӧй членъяс улынӧсь, чинтігӧн чинтысьлыдса быд членлысь пасъяс вежам противоположнӧй пасӧн. Чинтӧм бӧрти лоӧ 1-я коляс. Тайӧ коляс кӧ лоӧ нуль, сэк эськӧ тайӧ висьталіс, мый частнӧйын сэсся некутшӧм мукӧд член первойысь ӧтдор абу; мӧд ног кӧ, частнӧй лоӧ ӧткачлен. Лоӧ кӧ сідз, кыдз миян примерын, мый первой коляс абу нуль, то сэк кутам мӧвпавны со кыдз:
Юканлыд эм юкысьлыдса быд членӧс частнӧйса быд член вылӧ ӧктӧмысь артмӧм произведенньӧ. Юканлыдысь ми чинтім юкысьлыдса быд членӧс частнӧйса первой член вылӧ ӧктӧмысь артмӧм произведенньӧ; сідзкӧ, первой колясын лоӧ юкысьлыдса быд членӧс частнӧйса 2-ӧд, 3-ӧд да с. в. членъяс вылӧ ӧктӧмысь артман произведенньӧ. Колясын медвылыс членӧн лоӧ первойяыс; юкысьлыдлӧн медвылыс членыс сідзжӧ первойяыс; частнӧйын медвылыс членыс (первойсӧ артавтӧг) лоӧ 2-ӧд член. Сідзкӧ, коляслӧн 1-я член (−9x³) лоӧ юкысьлыдса 1-я членӧс частнӧйса мӧд член вылӧ ӧктӧмысь артмӧм произведенньӧ. Татысь петӧ: медым корсьны частнӧйлысь 2-ӧд член, колӧ 1-я коляслысь 1-я член юкны юкысьлыдса 1-я член вылӧ. Юкӧм бӧрын сюрӧ частнӧйлӧн мӧд член −3x. Гижам сійӧс частнӧйӧ.
Юкысьлыдлысь быд член ӧктам частнӧйса мӧд член вылӧ да артмӧм произведенньӧ чинтам первой колясысь. Сюрӧ 2‐ӧд коляс. Тайӧ коляс кӧ нуль, сэк юкӧм помассис. Кор коляс, кыдз миян примерын, абу нуль, кутам мӧвпавны со кыдз:
2-ӧд коляс лоӧ юкысьлыдса быд членӧс частнӧйса 3-ӧд, 4-ӧд да с. в. членъяс вылӧ ӧктӧмысь артман произведенньӧ. Сы вӧсна, мый частнӧйын тайӧ членъяс пиысь медвылыс членӧн лоӧ 3‐ыс, воддза моз жӧ частнӧйлысь 3-ӧд член корсям 2-ӧд коляслысь 1-я член юкысьлыдса 1-я член вылӧ юкӧмӧн. Лоӧ −4. Юкысьлыдлысь быд член −4 вылӧ ӧктам да артмӧм произведенньӧ чинтам 2-ӧд колясысь. Лоӧ 3-ӧд коляс. Миян примерын 3-ӧд коляс лои нуль. Тайӧ петкӧдлӧ, мый частнӧйын сэсся наысь ӧтдор некутшӧм членъяс оз лоны. 3-ӧд коляс кӧ эз ло нуль, ковмис тайӧ коляслысь 1-я член юкны юкысьлыдса 1-я член вылӧ; сэк эськӧ артмис частнӧйлӧн 4-ӧд член да с. в.
Позьӧ вӧлі юканлыд да юкысьлыд расположитавны ӧткодь шыпасса степень петкӧдлысьяс содӧм серти да сэсся юкны сідз жӧ, кыдз лои юкӧма ӧні. Сэк ковмис эськӧ пыксьыны сы вылӧ, мый произведенньӧса медулыс член лоӧ ӧктанлыдса да ӧктысьлыдса медулыс членъяслӧн произведенньӧ.

Примеръяс

а) 28x⁴ − 13ax³ − 26a²x² + 15a³x | 7x² + 2ax − 5a².
           „ − 8ax³ + 20a²x²               |4x² − 3ax.
           _________________
              − 21ax³ − 6a²x² + 15a³x
                         „ + 6a²x² − 15a³x
               __________________
                    0
Ми тані эг гижӧй юкысьлыдса 1-я членлысь частнӧйса 1-я, 2-ӧд да с. в. членъяс вылӧ ӧктӧмысь артмӧм произведенньӧ сы вӧсна, мый тайӧ произведенньӧяс век сійӧ членъяс ыдждаӧсь, кодъяс улӧ найӧ гижсьӧны да чинтігӧн взаимнӧ бырӧны.

б) x³ − a³ | x − a
     „ + ax² | x² + ax + a²
   _______
           ax² − a³
              „ + a²x
          _______
                  a²x − a³
                     „ + a³
                _______
                        0

в) x⁴ − a⁴ | x − a
    „ + ax³ | x³ + ax² + a²x + a³.
  _______
          ax³ − a⁴
           „ + a²x²
        ________
                a²x² − a⁴
                   „ + a³x
               ________
                        a³x − a⁴
                            „ + a⁴
                        _______
                             0

Та ногӧн жӧ позьӧ аддзыны, мый разносьтъяс x⁵ − a⁵, x⁶ − a⁶... да вообще xᵐ − aᵐ юксьӧны колястӧг x − a вылӧ, мӧд ног кӧ, кык лыдысь ӧтыджда степеньяслӧн разносьт юксьӧ сійӧ лыдъясса разносьт вылӧ колястӧг.

63. Уначленъяслӧн юксьыны позьтӧм петкӧдлан признакъяс. Уначленӧс уначлен вылӧ юкны оз позь со кутшӧм случайяс дырйи:
а) Кор юканлыдса медвылыс членын главнӧй шыпаслӧн степень петкӧдлысь юкысьлыдса медвылыс членын сійӧ жӧ шыпас бердса степень петкӧдлысьысь ичӧтджык; сы вӧсна, мый сэк оз сюр частнӧйлӧн медвылыс член.
б) Кор юканлыдса медулыс членын главнӧй шыпаслӧн степень петкӧдлысь юкысьлыдса медулыс членын сійӧ жӧ шыпас бердса степень петкӧдлысьысь ичӧтджык; сы вӧсна, мый сэк оз сюр частнӧйлӧн медулыс член.
в) Главнӧй шыпасса степень петкӧдлысьяс юканлыдса медвылыс да медулыс членъясын кӧ абу ичӧтджыкӧсь юкысьлыдса медвылыс да медулыс членъясса сійӧ жӧ шыпас бердса степень петкӧдлысьясысь, оз на позь шуны, мый юкӧм позьӧ вӧчны. Та дырйи медым шуны, мый юкӧм позьӧ али оз позь вӧчны, колӧ заводитны выполнитны действийӧсӧ (юканлыдӧс да юкысьлыдӧс расположитны главнӧй шыпас бердса степеньяс кайӧм либӧ лэччӧм серти) да найӧс нуӧдны сэтчӧдз, кытчӧдз ог казялӧй, мый частнӧйын вермас лоны али оз вермы быдса уначлен.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

98. (x² − 3x − 4) : (x + 1)
(y² − y − 2) : (y − 2).
99. (6x³ + 2 − 3x² − 4x) : (2x − 1)
100. (3ax⁵ − 15a³x⁴ + 6a³x³) : (x² − 5ax + 2a²).
101. (x⁶ −a⁶) : (x⁵ + ax⁴ + a²x³ + a³x² + a⁴x + a⁵).

V. ӦКТАСЪЯС ВЫЛӦ РАЗЛОЖИТӦМ.

64. Предварительнӧй индӧдъяс. Алгебраическӧй юкӧм йылысь сёрнитігӧн ми индылім, мый мукӧддырйи частнӧйӧс позьӧ петкӧдлыны сӧмын юкан пасъясӧн. Тайӧ дырйи выраженньӧясыс лоӧны татшӧм ногаӧсь: a/b, 2x/3a, (x² − 4x + y²)/(x + y) да с. в. Татшӧмъяссӧ лӧсьӧдчӧмаӧсь шуны алгебраическӧй дробъясӧн.
Ми регыд аддзам, мый алгебраическӧй дробъяс, арифметическӧй моз жӧ, позьӧ кокньӧдны сократитӧмӧн — юканлыдӧс да юкысьлыдӧс ӧткодь ӧктасъяс вылӧ юкӧмӧн, сэтшӧмъясыс кӧ эмӧсь. Сы вылӧ, медым сократитӧм вӧчны кокниа, колӧ велавны алгебраическӧй выраженньӧясӧс разложитны ӧктасъяс вылӧ (арифметическӧй моз жӧ сократитӧм могысь колӧ кужны быдса лыдъясӧс разложитны найӧ артмӧдысь ӧктасъяс вылӧ).

65. Быдса ӧткачленъясӧс разложитӧм. Босьтам кутшӧмкӧ ӧткачлен, шуам, 6a²b³. Сы вӧсна мый тайӧ лоӧ произведенньӧ, сӧмын сійӧ ӧти вид серти пырысь-пыр жӧ позьӧ разложитны сійӧс артмӧдысь ӧктасъяс вылӧ сідз:
6a²b³ = 2 ⋅ 3(aa)(bbb) = 2 ⋅ 3aabbb.
Тайӧ ӧктасъяссӧ (ӧктӧм сочетательнӧй закон серти) кутшӧмкӧ группаясӧ ӧтлаавлӧмӧн ми вермам индыны тайӧ ӧткачленлы зэв уна сикас разложенньӧ; пример вылӧ:
6a²b³ = (6a)(ab³) = (2a²b)(3b²) = (3ab²)(2ab) да с. в.

66. Уначленъясӧс разложитӧм. Петкӧдлам медкокни случайяс, кор уначлен позьӧ ӧктасъяс вылӧ разложитны:
а) сы вӧсна, мый
(a + b − c)m = am + bm − cm,
сідз жӧ мӧдарӧ:
am + bm − cm = (a + b − c)m.
Та ногӧн, уначленса быд членын кӧ эм ӧтувъя ӧктанлыд, сэк сійӧ позьӧ петкӧдны скобкаяс сайӧ.

Примеръяс:

1. x⁶ − 2x² + 3x = x(x⁵ − 2x + 3);
2. 16a² − 4a³ = 4a²(4 − a);
3. 5m(x − 1) + 3n(x − 1) = (x − 1)(5m + 3n).

б) Сы вӧсна, мый
(a + b)(a − b) = a² − b²,
сідз жӧ мӧдарӧ:
a² − b² = (a + b)(a − b).
Сідзкӧ, кыкачлен кӧ эм ӧти лыдлӧн квадрат мӧд лыд квадраттӧг, сэк сійӧ позьӧ вежны найӧ лыдъяс суммаӧс найӧ разносьт вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧӧн.

Примеръяс.

1. x² − 4 = x² − 2² = (x + 2)(x − 2);
2. y² − 1 = y² − 1² = (y + 1)(y − 1);
3. 9a² − ¼ = (3a)² − (½)² = (3a + ½)(3a − ½);
4. 25x² − 0,01 = (5x)² − 0,1² = (5x + 0,1)(5x − 0,1);
5. m⁴ − n⁴ = (m²)² − (n²)² = (m² + n²)(m² − n²) = (m² + n²)(m + n)(m − n).
6. x² − (x − 1)² = [x + (x − 1)][x − (x − 1)] = (x + x − 1)(x − x + 1) = 2x − 1.

в) Сы вӧсна, мый
(a + b)² = a² + 2ab + b² да (a − b)² = a² − 2ab + b²,
сідз жӧ мӧдарӧ:
a² +2ab + b² = (a + b)² = (a + b)(a + b),
a² − 2ab + b² = (a − b)² = (a − b)(a − b).
Сідзкӧ, куимачлен кӧ эм кутшӧмкӧ кык лыдысь квадратъяслӧн сумма, кодӧс ыдждӧдӧма либӧ ичӧтмӧдӧма сійӧ лыдъяссӧ босьтӧмысь артман удвоеннӧй произведенньӧӧн, то сэк сійӧс позьӧ вежны сійӧ жӧ лыдъясысь лоан сумма либӧ разносьт квадратӧн.

Примеръяс:

1. a² + 2a + 1.
Сы вӧсна, мый 1 = 1² да 2a = 2 ⋅ a ⋅ 1, то a² + 2a + 1 = (a + 1)².

2. x⁴ + 4 − 4x². 
Тані x⁴ = (x²)², 4 = 2² да 4x² = 2x² ⋅ 2; та серти: x⁴ + 4 − 4x² = (x² − 2)². 
Позьӧ сідзжӧ гижны, мый x⁴ + 4 − 4x² = (2 − x²)², сы вӧсна, мый кор кыкачленъяс x² − 2 да 2 − x² лэптам квадратӧ, лоӧны куимачленъяс, кодъяс торъялӧны сӧмын членъяс пӧрадокӧн:
(x² − 2)² = x⁴ − 4x² + 4; (2 − x²)² = 4 − 4x² + x⁴.

3. −x + 25x² + 0,01. 
Тані эм кык квадрат: 25x² = (5x)² да 0,01 = 0,1². 5x да 0,1 лыдъяссӧ босьтӧмысь артмӧм удвоеннӧй произведенньӧ лоӧ 2 ⋅ 5x ⋅ 0,1 = x. Сы вӧсна, мый сетӧм куимачленын кыкнан квадрат водзын сулалӧны + пасъяс, а удвоеннӧй произведенньӧын (мӧд ног кӧ, x) − пас, сэк
−x + 25x² + 0,01 = 25x² − x + 0,01 = (5x − 0,1)² = (0,1 − 5x)².

4. −x² − y² + 2xy. 
Петкӧдам − пас скобкаяс сайӧ: −(x² + y² − 2xy). Скобкаяс пытшкӧсса куимачлен, буракӧ, эм (x − y)². Сідзкӧ:
−x² − y² + 2xy = −(x² + y² − 2xy) = −(x − y)² = −(y − x)².
г) Мукӧддырйи уначлен позьӧ разложитны ӧктасъяс вылӧ, сылысь членъяссӧ кутшӧмкӧ группаясӧ ӧтлаавлӧмӧн.
Примеръяс:
1. ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b);
2. 12 − 4x − 3x² + x³ = (12 − 4x) − (3x² − x³) = 4(3 − x) − x²(3 − x) = (3 − x)(4 − x²) = (3 − x)(2 + x)(2 − x);
3. m² + n² − 2mn − p² = (m² + n² − 2mn) − p² = (m − n)² − p² = (m − n + p)(m − n − p);
4. x² − y² + 6y − 9 = x² − (y² − 6y + 9) = x² − (y − 3)² = [x + (y − 3)][x − (y − 3)] = (x + y − 3)(x − y + 3).

д) Мукӧддырйи ковмывлӧ пыртны отсасьысь членъяс либӧ кутшӧмкӧ член разложитны кык членӧ.
Примеръяс:
1. a³ − b³ = a³ − a²b + a²b − b³ = a²(a − b) + b(a² − b²) = a²(a − b) + b(a + b)(a − b) = (a − b)[a² + b(a + b)] = (a − b)(a² + ab + b²);
2. a³ + b³ = a³ + a²b − a²b + b³ = a²(a + b) − b(a² − b²) = (a + b)[a² − b(a − b)] = (a + b)(a² − ab + b²);
3. 2x² + 3xy + y² = 2x² + 2xy + xy + y² = 2x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(2x + y).

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

102. 2a + 2x;
ax + ay;
4y² − 6xy.
103. 4ax − 2ay;
6x²y + 9xy².
104. 12a²b − 9a²b² + 6ab³;
xy² − 7xy + 4x²y.
105. m² − n²;
a² − 1;
1 − a².
106. x² − 4;
m² − 9;
4x² − y².
107. ¼x⁴ − ⅑y⁶;
0,01a⁶ − 9;
3a⁵ − 48ab⁸.
108. (x − y)² − a²;
(a + 2b)² − 1;
a² − (b + c)²
109. (x + y)² − (x − y)²;
16x² − 4(x + y)²
110. x² − 2xy + y²;
m² + n² + 2mn
111. 2ab + a² + b²;
a² − 4ab + 4b²
112. x² + 8x + 16;
x² + 1 + 2x.
113. 5a³ + 20a²b + 20ab²
114. a² + 2ab + b² − c²;
a² − b² + 2bc − c²
115. ax + bx + ay + by;
ac − ad + bd − bc
116. a² + ab − a − b;
xz − 3y − 3z + xy
117. 4mn + xy − 2nx − 2my;
8a³ − 12a² − 18a + 27 (3 ӧктас вылӧ).

ІV. АЛГЕБРАИЧЕСКӦЙ ДРОБЪЯС.

67. Алгебраическӧй дробъяслӧн арифметическӧй дробъясысь торъялӧм. Кык алгебраическӧй выраженньӧ юкӧмысь частнӧй, кор юкӧм сӧмын индыссьӧ, шусьӧ алгебраическӧй дробӧн. Например, татшӧмъяснас лоӧны со кутшӧм выраженньӧяс:
a/b; (a + b)/(c − d); (2x² − x + 5)/(x + 2).
Видзӧдлам алгебраическӧй дробъяслысь некымын особенносьтъяс.
Босьтам дроб b/a; корсям сылысь лыда ыджда, кор a = 12 да b = 4, сэсся кор a = 3 да b = 7 да медбӧрын кор a = −20 да b = 30. Вӧчӧм бӧрын сюрӧны лыдъяс 3, 3⁄7 да −⅔.
Татысь петӧ, мый алгебраическӧй дроблӧн лыда ыджда вермас лоны быдса да дроба лыд, положительнӧй да отрицательнӧй лыд, сы вӧсна, мый a да b пыдди задача условйӧяс серти вермасны босьтавны кутшӧм колӧ лыда значенньӧяс.
Алгебраическӧй дроблӧн числитель да знаменатель асьныс вермасны лоны быдса да дроба положительнӧй да отрицательнӧй лыдӧн.
Татысь петӧ, мый алгебраическӧй дроб йылысь вежӧртасыс паськыдджык арифметическӧй дроб серти. Бӧръясӧ позьӧ видзӧдны, кыдз алгебраическӧй дроблӧн частнӧй случай вылӧ.

68. Дроблӧн основнӧй свойство. Сы вӧсна, мый дроб эм частнӧй числительӧс знаменатель вылӧ юкӧмысь, а юканлыдӧс да юкысьлыдӧс ӧтыджда лыд вылӧ ӧктӧмысь да юкӧмысь (нульысь ӧтдор 34 §, г) частнӧй оз вежсьы, мӧд ног кӧ, дроблӧн ыджда оз вежсьы, кор сылысь числитель да знаменатель ӧктам либӧ юкам кутшӧмкӧ ӧтыджда лыд вылӧ (нульысь ӧтдор). Шуам, числитель да знаменатель (−⅔)/(7⁄5) дроблысь ӧктам −4⁄9 вылӧ, лоӧ:
Воддза дроб −⅔ : 7⁄5 = −10⁄21;
Выль дроб
[(−⅔) ⋅ (−4⁄9)] : [(7⁄5) ⋅ (−4⁄9)] = (+8⁄27) : (−28⁄45) = −(8 ⋅ 45)/(27 ⋅ 28) = −360⁄756 = −10⁄21;
ми аддзам, мый дроблӧн ыджда коли важыс.
Тайӧ свойство серти алгебраическӧй дробъяс вылын ми вермам вӧчавны сэтшӧм жӧ преобразованньӧяс, кутшӧмӧс вӧчавлім арифметическӧй дробъяс вылын: ми вермам, позьӧ кӧ, дробъясӧс сократитавны да, колӧ кӧ, вайӧдавны найӧс ӧтувъя знаменательӧ.

69. Дроблысь членъяссӧ быдса видӧ вайӧдӧм. Лоӧ кӧ сідз, мый дроблӧн членъясыс асьныс дробъяс, сэк лӧсялана бӧрйӧм лыд вылӧ либӧ алгебраическӧй выраженньӧ ӧктӧмӧн ми вермам мынтӧдчыны тайӧ кыкнан дробъяссьыс. Шуам:
1) (¾a)/b, кыкнан член 4 вылӧ ӧктӧмӧн лоӧ 3a/4b;
2) (⅔m)/(⅞n), „ „ 24 „ „ „ 16m/21n;
3) (ax − 1)/(1 − 1/x), „ „ x „ „ „ (ax² − x)/(x − 1).

УПРАЖНЕННЬӦЯС.


118. (5⁄7x)/y
0,3ab/m
a²/(1⅜b)
m/2,36n
119. (¾ab)/(⅚x²)
(3½a³)/(3¾b)
(3x − ¼)/(a − b)
120. 2⅛(a + b)/4¼
(3a − 7⁄3)/(1 − ⅙a)
121. (ax + b + c/x)/(ax + 1);
(1 + a/x − b/x²)/(1 − 1/x)

70. Дробса членъяслысь пасъяс вежлалӧм. Числитель да знаменатель водзысь мӧдаравны пас лоӧ сійӧ жӧ, мый найӧс −1 вылӧ ӧктыны, мыйысь дроблӧн ыджда оз вежсьы; шуам,
−8/(−4) = 2 да +8/(+4) = 2; −10/(+2) = −5 да +10/(−2) = −5.
Индам, мый мӧдаралам кӧ пас кутшӧмкӧ ӧти член водзысь да тшӧтш став дроб водзысь, сэк дроблӧн ыджда оз вежсьы. Шуам:
−10/(+2) = −5; −(−10)/(−2) = −5; −(+10)/(+2) = −5.
Тайӧ дроб свойствояснас мукӧддырйи ковмывлӧ пӧльзуйтчыны дробъясӧс преобразуйтігӧн; шуам:
(m² − n²)/(n − m) = (m² − n²)/(−(m − n)) = −(m + n)(m − n)/(m − n) = −(m + n).

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

Вежны пасъяс со кутшӧм дробъяс числитель да знаменатель водзысь:
122. (1 − x)/(−x);
(−3a²)/(a − b);
(1 − a)/(2 − b)
123. (−a² − b² + 2ab)/(b − a);
(1 − m²)/(−m + 1)
124. Дробъяслысь ыджда вежтӧг быд дроб водзӧ пуктыны − пас:
−3a/6
5x²/−3
(1 − a)/b
a/(2 − x)
(m² − n²)/(n − m)

71. Дробъясӧс сократитӧм. Алгебраическӧй дробӧс позьӧ вайӧдны прӧстӧйджык видӧ сэк, кор числительлӧн да знаменательлӧн эмӧсь ӧтувъя ӧктасъяс.
Примеръяс:
48ab/60ac = 4b/5c; 3a²b/7a³b = 3/7a; 160a⁵b²cd²/120a³b⁵c = 4a²d²/3b³.
Вайӧдӧм примеръясысь тыдалӧ, мый 
дробъяс сократитігӧн числительлӧн да знаменательлӧн коэффициентъяс сократитчӧны найӧ ӧтувъя медыджыд юкысьлыд вылӧ, а ӧткодь шыпаса ӧктасъяс сокращайтчӧны медічӧт степень вылӧ, мыйӧн найӧ пырӧны числительӧ да знаменательӧ.
Кор дроблӧн числитель либӧ знаменатель (либӧ кыкнаныс) — уначленъяс, первой колӧ уначленъяссӧ разложитны ӧктасъяс вылӧ (кыдз вӧлі индӧма 66 §-ын); на костын кӧ лоӧны подобнӧй ӧктасъяс, сэк дробсӧ позьӧ найӧ вылӧ сократитны.

Примеръяс:

(6x² + 8xy)/(9xy + 12y²) = [2x(3x + 4y)]/[3y(3x + 4y)] = 2x/3y;
(x² − 1)/(2x + 2) = [(x + 1)(x − 1)]/[2(x + 1)] = (x − 1)/2 = ½(x − 1)
(2 вылӧ юкӧм пыдди босьтӧма ½ вылӧ ӧктӧм, коді лоӧ ӧтвына).

УПРАЖНЕННЬӦЯС.


125. 7/7x
2m/3m²
4a²b/6ab²
42x³y²/112x²y
126. 12ab/8ax
3a²bc/12ab²
48a³x²y⁴/45a²xy
127. ab/(a² + ab)
9xy/(3x² − 3xy)
(4a + 8)/(4a − 8)
128. (a² + a)/(a² − a)
(x − 3)/(x² − 9)
(a² + a)/(a² − 1)
129. [x(x − 1)²]/[2x²(x − 1)(x + 1)]
(ax + x²)/(3bx − cx²)
(5a² + 5ax)/(a² − x²)
130. [(a + b)²(a − b)²]/(a² − b²)
(p² − 1)/[(1 + py)² − (p + y)²]

72. Ӧтувъя знаменательӧ дробъясӧс вайӧдӧм. а) Босьтам дробъяс, кодъяслӧн знаменательясыс шыпаса ӧткачленъяс:
a/2b, c/3ab, d/5ab².
Ӧтувъя знаменатель вылӧ колӧ босьтны 30ab². Сэк содтӧд ӧктасъясӧн лоӧны: 15ab, 10b да 6.
a/2b = 15a²b/30ab²; c/3ab = 10bc/30ab²; d/5ab² = 6d/30ab².
Босьтам нӧшта пример:
a/12b²c; 3b/8a³c⁴d²; 5c/18ab.
Ӧтувъя знаменательлы колӧ юксьыны быд сетӧм знаменатель вылӧ. Сідзкӧ, ӧтувъя знаменательын медічӧт коэффициент лоӧ сетӧм коэффициентъяс пиысь медічӧт кратнӧй лыд. Шыпаса ӧктасъяслы колӧ пырны сэтшӧм степеня ӧтувъя знаменательӧ, коді мед юксис быд степень вылӧ, кутшӧм эм знаменательясын сійӧ жӧ шыпаса ӧктасъяслӧн. Сідзкӧ, сетӧм примерын ӧтувъя знаменательлӧн коэффициент лоӧ 12, 8 да 18-лӧн медічӧт кратнӧй, мӧд ног кӧ, 72, a ӧктасъяслы степень петкӧдлысьӧн лоӧ 3, b ӧктаслы степень петкӧдлысьӧн — 2 да с. в. Ӧтувъя знаменатель лоӧ: 72a³b²c⁴d².
Содтӧд ӧктасъясӧн лоӧны: 6a³c³d², 9b² да 4a²bc⁴d².
Медбӧрын лоӧ: a/12b²c = 6a⁴c³d²/72a³b²c⁴d²; 3b/8a³c⁴d² = 27b³/72a³b²c⁴d²; 5c/18ab = 20a²bc⁵d²/72a³b²c⁴d².
Тайӧ примеръясысь тыдалӧ:
Кор колӧ некымын алгебраическӧй ӧткачлена знаменателя дробъяслысь корсьны ӧтувъя знаменатель, сэк колӧ босьтны сетӧм дробъяса знаменательяс коэффициентъяслысь медічӧт кратнӧй, сэсся колӧ босьтны шыпаса ӧктасъясӧс медвылыс степеньын, кодӧн найӧ пырӧны сетӧм знаменательясӧ; тайӧ став ӧктасъяслӧн произведенньӧ и лоӧ сетӧм дробъяслы ӧтувъя знаменательӧн.
б) Водзӧ босьтам дробъяс, кодъяслӧн знаменательясыс уначленъяс:
x/(a − b), y/(a + b), z/(a² − b²).
Быд знаменательӧс разложитам ӧктасъясӧ. Кык первойыс оз разложитчы, а коймӧдыс равняйтчӧ (a + b)(a − b). Сідзкӧ, ӧтувъя знаменательӧн лоӧ a² − b²; артмас:
x/(a − b) = (ax + bx)/(a² − b²); y/(a + b) = (ay − by)/(a² − b²); z/(a² − b²).
б) Вермас лоны сідзи, мый некутшӧм кык знаменатель оз кутны ӧтувъя ӧктасъяс. Сэк колӧ вӧчны сідз, кыдз вӧчсьӧ арифметикаын: быд дроблысь числитель да знаменатель колӧ ӧктыны став мукӧд дробъясса знаменательяслӧн произведенньӧ вылӧ.

Примеръяс:
1. a/3m, 2b/5n, 3c/2p; .... (a ⋅ 5n ⋅ 2p)/(3m ⋅ 5n ⋅ 2p), (2b ⋅ 3m ⋅ 2p)/(5n ⋅ 3m ⋅ 2p), (3c ⋅ 3m ⋅ 5n)/(2p ⋅ 3m ⋅ 5n), мӧд ног кӧ:
10anp/30mnp, 12bmp/30mnp, 45cmn/30mnp,

2. a/(a + b), b/(a − b) .... a(a − b)/(a + b)(a − b), b(a + b)/(a + b)(a − b),
мӧд ног кӧ: (a² − ab)/(a² − b²), (ab + b²)/(a² − b²).

УПРАЖНЕННЬӦЯС. 

Вайӧдны дробъяссӧ ӧтувъя знаменательӧ:
131. 3/a, 4/6;
x/3y, y/4x, x/4, 4/x;
132. 2/a, 3/b, 1/(2c);
7x/4a², 2/3b², 4b²/5x;
133. 5xy/3a²bc, 3ab/4mx²y, x/4ab, y/8a³b²;
134. 3/(8ab), 3x, a/5x³
135. (x + y)/(2x − 2y), (x − y)/(3x + 3y);
1/(m + 1), 2/(m² − 1), 3/(m − 1)
136. 2/(x² −2x + 1), 3a/(x − 1);
1/(x − 1), 2/(2x − 1), 1/(x − 1)(2x − 1)
137. x/28a²b², y/21a²b;
(a − b)/b, 2a/(a − b), 1/(a² − b²)

73. Дробъясӧс содтӧм да чинтӧм. Уначленӧс ӧткачлен вылӧ юкан правилӧ серти (59 §) ми вермам гижны:
(a + b + c)/m = a/m + b/m + c/m; (a − b)/m = a/m − b/m.
Тайӧ равенствояссӧ веськыдвывсянь шуйгавыв лыддигӧн аддзам:
1. Медым содтыны ӧтыджда знаменателя дробъясӧс, колӧ содтыны налысь числительяс да сумма улӧ гижны сійӧ жӧ знаменатель.
2. Медым чинтыны ӧтыджда знаменателя дробъясӧс, колӧ чинтыны налысь числительяс да разносьт улӧ гижны сійӧ жӧ знаменатель.
Кор колӧ разнӧй знаменателя сетӧм дробъясӧс содтыны либӧ чинтыны, сэк дробъясӧс первой колӧ вайӧдны ӧтувъя знаменательӧ.

Примеръяс:
1) a/b + c/d + e/f = (adf + cbf + ebd)/bdf;
2) 3m²/10a²bc − 5n²/4ab² = (6bm² − 25acn²)/20a²b²c;
3) (x + 1)/(2x − 2) − (x² + 3)/(2x² − 2)
2x − 2 = 2(x − 1) | содтӧд ӧктас = x + 1
2x² − 2 = 2(x² − 1) = 2(x + 1)(x − 1) | „ „ = 1.
ӧтувъя знамен. = 2(x + 1)(x − 1).

Чинтӧм бӧрын лоӧ:
((x + 1)² − (x² + 3))/2(x + 1)(x − 1) = (x² + 2x + 1 − x² − 3)/2(x + 1)(x − 1) = (2x − 2)/2(x + 1)(x − 1) = 1/(x + 1).

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

138. 1/a + 1/2b + 1/3c
2/x² + 5/3x
(a − 1)/2 − (2x + 3)/4
139. 1 − 5/x + 2/x² (1-ӧс изобразитны дробӧн 1/1)
140. 1 + (x − 1)/2
x − 2(3 − x)/3
1 − 2(x − 1)/3
141. (2 + x)/(1 + 2x) − (2 − x)/(1 − 2x) − (1 + 6x)/(4x² − 1)
142. 2ab/(a² − b²) + b/(a² + ab) − (a² + b)/(a² − ab)
143. Мыйӧ пӧрӧ (m − x)/(n − 1) дроб, x пыдди кӧ пуктыны mn/(m + n)?

74. Дробъясӧс ӧктӧм. Медым дробӧс ӧктыны дроб вылӧ, сэк числительӧс колӧ босьтны числитель вылӧ, знаменательӧс знаменатель вылӧ да вӧчны первой произведенньӧсӧ числительӧн, а мӧдсӧ знаменательӧн.
a/b × c/d = (ac)/(bd) (1)
Тайӧ правилӧ ӧткодь арифметическӧй дробъясӧс ӧктан правилӧкӧд. Но сы вӧсна, мый шыпасъяс улын вермасны лоны не сӧмын быдса да положительнӧй лыдъяс, но и дроба да отрицательнӧй лыдъяс, тайӧ правилӧ колӧ прӧверитны, туйӧ-ӧ алгебраическӧй дробъяслы, кор a, b, c да d лоӧны быдсяма лыдъясӧн. Первой шуам, медым найӧ ставыс вӧліны положительнӧй да дроба лыдъяс. Например:
a = 2/3, b = 7/8, c = 5/6 да d = 9/4.
Пукталам тайӧ лыдъяссӧ равенствоӧ (1). Торйӧн арталам равенстволысь шуйгавыв да веськыдвыв юкӧнъяссӧ да артмӧм результатъяссӧ ӧтластитам:
a/b = ⅔ : ⅞ = (2 ⋅ 8)/(3 ⋅ 7); c/d = ⅚ : 9⁄4 = (5 ⋅ 4)/(6 ⋅ 9).
(a/b) ⋅ (c/d) = (2 ⋅ 8)/(3 ⋅ 7) ⋅ (5 ⋅ 4)/(6 ⋅ 9) = (2 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ 4)/(3 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 9)
(помӧдз арталӧмъяс вӧчны ог кутӧй).
Ӧні арталам равенстволысь (1) веськыдвыв юкӧнсӧ:
ac = ⅔ ⋅ ⅚ = (2 ⋅ 5)/(3 ⋅ 6); bd = ⅞ ⋅ 9⁄4 = (7 ⋅ 9)/(8 ⋅ 4);
(ac)/(bd) = (2 ⋅ 5)/(3 ⋅ 6) : (7 ⋅ 9)/(8 ⋅ 4) = (2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 4)/(3 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 9).
Артмӧм результатъяс ӧтластитӧмӧн аддзам, мый найӧ ӧткодьӧсь сы вӧсна, мый 2 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ 4 = 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 4 да 3 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 9 = 3 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 9 (ӧктӧм переместительнӧй закон серти). Сідзкӧ, (1) равенство тайӧ случайын эз жӧ торксьы.
Ӧні шуам, мый кутшӧмкӧ a, b, c да d лыдысь ӧти лои отрицательнӧй лыд. Шуам, a = −⅔ (b, c да d-лӧн кольӧны важ значенньӧясӧс). Сэк дроб a/b лоӧ отрицательнӧй да став равенстволӧн (1) шуйгавылыс сідзжӧ лоӧ отрицательнӧй лыдӧн. Веськыдвылын ac произведенньӧ лоӧ отрицательнӧй да сы вӧсна став веськыдвылыс сідзжӧ лоӧ отрицательнӧй лыдӧн. Абсолютнӧй величина веськыдвывлӧн да шуйгавывлӧн кольӧны важыс. Сідзкӧ, равенство (1) оз торксьы. Тадз жӧ позьӧ петкӧдлыны, мый равенство (1) оз торксьы, кор и мукӧд лыдъяс лоӧны отрицательнӧйӧсь.
Тайӧ ставыс, мый ми ӧні частнӧй пример йылысь сёрнитім, позьӧ повторитны кӧть кутшӧм мӧд примерын; сідзкӧ, равенство (1) оз торксьы, кор a, b, c да d шыпасъяслы сетӧма кӧть кутшӧм значенньӧяс.

75. Дробъяслӧн квадрат да куб. Дробъясӧс ӧктан правилӧ применяйтам квадратӧ да кубӧ лэптігӧн. Правилӧ серти:
(a/b)² = (a/b) ⋅ (a/b) = a²/b²; (a/b)³ = (a/b) ⋅ (a/b) ⋅ (a/b) = a³/b³.
Татысь петӧ:
Медым алгебраическӧй дроб лэптыны квадратӧ либӧ кубӧ, колӧ лэптыны сійӧ степеньӧ числительсӧ да знаменательсӧ торйӧн.

76. Дробъясӧс юкӧм. Медым юкны дробӧс дроб вылӧ, колӧ босьтны первой дроблысь числитель мӧд дробса знаменатель вылӧ, первой дроблысь знаменатель мӧд дробса числитель вылӧ да первой произведенньӧсӧ вӧчны числительӧн, а мӧдсӧ — знаменательӧн:
a/b : c/d = (ad)/(bc).
Мый тайӧ равенство лӧсялӧ быд лыдлы a, b, c да d, позьӧ убедитчыны юкӧм прӧверитӧмӧн: частнӧйӧс юкысьлыд вылӧ ӧктӧм бӧрын лоӧ юканлыд:
(ad)/(bc) ⋅ c/d = (adc)/(bcd) = a/b.

77. Содтӧдъяс. 1) Сы вӧсна, мый ad/bc = a/b ⋅ d/c, сэк юкан правилӧ позьӧ висьтавны мӧд ног: 
медым юкны дробӧс дроб вылӧ, колӧ первой дробсӧ ӧктыны обратнӧй мӧд дроб вылас.
2) Быдсикас быдса алгебраическӧй выраженньӧ вылӧ позьӧ видзӧдны, кыдз дроб вылӧ, кодлӧн числительыс сійӧ быдса выраженньӧ, а знаменательыс 1; сідз: a = a/1; 3x² = 3x²/1 да с. в. Сідзкӧ, дробъяс вылын действийӧяс йылысь сетӧм правилӧясӧс позьӧ применяйтны сэтшӧм случайясӧ, кор индӧм выраженньӧяс пиын эм быдса лыд, сӧмын колӧ сійӧ быдса выраженньӧсӧ бергӧдны дробӧ. Шуам:
a : b/c = a/1 : b/c = ac/b.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

144. −3x/5a ⋅ 10ab/7x³
(1 − a)/5x³ ⋅ x²/(1 − a²)
145. 4x²y²/15n⁴a³ ⋅ 45p²q²
(x² − 1)/3 ⋅ 6a/(x + 1).
146. (a + (ab)/(a + b))(b − (b²)/(a + b))
3a²b⁵c⁴/4x²y²z⁴ : 4a⁴b³c²/3x⁴y³z²
147. 12a⁴b²/5mp : 4ab²
81a³b² : 27ab²/5x²y
148. (a² + b²)/(a² − b²) : (5a² + 5b²)/(a + b)
(x + (xy)/(x − y)) : (x − (xy)/(x + y)).

НЁЛЬӦД ЮКӦД.

ПЕРВОЙ СТЕПЕНЯ УРАВНЕННЬӦЯС.

1. УРАВНЕННЬӦЯСЛӦН ОБЩӦЙ СВОЙСТВОЯС.

78. Равенствояс да налӧн свойствояс. Кор кык ӧтыджда лыд либӧ кык ӧтыджда алгебраическӧй выраженньӧ ӧтлаалӧма мӧда-мӧдкӧд = пасӧн, лоӧ равенство. Сійӧ лыдъяс либӧ выраженньӧяс, кодъясысь артмӧма равенство, шусьӧны равенство юкӧнъясӧн; сійӧ, мый сулалӧ = пассянь шуйгавылын, лоӧ шуйгавыв юкӧн, а сійӧ, мый сулалӧ = пассянь веськыдвылын, лоӧ веськыдвыв юкӧн. Например равенствоын:
a + a + a = a ⋅ 3
шуйгавыв юкӧн сумма a + a + a, а веськыдвыв — произведенньӧ a ⋅ 3.
Равенстволысь быд юкӧн ӧти шыпасӧн пасйӧмӧн, ми вермам сылысь петкӧдлыны главнӧй свойствояссӧ:
а) Кор a = b, сэк b = a; равенстволысь пайяс позьӧ вежлавны местаясӧн.
б) Кор a = b да b = c, сэк a = c; кык лыд кӧ торйӧн равнӧйӧсь коймӧд лыдлы, сэк найӧ мӧда-мӧдкӧд равнӧйӧсь.
в) Кор a = b да m = n, сэк a + m = b + n да a − m = b − n; ӧтыджда лыдъяс дінӧ кӧ ӧтмындаӧн содтам либӧ ӧтмындаӧн чинтам, сэк равенство оз торксьы.
г) Кор a = b да m = n, сэк am = bn да a/m = b/n; ӧтыджда лыдъяс кӧ ӧктам либӧ юкам ӧтыджда лыдъяс вылӧ, сэк равенство оз торксьы.
Колӧ тӧдны, мый равенстволысь кыкнан юкӧн −1 вылӧ ӧктӧм либӧ юкӧм ӧтвына равенство юкӧнъяс водзысь пасъяс мӧдаралӧмлы. Сідз, −x = −5 равенстволысь кӧ кыкнан юкӧн ӧктам −1 вылӧ, лоӧ: x = 5.

79. Тождество. Кык алгебраическӧй выраженньӧяс шусьӧны тождественнӧйӧн, кор наӧ пырысь шыпасъяс пыдди кӧть кутшӧм лыд пукталігӧн найӧ лоӧны ӧтыджда лыда величинаяс. Татшӧмъяснас, например, лоӧны со кутшӧм выраженньӧяс:
ab да ba; a + (b + c) да a + b + c.
Кор кутшӧмкӧ равенствоын кыкнан юкӧн тождественнӧй алгебраическӧй выраженньӧяс, сэк сэтшӧм равенствоыс шусьӧ тождествоӧн. Татшӧмнас, например, лоӧ со кутшӧм равенство:
a + b + c = a + (b + c).
Тождествоӧн сідзжӧ шусьӧ и сэтшӧм равенство, кытчӧ пырӧны лыдпасъясӧн гижӧм лыдъяс да налӧн кыкнан юкӧныс став индӧм действийӧяс вӧчӧм бӧрын лоӧны ӧткодь лыдъяс. Пример:
(40 ⋅ 5) : 8 = 5².

80. Уравненньӧ. Шуам, миян колӧ решитны татшӧм задача: батьлы 40 ар, пилы 17. Кымын во мысти бать лоӧ кык пӧв пӧрысьджык пиысь?
Арифметическӧй ногӧн тайӧ задача решитны сьӧкыд. Решитам сійӧс шыпасъясӧн пасъялӧмӧн. Корсян вояс лыд пасъям x-ӧн. x во мысти батьлы лоӧ 40 + x во, а пилы 17 + x во. Задача условйӧ серти, батьлӧн арлыд лоӧ пи арлыдысь кык пӧв унджык. Тайӧ ми вермам гижны татшӧм равенствоӧн:
40 + x = 2(17 + x).
Сідзкӧ, x вермас лоны сӧмын сэтшӧм лыдӧн, код дырйи гижӧм равенство оз торксьы. Прӧверитӧмӧн тӧдмалам, мый тадзи лоӧ сӧмын сэки, кор x = 6:
40 + 6 = 2(17 + 6); 46 = 46.
x пыдди кӧ пуктам кутшӧмкӧ мӧд лыд, равенство торксьӧ.
Тайӧ равенство тождествоӧн шуны оз позь сы вӧсна, мый сійӧ x пыдди кутшӧмкӧ мӧд лыд пуктӧмӧн равенствоыс торксьӧ. Сӧмын x пыдди 6 пуктӧмӧн тайӧ равенство бергӧдчӧ тождествоӧ:
46 = 46.
Кор равенстволӧн кыкнан юкӧныс (кӧні эм ӧти либӧ некымын шыпас) имеитӧны ӧтыджда лыда величина, но тайӧ ӧтыджда величинаясыс дырйи шыпасъясыслы сетсьӧ определённӧй лыда значенньӧ, сэк татшӧм равенствоыс шусьӧ уравненньӧӧн, а уравненньӧын шыпасъясӧн пасйӧм лыдъяс шусьӧны уравненньӧса тӧдтӧмъясӧн. Тӧдтӧм лыдъяс пасйыссьӧны латин алфавитса бӧръя шыпасъясӧн (x, y, z...).
Уравненньӧяс овлӧны ӧти тӧдтӧма, кык тӧдтӧма да с. в.
Решитны уравненньӧ, сійӧ лоӧ корсьны сыӧ пырысь тӧдтӧмъяслысь лыда значенньӧяс, кодъяс удовлетворяйтӧны уравненньӧсӧ, либӧ кыдз шуӧны, кодъяс пӧртӧны сійӧс тождествоӧ. Тӧдтӧмъяслӧн сэтшӧм значенньӧяс шусьӧны уравненньӧса кореньясӧн.
Ӧти тӧдтӧма уравненньӧлӧн вермас лоны ӧти, кык да унджык корень. Сідз, 3x − 2 = 13 уравненньӧлӧн сӧмын ӧти корень (5); x² + 2 = 3x уравненньӧын кык корень (1 да 2), (x − 1)(x − 2)(x + 1) = 0 уравненньӧын куим корень (1, 2 да −1)*. Вермас весиг лоны и сідз, мый уравненньӧлӧн корень дзикӧдз абу. Сэтшӧмӧн лоӧ уравненньӧ x² = −4; кӧть кутшӧм положительнӧй либӧ отрицательнӧй лыд пуктам x пыдди, сэк сійӧ лыдлӧн квадрат некор оз вермы лоны отрицательнӧй лыдӧн.

* Кутшӧмкӧ ӧти ӧктас кӧ = 0, сэк став произведенньӧ = 0.

Миянӧн вылӧ вайӧдӧм задача условйӧысь петан уравненньӧлӧн кореньыс = 6. Тайӧ лоӧ задачалы ӧтветӧн сы вӧсна, мый 6 во мысти батьлы лоӧ 46 ар, а пилы 23 — кыкысь этшаджык.
Сідзкӧ, мукӧд задачаяс решитігӧн бурджык овлӧ вӧчны уравненньӧ да сійӧс кужны решайтны. Та вылӧ колӧ тӧдмавны уравненньӧяслысь некымын общӧй свойствояс.
Пример пыдди решитам воддза уравненньӧ:
40 + x = 2(17 + x).
Уравненньӧ веськыд юкӧнысь восьтам скобкаяс:
40 + x = 34 + 2x.
Уравненньӧ кыкнан юкӧнысь чинтам ӧти x-ӧн; лоӧ:
40 = 34 + x.
Уравненньӧ кыкнан юкӧнысь бара чинтам 34-ӧн; лоӧ:
6 = x, сідзкӧ: x = 6.
Тадзи, уравненньӧӧс некымын пӧв преобразуйтӧм бӧрын x-лы аддзам значенньӧ 6.
Примернӧ та ногӧн жӧ, кыдз ми аддзам водзысь, решайтчӧны и мукӧд уравненньӧяс.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

149. Индыны, кутшӧмъясӧс тайӧ равенствоясысь позьӧ шуны тождествоӧн да кутшӧмъясӧс уравненньӧӧн:
x + y = y + x
(a − b + x)c = ac − bc + xc.
3a − 4 = 2a + 1
8x + 1 = 5x + 7
a(bc) = abc.
2x = x + 1
(xy) : y = x
a : 2b = (a/2) : b.

81. Ӧтвына уравненньӧяс. Ӧтвына уравненньӧясӧн шусьӧны сэтшӧм кык уравненньӧ, кор налӧн кыкнаныслӧн кореньясыс ӧтыдждаӧсь, мӧд кылӧн кӧ, кор первой уравненньӧлӧн быд корень ладмӧ мӧд уравненньӧӧ да, мӧдарӧ, кор мӧд уравненньӧлӧн быд корень ладмӧ первой уравненньӧӧ. Пример вылӧ босьтам кык уравненньӧ:
x² + 2 = 3x да 3x − 2 = x².
Уравненньӧясыс ӧтвынаӧсь сы вӧсна, мый кореньясыс кыкнаныслӧн ӧткодьӧсь (1 да 2). Уравненньӧяс
7x = 14 да x² + 2 = 3x
абу ӧтвынаӧсь сы вӧсна, мый первойыслӧн сӧмын ӧти корень 2, а мӧдыслӧн 2-ысь ӧтдор нӧшта эм мӧд корень 1.
Кор решитам кутшӧмкӧ уравненньӧ, сэк найӧ вылын вӧчам некымын преобразованньӧяс; тайӧ преобразованньӧяснас сетӧм уравненньӧсӧ последовательнӧя вежлалам мӧдъясӧн, прӧстӧйджыкъясӧн, сэтчӧдз, кытчӧдз оз ло медся прӧстӧй вида уравненньӧ: x = a; сэк ми шуам, мый a лыд лоӧ уравненньӧлӧн корень. Но тайӧ шуны ӧшыбитчытӧг вермам сӧмын сэк, кор тӧдам, мый преобразованньӧясӧн артмӧм став уравненньӧяс вӧліны сетӧм уравненньӧкӧд ӧтвынаӧсь.
Преобразованньӧяс, кодъясӧс миян ковмас уравненньӧяс вылын вӧчавны, пыксьӧны уравненньӧ кык свойство вылӧ, кодъясӧс ми ӧні видзӧдлам.

82. Уравненньӧлӧн первой свойство. Босьтам кутшӧмкӧ уравненньӧ:
x² + 2 = 3x. (1)
Уравненньӧ кыкнан юкӧн дінӧ содтам кутшӧмкӧ ӧтыджда лыд m (положительнӧй, отрицательнӧй либӧ нуль); сэк миян лоӧ выль уравненньӧ:
x² + 2 + m = 3x + m. (2)
Докажитам, мый тайӧ уравненньӧ сетӧм уравненньӧкӧд ӧтвына. Та вылӧ колӧ сӧмын петкӧдлыны, мый (1) уравненньӧса быд корень ладмӧ (2) уравненньӧӧ да мӧдарӧ, (2) уравненньӧса быд корень ладмӧ (1) уравненньӧӧ.
а) Шуам, (1) уравненньӧлӧн эм кутшӧмкӧ корень, например, x = 1. Тайӧ лоӧ, мый кор тайӧ уравненньӧӧ x пыдди пуктам 1, сэк выраженньӧ x² + 2 лоӧ 3x ыджда. Но сэк, x = 1 дырйи, суммаяс x² + 2 + m да 3x + m лоӧны ӧтыдждаӧсь жӧ сы вӧсна, мый ӧтыджда лыдъяс дінӧ кӧ (3 да 3) содтам ӧтыджда лыд (m), артмасны ӧтыджда жӧ лыдъяс (3 + m да 3 + m). Сідзкӧ, x = 1 корень колӧ лоны сідзжӧ кореньӧн и (2) уравненньӧлы. Уравненньӧлӧн кӧ (1) нӧшта эм кутшӧмкӧ корень, сэк сы йылысь позяс шуны сійӧ жӧ, мый ӧні шулім x = 1 корень йылысь, мӧд ног кӧ шуны, мӧд корень ладмас сідзжӧ и (2) уравненньӧӧ. Сідзкӧ, (1) уравненньӧса быд корень ладмӧ (2) уравненньӧӧ.
б) Шуам, мый (2) уравненньӧлӧн эм кутшӧмкӧ корень, например, x = 2. Сідзкӧ, кор тайӧ уравненньӧӧ x пыдди пуктам сылысь ыджда 2, сэк выраженньӧ x² + 2 + m лоӧ 3x + m выраженньӧ ыджда (тайӧ кыкнан выраженньӧ пӧрӧны лыдӧ 6 + m). Кор x = 2, сэк выраженньӧяс x² + 2 да 3x лоӧны сідзжӧ ӧтыдждаӧсь, сы вӧсна, мый ӧтыджда лыдъясысь кӧ (6 + m да 6 + m) чинтам ӧтыджда жӧ лыд (m), артмасны ӧтыджда лыдъяс. Сідзкӧ, x = 2 сідзжӧ лоӧ корень (1) уравненньӧлӧн. Уравненньӧлӧн кӧ вӧлі нӧшта кутшӧмкӧ корень, сэк сы йылысь эськӧ ковмис шуны сійӧ жӧ, мый шулім x = 2 корень йылысь; мӧд ног кӧ, тайӧ кореньыс сідзжӧ ладмӧ (1) уравненньӧӧ.
Сідзкӧ, (2) уравненньӧса быд корень ладмӧ (1) уравненньӧӧ.
(1) да (2) уравненньӧяслӧн кӧ кореньясыс ӧтыдждаӧсь, сэк тайӧ уравненньӧяс ӧтвынаӧсь. Тайӧ свойство сідзжӧ туйӧ уравненньӧӧ юкӧнъясысь ӧтыджда лыд чинтӧм вылӧ; кутшӧмкӧ лыд чинтыны лоӧ сійӧ жӧ, мый сійӧ лыд мӧдара пасӧн содтыны.
Та ногӧн, кор уравненньӧса кыкнан юкӧнӧ содтам либӧ наысь чинтам ӧтыджда лыд, сэк артмас первойкӧд ӧтвына выль уравненньӧ.

83. Следствийӧяс. Тайӧ свойствоысь позьӧ петкӧдны со кутшӧм следствийӧяс, кодъяс зэв тшӧкыда ковлӧны уравненньӧяс решайтігӧн:
1. Уравненньӧлысь членъяссӧ пасъяссӧ мӧдаралӧмӧн ӧтар юкӧнысь позьӧ вуджӧдны мӧдарӧ. Пример вылӧ,
8 + x² = 7x − 2
уравненньӧса кыкнан юкӧнӧ кӧ содтам 2, лоӧ:
8 + x² + 2 = 7x.
Член −2 веськыдвылысь вуджис шуйгавылӧ мӧдара пасӧн, +-ӧн. Бӧръя уравненньӧысь кӧ чинтам (кыкнан юкӧнысь) x²-ӧн, лоӧ:
8 + 2 = 7x − x².
Член +x² шуйгавылысь мӧдара пасӧн вуджис веськыдвылӧ.

2. Уравненньӧса кыкнан юкӧнын кӧ эмӧсь ӧтыджда да ӧткодь паса членъяс, найӧс позьӧ бырӧдны. Пример:
6x + 3 = x² + 3.
Кыкнан юкӧнысь чинтам 3-ӧн да лоӧ:
6x = x².

84. Уравненньӧлӧн мӧд свойство. Босьтам сійӧ жӧ уравненньӧсӧ
x² + 2 = 3x (1)
да кыкнан юкӧнсӧ сылысь ӧктам кутшӧмкӧ m положительнӧй либӧ отрицательнӧй (сӧмын мед абу нуль) лыд вылӧ. Сэк артмас выль уравненньӧ:
(x² + 2)m = 3xm. (2)
Медым аддзыны, мый (1) да (2) уравненньӧяс ӧтвынаӧсь, кутам мӧвпавны сідз жӧ, кыдз вӧчим воддза свойство йылысь: петкӧдлам, мый (1) уравненньӧлӧн быд корень ладмӧ (2) уравненньӧӧ да, мӧдарӧ, (2) уравненньӧлӧн быд корень ладмӧ (1) уравненньӧӧ.
а) Медым (1) уравненньӧлӧн эм кутшӧмкӧ корень, шуам, x = 1. Тайӧ лоӧ, мый сэки, кор уравненньӧас x пыдди пуктам сылысь лыда ыджда, выраженньӧяс x² + 2 да 3x лоӧны ӧтыдждаӧсь (кыкнаныс найӧ пӧрӧны 3 лыдӧ). Но сэк x = 1 дырйи произведенньӧяс (x² + 2)m да 3xm лоӧны сідзжӧ ӧтыдждаӧсь сы вӧсна, мый ӧтыджда лыдъясӧс (3 да 3) ӧткодь (m) лыд вылӧ ӧктігӧн артмӧны ӧтгырся лыдъяс (3m да 3m). Сы вӧсна, мый тайӧ ставсӧ позьӧ повторитны (1) уравненньӧса кӧть кутшӧм кореньлы, то позьӧ шуны, мый кӧть кутшӧм корень (1) уравненньӧлӧн ладмӧ и (2) уравненньӧлы.
б) Мӧдарӧ, мед (2) уравненньӧлӧн эм кутшӧмкӧ корень, шуам, x = 2. Тайӧ лоӧ, мый уравненньӧас кӧ x пыдди пуктам сылысь лыда ыджда 2, сэк произведенньӧяс (x² + 2)m да 3xm лоӧны ӧтыдждаӧсь (кыкнаныс найӧ пӧрӧны 6m лыдӧ). Но кор x = 2, сэк выраженньӧяс x² + 2 да 3x лоӧны сідзжӧ ӧтыдждаӧсь, сы вӧсна, мый ӧтыджда лыдъясӧс кӧ (6m да 6m) юкам ӧти (m) лыд вылӧ, коді абу нуль, сэки лоӧны ӧтыджда жӧ лыдъяс. Сідзкӧ, корень x = 2 да быдсяма мӧд корень (2) уравненньӧлӧн ладмӧны (1) уравненньӧӧ; та серти тайӧ уравненньӧяс ӧтвынаӧсь.
Шуам, медым m лыд, код вылӧ уравненньӧлысь ӧктім кыкнан юкӧнсӧ, нуль ыджда. Например, x² + 2 = 3x уравненньӧлысь, кодлӧн эм кык корень: 1 да 2, кыкнан юкӧнсӧ ӧктам нуль вылӧ; сэк миян лоӧ выль уравненньӧ:
(x² + 2) ⋅ 0 = 3x ⋅ 0.
Тайӧ уравненньӧӧ кореньӧн ладмӧ оз сӧмын 1 да 2, а кутшӧм колӧ произвольнӧй лыд. Сідз, x пыдди 5, 6, 7 да с. в. пукталӧмӧн, лоӧны:
(5² + 2) ⋅ 0 = 3 ⋅ 5 ⋅ 0; (6² + 2) ⋅ 0 = 3 ⋅ 6 ⋅ 0;
мӧд ног кӧ:
27 ⋅ 0 = 15 ⋅ 0; 38 ⋅ 0 = 18 ⋅ 0; либӧ:
0 = 0, 0 = 0
(сы вӧсна, мый быд лыдлӧн нуль вылӧ ӧктӧмысь произведенньӧ лоӧ нуль). Сідзкӧ, нуль вылӧ ӧктӧмысь уравненньӧяслӧн ӧтвыналуныс вошӧ.
Татысь петӧ, уравненньӧлысь кӧ кыкнан юкӧнсӧ ӧктам либӧ юкам кутшӧмкӧ ӧтыджда лыд вылӧ, коді мед сӧмын абу нуль, сэк лоӧ выль уравненньӧ, коді сетӧм уравненньӧкӧд ӧтвына.

85. Следствийӧяс. Уравненньӧ мӧд свойствоысь позьӧ петкӧдны со кутшӧм куим следствийӧ:

1. Уравненньӧса быд членлӧн кӧ эм ӧтувъя ӧктас, коді абу нуль ыджда да кӧні абуӧсь тӧдтӧм лыдъяс, сійӧ ӧтувъя ӧктас вылӧ уравненньӧлысь став членсӧ позьӧ юкны. Пример:
60x − 160 = 340 − 40x
20 вылӧ став членсӧ юкӧм бӧрын лоӧ прӧстӧйджык уравненньӧ:
3x − 8 = 17 − 2x.

2. Уравненньӧӧс позьӧ мынтӧдны (<rus>освободить</rus>) дроба членъясысь. Пример:
(7x − 3)/6 − (x − 5)/4 = 43/6.
Уравненньӧлысь став член вайӧдам ӧтувъя знаменательӧ:
(14x − 6)/12 − (3x − 15)/12 = 86/12, либӧ: (14x − 6 − (3x − 15))/12 = 86/12.
Общӧй знаменатель шыбитӧмӧн ми уравненньӧлысь кыкнан пайсӧ ӧктам 12 вылӧ (коді абу нуль); лоӧ выль уравненньӧ, ӧтвына сетӧм уравненньӧкӧд:
14x − 6 − (3x − 15) = 86 либӧ 14x − 6 − 3x + 15 = 86.

3. Уравненньӧса став членъяс водзысь пасъяссӧ позьӧ вежлавны противоположнӧй пасъяс вылӧ, тайӧ дзик жӧ сэтшӧм, мый уравненньӧлысь кыкнан юкӧнсӧ ӧктыны −1 вылӧ. Например, ӧктам кӧ −1 вылӧ −8 − x² = −7 + 2 уравненньӧлысь юкӧнъяссӧ, сэк лоӧ: 8 + x² = 7 − 2.

86. Уравненньӧлысь юкӧнъяссӧ ӧткодь алгебраическӧй выраженньӧяс вылӧ ӧктӧм да юкӧм. Мукӧддырйи уравненньӧсӧ преобразуйтӧм могысь сылысь кыкнан юкӧнсӧ ковмывлӧ ӧктыны либӧ юкны ӧтыджда алгебраическӧй выраженньӧ вылӧ (водзӧ лоан параграфын та вылӧ эм пример). Артмӧм уравненньӧ лоӧ важкӧд ӧтвына сӧмын сэк, кор алгебраическӧй выраженньӧ, код вылӧ ӧктам либӧ юкам уравненньӧлысь кыкнан юкӧнсӧ, абу нуль ыджда; нуль ыджда кӧ, уравненньӧяслӧн ӧтвыналуныс (равносильносьт) вошӧ.

87. Бокӧвӧй (посторонньӧй) кореньяс. Уравненньӧлысь кыкнан юкӧнсӧ ковмывлӧ ӧктыны алгебраическӧй выраженньӧ вылӧ, сэки, кор ми решайтам уравненньӧ, кодлӧн эмӧсь дроба членъяс, да знаменателяс пырӧны тӧдтӧм членъяс. Шуам, миянлы колӧ решайтны уравненньӧ:
x²/(x − 2)² + 2/(x − 2)² = 1/(x − 2) + (2x + 2)/(x − 2)². (1)
Став дробъяслы ӧтувъя знаменательӧн лоӧ (x − 2)². Став членъяссӧ вайӧдам тайӧ знаменателяс:
x²/(x − 2)² + 2/(x − 2)² = (x − 2)/(x − 2)² + (2x + 2)/(x − 2)²,
шыбитам ӧтувъя знаменатель, мӧд ног кӧ — став членсӧ ӧктам (x − 2)² вылӧ:
x² + 2 = x − 2 + 2x + 2,
либӧ:
x² + 2 = 3x. (2)
Тайӧ уравненньӧлӧн кык корень: 1 да 2. Но ми огӧ вермӧ дзикӧдз шуны, мый тайӧ кыкнан кореньыс ладмӧны (1) уравненньӧӧ сы вӧсна, мый ми кыкнан юкӧнсӧ сылысь ӧктім (x − 2)² выраженньӧ вылӧ, коді x = 2 дырйи пӧрӧ нульӧ, а нуль вылӧ босьтігӧн уравненньӧяслӧн ӧтвын (равносильносьт) торксьӧ.
Ладмӧны-ӧ (2) уравненньӧысь сюрӧм кореньяс 1 да 2 (1) уравненньӧӧ, ковмас (1) уравненньӧӧ x пыдди найӧс пукталӧмӧн видлавны. Корень x = 1 (1) уравненньӧӧ ладмӧ:
1²/(1 − 2)² + 2/(1 − 2)² = 1/(1 − 2) + (2 ⋅ 1 + 2)/(1 − 2)²,
1/(−1)² + 2/(−1)² = 1/(−1) + (2 + 2)/(−1)²,
1 + 2 = −1 + 4, мӧд ног кӧ, 3 = 3.
Мӧд корень x = 2 (1) уравненньӧӧ оз туй сы вӧсна, мый x = 2 дырйи уравненньӧ лоӧ позьтӧм вида:
4/0 + 2/0 = 1/0 + 6/0
(нуль вылӧ юкны оз позь).
Сідзкӧ, кор сетӧм уравненньӧын эмӧсь дробъяс, кодъяслӧн знаменательясас эм тӧдтӧм лыд, да кор найӧ знаменательясысь ми мынтӧдчим, уравненньӧлысь кыкнан юкӧнсӧ ӧтувъя знаменатель вылӧ ӧктӧмӧн, — сэк артмӧм уравненньӧысь сюрӧм кореньяссӧ уравненньӧас пуктавлӧмӧн колӧ испытайтны, медым тӧдмавны, абу-ӧ кореньяс пиын бокӧвӧй кореньяс.
Мӧдарӧ, уравненньӧлысь кыкнан юкӧнсӧ тӧдтӧм лыда алгебраическӧй выраженньӧ вылӧ юкӧмӧн вермам некымын корень воштыны.
Пример:
(2x + 3)(x − 3) = (3x − 1)(x − 3)
уравненньӧлысь кыкнан юкӧнсӧ (x − 3) вылӧ юкам да лоӧ выль уравненньӧ:
2x + 3 = 3x − 1.
Тайӧ уравненньӧлӧн кореньыс x = 4, а сетӧм уравненньӧлӧн кык корень x = 4 да x = 3. Та серти лоӧ, мый сетӧм да артмӧм уравненньӧяс абу ӧтвынаӧсь.

ІІ. ӦТИ ТӦДТӦМА УРАВНЕННЬӦ.

88. Ӧти тӧдтӧма первой степеня уравненньӧяс решитӧм. 
Примеръяс вылын петкӧдлам ӧти тӧдтӧма первой степеня уравненньӧяс решитӧм:
1. Решитны уравненньӧ:
3x + 2(4x − 3) = 5(x + 2) − 4.
Скобкаяс восьталӧм бӧрын лоӧ:
3x + 8x − 6 = 5x + 10 − 4.
Вуджӧдам тӧдтӧма членъясӧс шуйгавылӧ, а тӧдана членъясӧс веськыдвылӧ (видзӧд уравненньӧ первой свойстволысь следствийӧ):
3x + 8x − 5x = 10 − 4 + 6.
Вӧчам подобнӧй членъяссӧ вайӧдӧм:
6x = 12.
Уравненньӧлысь кыкнан юкӧнсӧ 6 вылӧ юкам (уравненньӧ мӧд свойство серти):
x = 2.
Медым тӧдмавны, уравненньӧ решитігӧн эгӧ-ӧ вӧчӧй кутшӧмкӧ ӧшыбка, колӧ прӧверитны. Та вылӧ, сюрӧм кореньсӧ колӧ пуктыны сетӧм уравненньӧӧ x пыдди да вӧчны уравненньӧын индӧм став действийӧяс. Уравненньӧ кӧ сы бӧрын пӧрӧ тождествоӧ, сэк позьӧ шуны, мый корень сюрӧма колана. Миян примерын:
3 ⋅ 2 + 2(4 ⋅ 2 − 3) = 5(2 + 2) − 4,
мӧд ног кӧ
16 = 16.
Уравненньӧ решитӧма лючки.

2. Решитны уравненньӧ:
(3x − 4)/2 + (3x + 2)/5 − x = (7x − 6)/6 − 1.
Став членсӧ вайӧдам ӧтувъя знаменательӧ, коді = 30:
15(3x − 4)/30 + 6(3x + 2)/30 − 30x/30 = 5(7x − 6)/30 − 30/30.
Став членъяссӧ ӧктам 30 вылӧ (мынтӧдчам знаменательысь):
15(3x − 4) + 6(3x + 2) − 30x = 5(7x − 6) − 30.
Восьтам скобкаяс:
45x − 60 + 18x + 12 − 30x = 35x − 30 − 30.
Вуджӧдам тӧдтӧм членъяссӧ шуйгавылӧ, а тӧданаяссӧ веськыдвылӧ:
45x + 18x − 30x − 35x = 60 − 12 − 30 − 30.
Вӧчам подобнӧй членъяссӧ вайӧдӧм:
−2x = −12.
Кыкнан юкӧнсӧ юкам тӧдтӧмбердса коэффициент вылӧ (позьӧ вӧлі водзвыв кыкнан юкӧнсӧ босьтны −1 вылӧ, мед найӧ лоины положительнӧйяс):
x = −12/(−2) = 12/2 = 6.
Вӧчам прӧверитӧм:
(3 ⋅ 6 − 4)/2 + (3 ⋅ 6 + 2)/5 − 6 = (7 ⋅ 6 − 6)/6 − 1; 7 + 4 − 6 = 6 − 1; 5 = 5.
Уравненньӧ решитӧма лючки.
Вайӧдӧм примеръясысь позьӧ петкӧдны ӧти тӧдтӧма первой степеня уравненньӧясӧс решитӧм вылӧ со кутшӧм пӧрадок:
1. Мынтӧдны уравненньӧӧс дроба членъясысь (вайӧдны быдса видӧ).
2. Восьтыны скобкаяс.
3. Тӧдтӧма членъясӧс вуджӧдны ӧти юкӧнӧ, а тӧданаяссӧ — мӧдӧ.
4. Вӧчны подобнӧй членъяссӧ вайӧдӧм.
5. Уравненньӧлысь кыкнан юкӧнсӧ юкны тӧдтӧмбердса коэффициент вылӧ.
Сэсся сюрӧм кореньяссӧ первоначальнӧй уравненньӧясӧ пукталӧмӧн колӧ решитӧмсӧ прӧверитны.
Гӧгӧрвоана, мый уравненньӧ серти мукӧддырйи оз ковмывлы вӧчны тайӧ став индӧм вит операциясӧ.

Индӧд. Уравненньӧ вылын нёль первой операциясӧ вӧчӧм бӧрын быд юкӧнын кольӧ сӧмын ӧти членӧн: шуйгавылын член, кытчӧ пырӧ тӧдтӧма, а веськыдвылын тӧдана член. Медбӧръя уравненньӧ позьӧ гижны татшӧм формаӧн:
ax = b,
кӧні a да b вермасны лоны положительнӧй да отрицательнӧй лыдъясӧн либӧ весиг нуль ыдждаӧн. Уравненньӧлӧн татшӧм видыс шусьӧ ӧти тӧдтӧма первой степеня уравненньӧ нормальнӧй видӧн.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

Решитны со кутшӧм уравненньӧяс:
150. 2x + 1 = 35
19 = 4 + 3y;
7y − 11 = 24;
151. 3x + 23 = 104;
89 = 11y − 10;
38 = 2 + 3x;
152. 3x = 15 − 2x;
4x − 3 = 9 − 2x;
5x + ¼ = 3½;
153. 2,5x − 0,86 = 4 + 0,7x;
29 + 2x = (x − 7) ⋅ 3;
154. x − 7 = (3x + 13)/20; −x = 3; −2x = 8;
155. (2x + 1)/2 = (7x + 5)/8; x + (11 − x)/3 = (20 − x)/2;
156. x + (3x − 9)/5 = 11 − (15x − 12)/3.
157. 3x − 4 − 4(7x − 9)/15 = ⅘(6 + (x − 1)/3).
158. 2x − (19 − 2x)/2 = (2x − 11)/2.
159. (x − 1)/7 + (23 − x)/5 = 2 − (4 − x)/4.

89. Уравненньӧ составитӧм йылысь гӧгӧрвоӧм. Уравненньӧяс отсӧгӧн кокниа позьӧ решайтны сэтшӧм задачаяс, кодъясӧс арифметическӧй ногӧн сьӧкыд, а мукӧддырйи дзикӧдз он вермы. Медся сьӧкыд тані сійӧ, кыдз составитны сійӧ уравненньӧсӧ, кодӧс решайтӧмӧн медым сюри задача серти колана ӧтвет. Индыны дзик ӧти способ уравненньӧясӧс составляйтӧм вылӧ огӧ вермӧй, сы вӧсна, мый задачалӧн условйӧясыс овлӧны зэв уна сикас. Позьӧ сӧмын индыны некымын общӧй приёмъяс, кодъяс колӧны сетӧм задача серти уравненньӧяс составляйтны. Навыкъяссӧ жӧ сетӧ сӧмын практика.
Пример вылын петкӧдлам уравненньӧ составляйтан общӧй приёмъяс.

Задача. Школа ньӧбис кыз да вӧсни тетрадь, ставсӧ 80 тетрадь. Кыз тетрадь сулалӧ 35 ур, а вӧсни 4 ур. Уна-ӧ вӧлі ньӧбӧма кыкнан сикассӧ торйӧн, ставыс вылӧ кӧ вӧлі мынтӧма 9 ш. 40 ур?
1. Тӧдмалам, кутшӧмӧсь тӧдтӧм величинаяс пиысь пасйыны x-ӧн.
Миян задачаын кык тӧдтӧм: кыз тетрадьяслӧн да вӧснияслӧн лыд. x-ӧн пасъям кыз тетрадьяслысь лыд. Став тетрадь вӧлі ньӧбӧма 80, сідзкӧ вӧсни тетрадь лыд вӧлі 80 − x.

<table>
Кыз тетрадьяслӧн лыдыс x
Вӧсни „ „ 80 − x.
</table>

2. x-ӧн да задачаын сетӧм лыдъяс отсӧгӧн математически выразитам задачалысь став условйӧяссӧ.
Миян задачаын висьталӧма, мый кыз тетрадь сулалӧ 35 ур, а вӧсни 4 ур. Та серти, ми вермам юавны, уна-ӧ ковмис мынтыны кыз да вӧсни тетрадьяс вылӧ (тадз ми юалам сы вӧсна, мый задачаын сетӧма став тетрадьяслысь дон).

<table>
Став кыз тетрадьяс сулалӧны 35x
Став вӧсни „ „ 4(80 − x)
Став тетрадьясыс сулалӧны 940 ур.
</table>

3. Составитам уравненньӧ.
Сы вӧсна, мый задачаын став тетрадьяслысь сулалан донсӧ индӧма 9 ш. 40 ур, то кыз тетрадьяслӧн доныс 35x да вӧснияслӧн доныс 4(80 − x) суммаын долженӧсь сетны сідзжӧ 9 ш. 40 ур.
35x + 4(80 − x) = 940.
Тайӧ уравненньӧ решитӧм бӧрти лоӧ x = 20.
Уравненньӧсӧ решитӧм бӧрын колӧ вермыны сетны ӧтвет задачаса быд вопрос вылӧ. Сідз, миян задачаын юассьӧ торйӧн, кымын вӧлі кыз тетрадь да кымын вӧсни. x-ӧн ми пасйим кыз тетрадьяслысь лыд. Сідзкӧ, кыз тетрадь вӧлі ньӧбӧма 20, а вӧсниыс 80 − 20 = 60.
Индам, мый задачаын овлӧ сы мында даннӧй, мый мында колӧ уравненньӧ составляйтӧм вылӧ. Та вӧсна уравненньӧ вӧчӧм бӧрти век колӧ видзӧдлыны, став сетӧм лыдъясыс-ӧ пырисны вӧчӧм уравненньӧӧ.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

160. Кык лыдлӧн сумма 2548. Ӧти лыд мӧдысь 148-ӧн ыджыдджык. Корсьны лыдъяс.
161. Куим содтанлыдлӧн сумма 100; мӧд содтанлыд первойясьыс 10-ӧн ыджыдджык, а коймӧдыс мӧдсьыс 20-ӧн ыджыдджык. Корсьны тайӧ содтанлыдъяссӧ.
162. Вӧлӧн мунысь вӧтчӧ пода бӧрся. Подаыс 15 км сайын водзын. Быд часӧн вӧла мунӧ 10 км, а пода 4 км. Кымын час мысти вӧла вӧтӧдас подаӧс?
163. Ӧтсоралӧма кык сорт чай да лоӧма 32 кг. Первой сортлӧн килограмм вӧлі сулалӧ 8 ш., а мӧдлӧн 6 ш. 50 ур. Ӧтсоралӧм чайлӧн килограмм сулалӧ 7 ш. 10 ур. Кымын килограммӧн босьтӧма ӧти да мӧд сортсӧ?
164. Велосипедист кутшӧмкӧ расстоянньӧ муніс быд часын 8 километрӧн. Сійӧлы бӧр локнысӧ колі мӧд туйӧд, коді вӧлі 3 километрӧн кузьджык первойсьыс, да кӧть сійӧ бӧр косігас локтіс быд часын 9 км-ӧн, но локтӧм вылас кадыс муні 7½ минутӧн унджык. Кузьӧсь-ӧ вӧліны тайӧ туйясыс?

90. Шыпаса уравненньӧяс. Абу колана, медым тӧдтӧмыс век пасйыссис x шыпасӧн — тӧдтӧм вермас пасйыссьыны кутшӧм колӧ шыпасӧн. Пример вылӧ босьтам формула:
s = ½bh,
тайӧ петкӧдлӧ (s) площадь куимпельӧсалысь, кодлӧн основанньӧыс b линейнӧй единича кузьта да джудждаыс h сійӧ жӧ единичаясӧн. Тайӧ формулаыс эм уравненньӧ, кӧні s, b, h лыдъяс пиысь быдӧн вермас лоны тӧдтӧм пыдди. Шуам, сетӧма татшӧм задача: корсьны куимпельӧсалысь основанньӧ, кор сылӧн джуджда h линейнӧй единичаяс, а площадь s сэтшӧм жӧ квадрата единичаяс. Сэк миян формулаын b лоӧ тӧдтӧм, а лыдъяс s да h тӧдана. Дерт, тӧдтӧм основанньӧ ми вермам пасйыны x шыпасӧн да уравненньӧ гижны тадз:
s = ½hx,
кытысь:
x = s : ½h = 2s : h = 2s/h.
Но позьӧ b-ӧс x вылӧ вежтӧг s = ½bh уравненньӧысь s да h серти корсьны b:
s = ½bh; 2s = bh; b = 2s/h.
Колӧ кужны решайтны не сӧмын сэтшӧм лыда уравненньӧяс, кӧні сетӧм лыдъясыс пасйӧма лыдпасъясӧн, а тӧдтӧмыс x-ӧн, но и колӧ велавны решайтны шыпасъяса уравненньӧяс, кӧні сетӧм лыдъясыс да тӧдтӧмыс пасйӧма кутшӧм колӧ шыпасъясӧн.

Примеръяс.

1) a + bx = c;
bx = c − a
x = (c − a)/b

2) a(x − c) = b(x + d);
ax − ac = bx + bd;
ax − bx = bd + ac;
x(a − b) = bd + ac
x = (bd + ac)/(a − b)

3) y/a − y = b;
y − ay = ab;
y(1 − a) = ab
y = ab/(1 − a)

4) x/a + x/b = 1;
bx + ax = ab;
x(b + a) = ab;
x = ab/(b + a).

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

165. (a + x)(b + x) = (a − x)(b − x)
166. (x − a)(x + b) + c = (x + a)(x − b)
167. a + bx = 4 − 3(a − x) уравненньӧысь колӧ корсьны x, кыдз a-сянь да b-сянь зависитӧмӧн.
168. Трапециялӧн q площадь, кодлӧн подувтасыс b₁ да b₂, а джудждаыс h, тӧдмассьӧ q = ½(b₁ + b₂)h формула серти. Татысь корсьны h.

ІІІ. ПЕРВОЙ СТЕПЕНЯ УРАВНЕННЬӦЯСЛӦН СИСТЕМАЯС.

Кык тӧдтӧма кык уравненньӧлӧн система.

91. Задача. Опыт серти тӧдӧны, мый эзысьысь да ыргӧнысь 148 кг слиток ваын воштӧ 14⅔ кг ассьыс вессӧ. Сідзжӧ тӧдӧны, мый 21 кг эзысь ваын воштӧ 2 кг, а 9 кг ыргӧн 1 кг. Тӧдмавны, уна-ӧ слитокын эзысь да уна-ӧ ыргӧн.
Шуам, мый слитокын эзысь x кг, а ыргӧн y кг. Сэк ӧти уравненньӧ лоӧ:
x + y = 148.
Мӧд уравненньӧ вӧчсяс со кыдзи: 21 кг эзысь ваын воштӧ ассьыс вессӧ 2 кг, ӧти кг эзысь воштас 2⁄21 кг; сэк x кг воштасны 2⁄21x кг. Та ногӧн жӧ, 9 кг ыргӧн ваын воштӧ ассьыс вессӧ 1 кг, сідзкӧ 1 кг ыргӧн воштас 1⁄9 кг, а y кг воштасны 1⁄9y кг. 
Та серти мӧд уравненньӧ лоӧ: 
2⁄21x + 1⁄9y = 14⅔. 
Та ногӧн миян артмисны кык тӧдтӧма кык уравненньӧ:
x + y = 148 да 2⁄21x + 1⁄9y = 14⅔ = 44⁄3.
Мӧд уравненньӧсӧ дробъясысь мынтӧдчӧмӧн позьӧ упроститны, та вылӧ став дробъяссӧ вайӧдам ӧтувъя знаменательӧ:
6⁄63x + 7⁄63y = 924⁄63.
Ӧні кыкнан юкӧнсӧ уравненньӧлысь ӧктам 63 вылӧ, мый бӧрти артмас ӧтвына уравненньӧ:
6x + 7y = 924.
Ӧні миян лоины кык уравненньӧ:
x + y = 148 да 6x + 7y = 924.
Ми вермам тайӧ кык уравненньӧсӧ решитны некымын способӧн. Позьӧ первой уравненньӧысь x тӧдмавны y серти:
x = 148 − y.
Сы вӧсна, мый мӧд уравненньӧын x да y-ӧн пасйӧма сійӧ жӧ лыдъяс, мый и первойын, ми мӧд уравненньӧӧ x пыдди вермам пуктыны разносьт 148 − y:
6(148 − y) + 7y = 924.
Лои ӧти тӧдтӧма уравненньӧ. Решитам сійӧс:
888 − 6y + 7y = 924; y = 924 − 888; y = 36.
Сэки:
x = 148 − 36 = 112.
Лои, мый слитокын 112 кг эзысь да 36 кг ыргӧн.

92. Первой степеня кык тӧдтӧма уравненньӧлӧн нормальнӧй вид. Босьтам татшӧм кык тӧдтӧма уравненньӧ:
2(2x + 3y − 5) = ⅝(x + 3) + ¾(y − 4).
Медым тайӧ уравненньӧсӧ упроститны, вӧчам сыын некымын преобразованньӧяс, кутшӧмӧс вӧлі индӧма ӧти тӧдтӧма уравненньӧ решитӧм вылӧ:
1) Восьтам скобкаяс:
4x + 6y − 10 = ⅝x + 15⁄8 + ¾y − 3.
2) Став член 8 вылӧ ӧктӧмӧн мынтӧдчам знаменательясысь:
32x + 48y − 80 = 5x + 15 + 6y − 24.
3) Тӧдтӧм членъясӧс вуджӧдам ӧтар юкӧнӧ, а тӧдсаясӧс мӧдарӧ:
32x + 48y − 5x − 6y = 15 − 24 + 80.
4) Вӧчам подобнӧй членъяссӧ вайӧдӧм.
27x + 42y = 71.
Сідзкӧ, сетӧм уравненньӧ индӧм преобразованньӧяс вӧчӧм бӧрын лоӧ сэтшӧм вида, код дырйи уравненньӧ шуйга юкӧнын лоӧ сӧмын кык член: ӧтиыс x тӧдтӧма (первой степеньын), а мӧдыс y тӧдтӧма (первой степеньын); уравненньӧлӧн веськыдвыв юкӧныс сӧмын ӧти членысь, кӧні тӧдтӧмъяс абуӧсь. x да y бердса коэффициентъяс вермасны лоны либӧ кыкнаныс положительнӧй лыдъясӧн (кыдз босьтӧма примерын), либӧ кыкнаныс отрицательнӧй лыдъясӧн (тайӧ позьӧ −1 вылӧ ӧктӧмӧн бергӧдны положительнӧй лыдъясӧ), либӧ ӧтиыс положительнӧй, а мӧдыс отрицательнӧй лыдӧн; веськыдвылын сулалысь член вермас лоны положительнӧй лыдӧн (кыдзи тайӧ примерын) либӧ отрицательнӧй лыдӧн, весиг и нульӧн. x да y бердса коэффициентъяс a да b-ӧн, а тӧдса член c-ӧн пасйӧмӧн ми вермам кык тӧдтӧма первой степеня уравненньӧ ставнас гижны тадзи:
ax + by = c.
Уравненньӧлӧн татшӧм видыс шусьӧ первой степеня кык тӧдтӧма уравненньӧ нормальнӧй видӧн.

93. Кык тӧдтӧма ӧти уравненньӧлӧн неопределённосьт. Кык тӧдтӧма ӧти уравненньӧлӧн эм помтӧм уна корень. Кор ӧти тӧдтӧмлы ми сетам кутшӧмкӧ произвольнӧй лыд да сійӧс пуктам уравненньӧӧ, сэк лоӧ ӧти тӧдтӧма уравненньӧ, кытысь позьӧ корсьны сійӧ тӧдтӧмсӧ. Первой тӧдтӧмлы кӧ назначитам кутшӧмкӧ мӧд лыд, сэк ми воддза моз жӧ мӧд тӧдтӧмлы корсям выль лыд да с. в. Та ногӧн, миян вермас лоны кӧть кымын гоз решенньӧ.
Шуам, миян сетӧма задача: корсьны ӧткузя бокъяса куимпельӧсалысь бокъяс, кор сылӧн периметр 40 м. Тайӧ куимпельӧсалысь основанньӧсӧ пасъям x-ӧн, а боксӧ y‐ӧн; сэк вермам гижны татшӧм уравненньӧ: x + 2y = 40.
Сетам x-лы кутшӧмкӧ произвольнӧй лыд, шуам 10. Сэк артмас: 10 + 2y = 40; 2y = 40 − 10; 2y = 30; y = 15. Основанньӧ кӧ куимпельӧсалӧн лоӧ 10 м кузя, сэк быд бок лоӧ 15 м кузьта. Ӧні x-лы сетам кутшӧмкӧ мӧд лыд, шуам 8. Сэк: 2y = 32; y = 16. Татысь тыдалӧ, мый вермас лоны кӧть кымын решитӧм; сідзкӧ, уравненньӧ да задача неопределённӧйӧсь.

94. Уравненньӧяслӧн система. Лӧсьӧдчӧмаӧсь шуны, мый некымын уравненньӧ образуйтӧны система, кор тайӧ быд уравненньӧын x, y.... шыпасъясӧн пасйӧма ӧтыджда лыдъяс. Шуам, кык уравненньӧ вылӧ кӧ
2x − 5 = 3y − 2
8x − y = 2y + 21
видзӧдны сідз, мый x-ӧн пасйӧма ӧтыджда лыд кыкнан уравненньӧын, y-ӧн сідзжӧ кыкнан уравненньӧын пасйӧма ӧтыджда лыд — сэк тайӧ кык уравненньӧыс образуйтӧны система. Тайӧ овлӧ век сэки, кор уравненньӧяс вӧчӧма ӧти задача условйӧясысь.
Первой степеня кык тӧдтӧма кык уравненньӧ система решитӧм петкӧдлам кык способӧн.

95. Пукталан способ (<rus>способ подстановки</rus>). Тайӧ способӧн ми решитлім эзысь да ыргӧн слиток йылысь задача.
Ӧні босьтам сьӧкыдджык пример:
8x − 5y = −16; 10x + 3y = 17.
(кыкнан уравненньӧсӧ ми вайӧдім нормальнӧй видӧ).
Ӧти уравненньӧысь, шуам, первой уравненньӧысь, тӧдмалам кутшӧмкӧ тӧдтӧмӧс, шуам, y, мӧд тӧдтӧмысь зависитӧмӧн:
y = (8x + 16)/5. *

* Тайӧ формула выводитӧм могысь −5y член ми вуджӧдім веськыдвылӧ, а −16 член шуйгавылӧ, кыкнан юкӧнсӧ сэсся юким 5 вылӧ да уравненньӧ юкӧнъяс вежим местаясӧн. Тайӧ преобразованньӧяссӧ вӧчны колӧ гижтӧг привыкнитны.

Сы вӧсна, мый мӧд уравненньӧӧ колӧ лӧсявны первой уравненньӧса быд значенньӧ, ми мӧд уравненньӧӧ y пыдди пуктам сюрӧм выраженньӧсӧ, код бӧрти лоӧ ӧти тӧдтӧма уравненньӧ:
10 + 3 ⋅ (8x + 16)/5 = 17.
Решитам тайӧ уравненньӧсӧ:
10x + (24x + 48)/5 = 17; 50x + 24x + 48 = 85; x = ½.
Сэк:
y = (8x + 16)/5 = (4 + 16)/5 = 4.
Сідз жӧ кӧть код уравненньӧсьыс ми водзвыв вермим тӧдмавны x-ӧс y пыр да артмӧм выраженньӧсӧ пуктыны мӧд уравненньӧӧ; сэк эськӧ лои y тӧдтӧма уравненньӧ.
Тайӧ способыс торъя нин лӧсьыд сэки, кор кутшӧмкӧ тӧдтӧмлӧн коэффициентыс 1 ыджда. Сэки медся нин лӧсьыд мӧд тӧдтӧм пыр тӧдмавны сійӧ тӧдтӧмсӧ (оз ковмы коэффициент вылӧ юкны). Пример:
3x − 2y = 11
4x + y = 22
Мӧд уравненньӧысь корсям: y = 22 − 4x.
Сэки первой уравненньӧыс сетӧ:
3x − 2(22 − 4x) = 11; 3x − 44 + 8x = 11; 11x = 44 + 11 = 55;
x = 55/11 = 5; y = 22 − 4 ⋅ 5 = 2.

Правилӧ. Медым кык тӧдтӧма кык уравненньӧяслысь система решитны пуктӧм способӧн, сэки колӧ кодкӧ уравненньӧсьыс тӧдмавны ӧти тӧдтӧмыслысь мӧд тӧдтӧм пырыс ыдждасӧ, артмӧм выраженньӧсӧ колӧ пуктыны мӧд выраженньӧӧ, код бӧрти лоӧ ӧти тӧдтӧма уравненньӧ. Сійӧс решитӧмӧн сюрӧ сійӧ тӧдтӧмыс. Сюрӧм ыджда пуктыны первой тӧдтӧмлы выведитӧм водзджык выраженньӧӧ, кодӧс решитӧмӧн сюрӧ мӧд тӧдтӧмлӧн ыджда.

96. Алгебраическӧй содтӧм способ. Миян кӧ сетӧма сэтшӧм уравненньӧясысь система (нормальнӧй видӧ вайӧдӧмӧн), кӧні кыкнанас кутшӧмкӧ тӧдтӧм бердса (например y бердса) коэффициентъяс ӧтыдждаӧсь. Шуам, миян сетӧма система:
7x − 2y = 27
5x + 2y = 33.
Тані y бердса коэффициентъяс, кыдз тыдалӧ, ӧтыдждаӧсь, а налӧн пасъяс мӧдараӧсь. Ми тӧдам, мый ӧтыджда лыдъяс дінӧ кӧ содтам (либӧ наысь чинтам) ӧтыджда лыдъяс, артмасны ӧтыджда лыдъяс жӧ. Тайӧ серти, уравненньӧяслысь кӧ ми шуйгавыв юкӧнъяссӧ мӧда-мӧдкӧд содтам (либӧ чинтам), веськыдвыв юкӧнъяссӧ сідз жӧ, сэк равенство оз торксьы (тайӧ дженьыда шуӧны тадзи: уравненньӧясӧс членъясӧн (<rus>почленно</rus>) позьӧ содтавны да чинтавны).
Тайӧ индӧм бӧрын сетӧм уравненньӧяс содтам; сэк членъяс −2y да +2y мӧда-мӧдсӧ бырӧдасны да миян артмас ӧти x тӧдтӧма уравненньӧ:
7x − 2y = 27
5x + 2y = 33
_____
12x = 60, кытысь x = 5.
Кодкӧ уравненньӧас кӧ пуктам x пыдди сылысь лыда ыджда 5, лоӧ уравненньӧ, кытысь корсям y:
7 ⋅ 5 − 2y = 27; 35 − 2y = 27; 35 − 27 = 2y; 8 = 2y; y = 4.
Уравненньӧясын кӧ бырӧдан тӧдтӧм водзын вӧліны ӧткодь коэффициентъяс да ӧткодь пасъяс, сэк эськӧ ковмис кодкӧ уравненньӧсьыс быд член водзысь пасъяс мӧдаравны, сэк эськӧ сійӧ случайсӧ вайӧдім сӧмын на видлалӧм случайӧ. Сідз, кор сетӧма система:
3x − 5y = 8
3x + 7y = 32,
кӧні тӧдтӧм x водзын кыкнан уравненньӧас ӧтыджда коэффициентъяслӧн пасъясыс ӧткодьӧсь, сэк кодкӧ уравненньӧсьыс, кӧть шуам первойсьыс, став член водзысь пасъяссӧ мӧдаралам (мӧд кывйӧн кӧ, уравненньӧлысь кыкнан юкӧнсӧ ӧктам −1 вылӧ) да сэсся уравненньӧяссӧ содтам: *

* Уравненньӧса быд член водзысь мӧдаравны пасъяс да сэсся сійӧс содтыны мӧд уравненньӧ дінӧ лоӧ сійӧ жӧ, мый чинтыны сійӧс мӧд уравненньӧысь.
−3x + 5y = −8
3x + 7y = 32
_____
12y = 24, кытысь y = 2;
3x + 7 ⋅ 2 = 32; 3x = 32 − 14; 3x = 18; x = 6.

Ӧні босьтам сэтшӧм система, кӧні коэффициентъясыс абу ӧтыдждаӧсь:
7x + 6y = 29
−5x + 8y = 10.
Ми вермам водзвыв кутшӧмкӧ тӧдтӧмлысь, шуам, x-лысь, коэффициентъяс уравняйтны. Та вылӧ корсям 7 да 5-лысь кратнӧй (бурджык корсьны медічӧт кратнӧй) 35, быд уравненньӧлысь кыкнан юкӧн ӧктам содтӧд ӧктас вылӧ (кыдз вӧчӧны дробъясӧс ӧтувъя знаменательӧ вайӧдігӧн):
7x + 6y = 29 (5 вылӧ)
−5x + 8y = 10 (7 вылӧ)

35x + 30y = 145
−35x + 56y = 70,
сэк тайӧ случайыс вайӧдчӧ воддза случайӧ.

Правилӧ. Медым кык тӧдтӧма кык уравненньӧяслысь система решитны алгебраическӧй содтӧм способӧн, первой колӧ уравняйтны сетӧм уравненньӧясын кык тӧдтӧмъяс пӧвстысь ӧти тӧдтӧм бердса коэффициентъяссӧ да, уравненньӧясын кӧ тайӧ тӧдтӧмъяс водзын пасъясыс ӧткодьӧсь, сэк кодкӧ ӧти уравненньӧсьыс быд член водзысь пасъяссӧ мӧдаралӧны, сэсся уравненньӧяс содтӧны, мый вӧсна лоӧ ӧти тӧдтӧма ӧти уравненньӧ, кытысь тӧдмалӧны сійӧ тӧдтӧмсӧ. Сюрӧм лыдсӧ кодкӧ ӧти уравненньӧас пуктӧм бӧрын сэсся корсьӧны и мӧд тӧдтӧмсӧ.

97. Шыпасъяса коэффициента уравненньӧяслӧн система. Мукӧддырйи ковлӧ решитны сэтшӧм уравненньӧ система, кӧні уравненньӧяслӧн коэффициентъясыс шыпасъяс. Шуам, колӧ решитны система:
ax + by = c
a'x + b'y = c'.
Тайӧ система вермам ми решитны вылӧ индӧм кӧть код способнас. Тайӧ случайын лоӧ кокниджык применитны алгебраическӧй содтӧм способ, мӧд ног кӧ, вӧчны тадзи: кодкӧ уравненньӧсьыс вежны пасъяссӧ противоположнӧй пасъяс вылӧ, ӧти тӧдтӧм водзсьыс коэффициентъяссӧ уравняйтны, кӧть шуам y водзысь, да содтыны кыкнан уравненньӧсӧ:

ax + by = c | b'
−a'x − b'y = −c' | b
ab'x + bb'y = b'c
−a'bx − bb'y = −c'b
_____
(ab' − a'b)x = b'c − c'b,

кытысь аддзам:
x = (b'c − c'b)/(ab' − a'b).

Та ногӧн жӧ корсям y:

ax + by = c | a'
−a'x − b'y = −c' | a

aa'x + a'by = a'c
−aa'x − ab'y = −ac'
_____
(a'b − ab')y = a'c − ac',

кытысь:
y = (a'c − ac')/(a'b − ab').

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

169. Пукталан способӧн решитны со кутшӧм уравненньӧ системаяс:
y = 2x − 3
3x + 2y = 8

5x + y = 3
3x − 2y = 7

3x − 5y = 6
x + 4y = −15.

170. Алгебраическӧй содтӧм способӧн решитны со кутшӧм системаяс:
4x + 7y = 5
−2x + 5y = 6

3x + 5y = 20
2x − 10y = 0

5x − 8y = 9
2x − 2y = 10.

171. Решитны тайӧ уравненньӧяссӧ кутшӧмкӧ способӧн:
(2x − 1)(y + 2) = (x − 2)(2y + 5)
5x − 2 = 2y + 15.

172. ax + by = c
y = mx

x + a = my
y + b = nx.

173. Кыкачленлысь y = ax + b тӧдмавны a да b, кор 1) y = −11; x = −2 да  2) y = 1; x = 2

174. Ньӧбӧма тӧвар 8 кг ӧти сикас да 19 кг мӧд сикас. Ставыс вылӧ мынтӧма 16 ш. 40 ур. Мӧдысь сійӧ жӧ донӧн ньӧбӧма первой сикас тӧварсӧ 20 кг, а мӧдсӧ 16 кг. Мынтӧма ставсӧ 28 ш. 40 ур. Тӧдмавны, уна-ӧ сулалӧ быд сортлӧн килограмм тӧвар торйӧн?
175. Трест вузаліс 65 прӧстӧй да мотора велосипедъяс. Став вузалӧмысь сылы воис 2980 ш. прибыль. Быд ӧти прӧстӧй велосипед сетіс 12% прибыль, а мотора 25%. Аслыс трестлы ӧти прӧстӧй велосипед сулалӧ 100 ш., а мотора 400 ш. Кымын велосипед вӧлі прӧстӧйыс да кымын мотораыс?
176. Кык места коластӧ колӧ сувтӧдны телеграф сюръяяс. Инженер арталіс, мый столбъяс кӧ кутасны сувтӧдлыны 50 м сайӧ мӧда-мӧдсяньыс, да заводитанінас да помас тшӧтш сувтӧдасны, сэк оз тырмы 21 сюръя; а пондасны‐кӧ сувтӧдлыны 55 м костӧн, сэк оз тырмы сӧмын 1 сюръя. Кымын сюръя да ылӧ-ӧ мӧда-мӧдсьыс найӧс колӧ сувтӧдлыны?
177. Кык веськыдпельӧса куимпельӧсалӧн гипотенузаясыс ӧткодьӧсь. Первой куимпельӧсаыслӧн ӧти катетыс 4 м дженьыдджык, а мӧдыс 8 м кузьджык мӧд куимпельӧсаын соответствуйтысь катетъясысь. Артавны тайӧ катетъяссӧ, кор тӧдам, мый первойыслӧн площадьыс 34 кв. м ыджыдджык мӧдыс площадь серти.

Куим тӧдтӧма куим уравненньӧлӧн система.

98. Первой степеня куим тӧдтӧма уравненньӧлӧн нормальнӧй вид. Первой степеня куим тӧдтӧма уравненньӧын кӧ x, y да z тӧдтӧмъяс вылын вӧчам сэтшӧм жӧ преобразованньӧяс, кутшӧмӧс вӧлі индӧма ӧти да кык тӧдтӧма уравненньӧясын, сэк уравненньӧ воас нормальнӧй видӧ, код дырйи шуйгавылын лоӧ сӧмын 3 член: ӧти x-са, мӧд y-ка, коймӧд z‐та, а веськыдвылын ӧти член, коді тӧдса.
Сэтшӧмӧн лоӧ со кутшӧм уравненньӧ:
5x − 3y − 4z = −12,
кодлӧн общӧй (нормальнӧй) видыс:
ax + by + cz = d,
кӧні a, b, c, d кутшӧмкӧ сетӧм относительнӧй лыдъяс.

99. Куим тӧдтӧма кык да ӧти уравненньӧлӧн неопределённосьт. Шуам, миян сетӧма куим тӧдтӧма кык уравненньӧяслысь система:
5x − 3y + z = 2; 2x + y − z = 6.
Ӧти кутшӧмкӧ тӧдтӧмлы, шуам, z-лы, назначитам произвольнӧй лыд, шуам 1, да сійӧс пуктам кыкнан уравненньӧӧ z пыдди:
5x − 3y + 1 = 2
2x + y − 1 = 6
мӧд ног кӧ:
5x − 3y = 1
2x + y = 7.

Та ногӧн миян лои кык тӧдтӧма кык уравненньӧяслӧн система. Сійӧс решитӧм бӧрын лоӧ:
x = 2, y = 3;
сідзкӧ, тайӧ системаӧ ладмӧны кореньяс: x = 2, y = 3, z = 1. Тӧдтӧм z-лы сетам кутшӧмкӧ мӧд значенньӧ, шуам, z = 0, да тайӧ значенньӧсӧ пукталам уравненньӧясӧ:
5x − 3y = 2; 2x + y = 6.
Миян бара лои кык тӧдтӧма кык уравненньӧяслӧн система. Кутшӧмкӧ способӧн решитӧм бӧрын аддзам:
x = 20⁄11 = 19⁄11, y = 24⁄11.
Сідзкӧ, тайӧ система удовлетворитчӧ сэки, кор x = 19⁄11, y = 2 4⁄11, z = 0. z-лы кӧ пуктам кутшӧмкӧ коймӧд значенньӧ, миян бара артмас кык тӧдтӧма кык уравненньӧяслӧн система, кытысь сюрӧны x да y-лы выль значенньӧяс. Сы вӧсна, мый z-лы вермам пуктавны кымын колӧ да кутшӧм колӧ значенньӧяс, x да y‐лӧн сы серти вермас лоны сідзжӧ мында колӧ да кутшӧм колӧ значенньӧяс (кодъяс соответствуйтӧны z значенньӧяслы). Татысь тыдалӧ, мый куим тӧдтӧма кык уравненньӧяслӧн система сетӧ лыдтӧм решенньӧ, мӧд кылӧн кӧ, татшӧм системаыс лоӧ неопределённӧй.
Нӧшта нин ыджыд неопределённосьт лоӧ сэки, кор ми босьтам сӧмын куим тӧдтӧма ӧти уравненньӧ. Сэк ковмас кык тӧдтӧмлы пуктавны произвольнӧй лыдъяс. Коймӧд тӧдтӧмсӧ аддзам сійӧ уравненньӧсьыс, кор сэтчӧ кык тӧдтӧм пыддиыс пукталам произвольнӧя босьтӧм кык тӧдтӧмлы лыдъяссӧ.

100. Куим тӧдтӧма куим уравненньӧяслӧн система. Медым верман куим тӧдтӧмлы корсьны лыда значенньӧяс, сы вылӧ колӧ куим уравненньӧлӧн система. Сэтшӧм система позьӧ решитны пукталан способӧн, а сідзжӧ алгебраическӧй содтӧм способӧн. Петкӧдлам пример вылын, кыдзи решитны кыкнан способнас (быд уравненньӧ водзвыв вайӧдӧма нормальнӧй видӧ):
3x − 2y + 5z = 7
7x + 4y − 8z = 3
5x − 3y − 4z = −12

101. Пукталан способ. Кутшӧмкӧ уравненньӧысь, шуам первойысь, корсям ӧти тӧдтӧм, шуам x, мукӧд кык тӧдтӧм пыр пасйӧмӧн:
x = (7 + 2y − 5z)/3.
Сы вӧсна, мый быд уравненньӧын x-ӧн пасйӧма ӧтыджда лыд, ми вермам x-лысь сюрӧм выраженньӧсӧ пуктыны x пыдди мукӧд кык уравненньӧӧ:
7 ⋅ (7 + 2y − 5z)/3 + 4y − 8z = 3.
5 ⋅ (7 + 2y − 5z)/3 − 3y − 4z = −12.
Та ногӧн ми воим кык тӧдтӧма (y да z) кык уравненньӧяс системаӧ. Тайӧ система кутшӧмкӧ способӧн кӧ решитам, лоӧ y = 3, z = 2. Ӧні колӧ сӧмын x вайӧдан выраженньӧӧ y да z пыдди пуктавны налысь лыда ыдждаяссӧ да артавны:
x = (7 + 2 ⋅ 3 − 5 ⋅ 2)/3 = 1.
Лои, мый сетӧм системалӧн: x = 1, y = 3, z = 2. (Позьӧ прӧверитны).

102. Алгебраическӧй содтӧм способ. Куим сетӧм уравненньӧысь босьтам кутшӧмӧскӧ кыкӧс, шуам, первойсӧ да мӧдсӧ. Наын кутшӧмкӧ тӧдтӧм, шуам, z серти ӧтмындаалам коэффициентъяссӧ. Алгебраическӧй содтӧмӧн мынтӧдчам сійӧ тӧдтӧмсьыс. Лоӧ кык тӧдтӧма (x да y) ӧти уравненньӧ. Сэсся бара босьтам кутшӧмкӧ кык уравненньӧ куим сетӧм уравненньӧяс пиысь, шуам, первойсӧ да коймӧдсӧ (либӧ мӧдсӧ да коймӧдсӧ). Сійӧ жӧ способӧн мынтӧдчам сійӧ тӧдтӧмысь, z‐ысь. Бара лоӧ x да y тӧдтӧма ӧти уравненньӧ:
1) 3x − 2y + 5z = 7 (8 вылӧ)
2) 7x + 4y − 8z = 3 (5 вылӧ)

24x − 16y + 40z = 56
35x + 20y − 40z = 15
_____
59x + 4y = 71.

1) 3x − 2y + 5z = 7 (4 вылӧ)
3) 5x − 3y − 4z = −12 (5 вылӧ)

12x − 8y + 20z = 28
25x − 15y − 20z = −60
_____
37x − 23y = −32

Артмӧм кык уравненньӧӧс решитӧм бӧрын лоӧ: x = 1, y = 3. Пукталам тайӧ лыдъяс кутшӧмкӧ ӧти уравненньӧӧ, кӧть первояс:
3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 3 + 5z = 7; 5z = 7 − 3 + 6 = 10; z = 2.

Индӧд. Тайӧ жӧ кык способнас ми вермам нёль тӧдтӧма нёль уравненньӧяслысь система вайӧдны куим тӧдтӧма куим уравненньӧяс системаӧ (а тайӧ система кык тӧдтӧма кык уравненньӧяс системаӧ да с. в.). Мӧд ног кӧ шуны, m тӧдтӧма m уравненньӧяслысь система вермам вайӧдны m − 1 тӧдтӧма m − 1 уравненньӧяс системаӧ, а тайӧ система m − 2 тӧдтӧма m − 2 уравненньӧяс системаӧ да с. в.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

178.
4x − 3y + 2z = 9
2x + 5y − 3z = 4
5x + 6y − 2z = 18

179.
2x + 5y − 3z − 6¼ = 0
5x − 6y + 2z = 12
5z = 42¼ − 7x + y

180.
3x − y + z = 17
5x + 3y − 2z = 10
7x + 4y − 5z = 3

181.
(x + 3y)/(5x + 6z) = 7⁄9
(3y + 4z)/(x + 2y) = 8⁄7
x + y + z = 128

Уравненньӧ системаяслӧн некымын торъя случайяс.

103. Случай, кор оз став тӧдтӧмыс пырны быд сетӧм уравненньӧӧ. Пример:
10x − y + 3z = 5
4v − 5x = 6
2y + 3z = 6
3y + 2v = 4
Татшӧм случайын система решайтчӧ ӧдйӧджык обыкновеннӧй дорысь, сы вӧсна, мый некымын уравненньӧын кутшӧмсюрӧ тӧдтӧмъяс абуӧсь, кыдз быттьӧ наысь мынтӧдчӧма нин. Колӧ сӧмын гӧгӧрвоны, кутшӧм тӧдтӧмъясысь да кутшӧм уравненньӧясысь мынтӧдчыны, мед ӧдйӧджык воны ӧти тӧдтӧма ӧти уравненньӧӧ. Миян примерын бурджык первой да коймӧд уравненньӧын мынтӧдчыны z-ысь, мӧдын да нёльӧдын v-ысь. Сэк лоӧ x да y-ка кык уравненньӧ:
10x − y + 3z = 5
−2y − 3z = −6
_____
10x − 3y = −1

4v − 5x = 6
−4v − 6y = −8
_____
−5x − 6y = −2

Тайӧ уравненньӧяс решитам да сюрӧ: x = 0; y = ⅓.
Ӧні тайӧ лыдъяс пуктам мӧд да коймӧд уравненньӧясӧ; сэк лоӧ:
v = 3⁄2; z = 16⁄9 = 17⁄9.

104. Случай, кор тӧдтӧмъяс пырӧны сӧмын дробъяс моз: 1/x, 1/y .... Шуам, сетӧма со кутшӧм система:

1/x + 1/y − 1/z = 7⁄6
1/x − 1/y − 1/z = −⅚
1/y − 1/x − 1/z = ⅙

Тайӧ системасӧ медся кокни решитны отсасьысь тӧдтӧмъяс пыртӧмӧн. Шуам, мый 1/x = x'; 1/y = y'; 1/z = z'. Сэки миян лоӧ x', y', z' тӧдтӧмъяса система:

x' + y' − z' = 7⁄6
x' − y' − z' = −⅚
y' − x' − z' = ⅙.

Тайӧ система решитӧмӧн сюрӧ:
x' = ½, y' = 1, z' = ⅓,
мӧд ног кӧ:
1/x = ½, 1/y = 1, 1/z = ⅓.
Татысь аддзам:
x = 2, y = 1, z = 3.
Босьтам нӧшта мӧд пример:
3/x + 2/y − 4/z = −13
6/x − 3/y − 1/z = 5½
−5/x + 7/y + 2/z = 3½.

Дробъясӧс 3/x, 2/y да с. в. позьӧ видлавны, кыдз произведенньӧясӧс: 3 ⋅ 1/x, 2 ⋅ 1/y да с. в. Та вӧсна, босьтам кӧ 1/x = x', 1/y = y', 1/z = z', система лоӧ татшӧм:

3x' + 2y' − 4z' = −13
6x' − 3y' − z' = 5½
−5x' + 7y' + 2z' = 3½.

Тайӧ уравненньӧясысь аддзам:
x' = 2, y' = ½, z' = 5,
сідзкӧ:
1/x = 2, 1/y = ½, 1/z = 5,
кытысь:
x = ½, y = 2, z = ⅕.

105. Случай, кор бурджык став сетӧм уравненньӧяссӧ содтыны. Шуам, эм система:

x + y = a
y + z = b
x + z = c.

Став куим уравненньӧсӧ содтам да аддзам:
2(x + y + z) = a + b + c;
x + y + z = (a + b + c)/2.

Бӧръя уравненньӧысь став сетӧмсӧ чинтӧмӧн лоӧ:
z = (a + b + c)/2 − a;
x = (a + b + c)/2 − b;
y = (a + b + c)/2 − c.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

182.
3x + 5y = 74
7x + 2z = 66
2y + z = 25

183.
6/x + 5/y = 1
30/x + 31/y = 6

184.
4x −3z + u = 10
5y + z − 4u = 1
3y + u = 17
x + 2y + 3u = 25

185.
2/x + 3/y − 4/z = 1⁄12
3/x − 4/y + 5/z = 19⁄24
4/x − 5/y + 1/z = ⅜

186. Кыдзиджык медся кокни решайтны татшӧм системасӧ:
x + y + z = 29¼
x + y − z = 18¼
x − y + z = 13¾

187. Куим ньӧбасьысь ньӧбисны кофе, сахар, чай. Ӧти ньӧбис 8 кг кофе, 10 кг сахар, 9 кг чай да мынтіс 35 шайт; мӧд ньӧбис 4 кг кофе, 15 кг сахар, 5 кг чай да мынтіс 40 шайт, коймӧд 12 кг кофе, 20 кг сахар, 10 кг чай да мынтіс 82 ш. 50 ур. Уна-ӧ сулаліс кг кофе, сахар да чай?

188. Эм 3 кусӧк сплав, найӧ состоитӧны зарниысь, эзысьысь да ыргӧнысь. Тайӧ кусӧкъясын:
1) 5 пай зарни, 6 пай эзысь, 8 пай ыргӧн;
2) 3 „ „ 5 „ „ 7 „ „
3) 7 „ „ 13 „ „ 18 „ „
Кымын килограммӧн колӧ босьтны быд кусӧкысь, мед лоӧ сэтшӧм сплав, кӧні медым вӧлі 79 кг зарни, 118 кг эзысь да 162 кг ыргӧн?

Историяысь тӧдмӧдъяс.

Уравненньӧяс вӧліны нин зэв важӧн, египтяналӧн. 2000 во сайын миян эраӧдз Ахмесӧн гижӧм папирусын эмӧсь первой степеня ӧти тӧдтӧма уравненньӧяс, тӧдтӧмсӧ сэк вӧлі пасйӧны кылӧн «хау», мый лоӧ «куча» (чукӧр).
Греческӧй математик Диофантлысь (миян эраса ІV нэмын) ми аддзам быдсяма нога уравненньӧяс; на костын некымын тӧдтӧма уравненньӧяс. Диофант оз на инды общӧй способъяс уравненньӧяс решитӧм вылӧ.
Ньютон сетӧ некымын способ уравненньӧяс решитӧм вылӧ, на пӧвстын и пукталан способ.
Уравненньӧясӧн ёна занимайтчылісны арабскӧй учёнӧйяс. Уравненньӧяс решитігӧн найӧ пӧльзуйтчылісны уравненньӧса кыкнан юкӧн дінӧ ӧткодь членъяс содталӧмӧн да наысь ӧткодь членъясӧс чинталӧмӧн. Первой действийӧ найӧ вӧлі шуӧны «восстановленньӧ», арабскӧй кылӧн «алгебре»; мӧд действийӧ — «противоположенньӧ», арабскӧй кылӧн «алмукабалан». Тайӧ первой арабскӧй кывсьыс и чужис «алгебра» нимыс.

ВИТӦД ЮКӦД.

КВАДРАТНӦЙ КОРЕНЬ ПЕРЙӦМ.

І. КОРЕНЬЯСЛӦН ОСНОВНӦЙ СВОЙСТВОЯС.

106. Корень определитӧм. Мӧд степеня (либӧ квадратнӧй) кореньӧн a лыдысь лоӧ сэтшӧм лыд, кодлӧн квадратыс a ыджда. Сідз, 49-ысь квадратнӧй кореньӧн лоӧ 7, а сідзжӧ и −7 сы вӧсна, мый 7² = 49 да (−7)² = 49. Коймӧд степеня (кубическӧй) кореньӧн a лыдысь лоӧ сэтшӧм лыд, кодлӧн кубыс a ыджда. −125-ысь кубическӧй кореньӧн лоӧ −5 сы вӧсна, мый (−5)³ = (−5)(−5)(−5) = −125.
Мӧд ногӧн кӧ: a лыдысь n‐ӧд степеня кореньӧн лоӧ сэтшӧм лыд, кодлӧн n‐ӧд степеньыс a ыджда.
n лыд, коді петкӧдлӧ кореньлысь степеньсӧ, шусьӧ корень петкӧдлысьӧн.
Корень пасйыссьӧ √ пасӧн (радикал пас, мӧд ног кӧ, корень пас). Сійӧ горизонталя визь улӧ гижӧны лыд, кытысь корсьӧны корень (коренювса лыд), а вылӧ, вом кодь весьтас, пуктӧны корень петкӧдлысьсӧ. Сідз:

<table>
27-ысь кубичнӧй корень пасйыссьӧ .... ³√27;
32-ысь 4-ӧд степеня корень пасйыссьӧ .... ⁴√32
</table>

Квадратнӧй кореньлысь петкӧдлысьсӧ оз гижны; ²√16 пыдди гижӧны √16.
Действийӧ, код отсӧгӧн корсьӧны корень, шусьӧ корень перйӧмӧн; сійӧ степеньӧ лэптӧмлы мӧдара (<rus>обратное</rus>) действийӧ, тадзисӧ сы вӧсна, мый тайӧ действийӧӧн корссьӧ сійӧ, кодӧс сетӧма степеньӧ лэптігӧн (степень основанньӧ), а сетӧма сійӧ, коді степеньӧ лэптігӧн корссьӧ (ачыс степеньыс). Та серти корень перйӧм вермам прӧверитны степеньӧ лэптӧмӧн.
Шуам, прӧверитны равенство ³√125 = 5, сӧмын колӧ 5 лэптыны кубӧ: лоӧ кӧ коренювса лыд, сэк корень перйӧм вӧчӧма лючки.

107. Арифметическӧй корень. Корень шусьӧ арифметическӧйӧн сэки, кор сійӧ перйыссьӧ положительнӧй лыдысь да ачыс положительнӧй лыд. 49-ысь корень 7 лоӧ арифметическӧй кореньӧн, а сэки кор лыд −7, коді сідзжӧ 49-ысь корень, арифметическӧй кореньӧн шуны оз позь.
Петкӧдлам арифметическӧй кореньлысь кык свойство:
а) Шуам, колӧ корсьны арифметическӧй корень √49. Сійӧ лоӧ 7 сы вӧсна, мый 7² = 49. А оз-ӧ позь корсьны кутшӧмкӧ мӧд положительнӧй лыд x, коді медым вӧлі сідзжӧ √49? Шуам, татшӧм лыдыс эм, сэк сылы колӧ лоны 7-ысь ичӧтджыкӧн либӧ 7-ысь ыджыдджыкӧн. Допуститам кӧ, мый x < 7, сэк x² < 49 (ӧктанлыдӧс да ӧктысьлыдӧс ичӧтмӧдӧмысь произведенньӧ ичӧтмӧ); допуститам кӧ, мый x > 7, сэк x² > 49. Татысь петӧ, мый некутшӧм 7-ысь ичӧтджык ни 7-ысь ыджыдджык положительнӧй лыд оз вермы лоны √49. Сідзкӧ, сетӧм лыдысь сетӧм степеня арифметическӧй корень вермӧ лоны сӧмын ӧтик.
Мӧд заключенньӧӧ эськӧ воим, сёрнитім кӧ эг положительнӧй значенньӧа корень йылысь, а кутшӧмкӧ йылысь; шуам, √49 равняйтчӧ 7 да −7 (сы вӧсна и 7² = 49 да (−7)² = 49).
б) Босьтам мӧда-мӧдыскӧд неӧткодь кык положительнӧй лыд, шуам, 49 да 64. Татысь петӧ, мый 49 < 64; сідзкӧ, ми вермам шуны, мый √49 < √64 (сӧмын кӧ √ пасӧн кутам пасйыны арифметическӧй квадратнӧй корень). Збыльысь: 7 < 8. Та ногӧн жӧ, 64 < 125 серти, вермам шуны, мый ³√64 < ³√125. Збыльысь: ³√64 = 4, а ³√125 = 5; 4 < 5. Сідзкӧ:
Ичӧтджык положительнӧй лыдлы соответствуйтӧ ичӧтджык арифметическӧй корень (сійӧ жӧ степеня).

108. Алгебраическӧй корень. Корень лоӧ алгебраическӧйӧн сэки, кор сійӧ перйыссьӧ оз положительнӧй лыдысь да и кӧть ачыс абу положительнӧй лыд. Сідзкӧ, кор ⁿ√a выраженньӧӧн индыссьӧ n‐ӧд степеня алгебраическӧй корень, сійӧ лоӧ, мый a вермас лоны положительнӧй да отрицательнӧй лыдӧн дай ачыс кореньыс сідзжӧ вермас лоны положительнӧйӧн да отрицательнӧйӧн.
Петкӧдлам алгебраическӧй кореньлысь нёль свойство:
а) Положительнӧй лыдысь нечётнӧй степеня корень лоӧ положительнӧй лыд.
Сідз, ³√8 колӧ лоны положительнӧй лыдӧн (лоӧ 2) сы вӧсна, мый отрицательнӧй лыд, кор сійӧ лэптыссьӧ нечётнӧй степеньӧ, сетӧ отрицательнӧй лыд.
б) Отрицательнӧй лыдысь нечётнӧй степеня корень лоӧ отрицательнӧй лыд.
Сідз, ³√(−8) колӧ лоны отрицательнӧй лыдӧн (лоӧ −2) сы вӧсна, мый положительнӧй лыд, кӧть мед кутшӧм степеньӧ оз лэптыссьы, век сетӧ положительнӧй лыд, а оз отрицательнӧйӧс.
в) Положительнӧй лыдысь чётнӧй степеня кореньлӧн кык значенньӧ, кодъяс абсолютнӧй ыдждаӧн ӧтыдждаӧсь, а пасъясӧн мӧдараӧсь.
Сідз, √(+4) = +2 да √(+4) = −2 сы вӧсна, мый (+2)² = +4 да (−2)² = +4; дзик жӧ ⁴√(+81) = +3 да ⁴√(+81) = −3 сы вӧсна, мый степеньяс (+3)⁴ да (−3)⁴ равнӧйӧсь ӧти +81 лыдлы.
Кореньлысь кыка значенньӧсӧ пасйӧны корень абсолютнӧй ыджда водзӧ кык пас пуктӧмӧн; гижӧны тадзи:
√4 = ±2; √(a²) = ±a; √(9x⁴) = ±3x².
г) Отрицательнӧй лыдысь чётнӧй степеня корень оз вермы лоны некутшӧм лыдӧн — ни положительнӧйӧн, ни отрицательнӧйӧн сы вӧсна, мый положительнӧй да отрицательнӧй лыдъяс чётнӧй степеньӧ лэптігӧн век сетӧны положительнӧй лыд, а некор оз отрицательнӧйӧс. Например, √(−9) оз равняйтчы ни +3, ни −3, вообще оз ло некутшӧм лыд.
Отрицательнӧй лыдысь чётнӧй степеня корень шуӧны мнимӧй лыдӧн; относительнӧй лыдъясыс шусьӧны вещественнӧй либӧ действительнӧй лыдъясӧн.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

Мыйӧ равняйтчӧны тайӧ выраженньӧясыс.
189. √100 √0,01 √¼ √9⁄16 √(a²) √(x²)
190. (√5)² (³√27)³ (⁵√a)⁵ (√(1 + x))²
191. ³√(+27) ³√(−27) ³√⅛ ³√(−⅛) ³√(−0,001)
192. ⁴√16 ⁴√(1⁄16) ⁴√81 √(−4) √(−a²) ⁴√(−16)

109. Произведенньӧысь, степеньысь да дробысь корень перйӧм. 
а) Шуам, колӧ перйыны квадратнӧй корень abc произведенньӧысь. Квадратӧ кӧ колӧ лэптыны произведенньӧ, кыдз ми аддзылім (46 §), позьӧ квадратӧ лэптыны быд ӧктас торйӧн. Сы вӧсна, мый корень перйӧм мӧдара действийӧ степеньӧ лэптӧмлы, колӧ тӧдны, мый произведенньӧысь корень перйигӧн сійӧс колӧ перйыны быд ӧктасысь торйӧн; гижӧмӧн кӧ:
√(abc) = √a ⋅ √b ⋅ √c.
Медым петкӧдлыны, мый тайӧ равенство лючки, сэк квадратӧ лэптам сылысь веськыдвыв юкӧнсӧ (произведенньӧ степеньӧ лэптан правилӧ серти):
(√a √b √c)² = (√a)²(√b)²(√c)².
Но корень корсьӧм серти:
(√a)² = a; (√b)² = b; (√c)² = c.
Сідзкӧ,
(√a √b √c)² = abc.
√a √b √c произведенньӧлӧн кӧ квадрат = abc, сэк лоӧ, мый тайӧ произведенньӧ abc-ысь квадрата корень. Та ногӧн:
³√(abc) = ³√a ³√b ³√c,
сы вӧсна, мый:
(³√a ³√b ³√c)³ = (³√a)³(³√b)³(³√c)³ = abc.
Сідзкӧ, медым произведенньӧысь перйыны корень, сэк сійӧс колӧ перйыны быд ӧктасысь торйӧн.

б) Прӧверитӧмӧн позьӧ кокниа аддзыны, мый тайӧ равенствоясыс вернӧйӧсь:
√(a⁴) = a², сы вӧсна мый (a²)² = a⁴.
³√(x¹²) = x⁴, „ „ „ (x⁴)³ = x¹² да с. в.
Сідзкӧ, медым степеньысь перйыны корень, кор степень петкӧдлысьыс юксьӧ корень петкӧдлысь вылӧ, сэк степень петкӧдлысьсӧ колӧ юкны корень петкӧдлысь вылӧ.

в) Вернӧйӧсь жӧ лоӧны и тайӧ равенствоясыс:
√(9⁄16) = √9/√(16) = ¾, сы вӧсна мый (¾)² = 3²/4² = 9⁄16;
³√(8⁄27) = ³√8/³√(27) = ⅔, „ „ (⅔)³ = 2³/3³ = 8⁄27.
Мӧд ногӧн кӧ гижны:
√(a/b) = √a/√b; ³√(a/b) = ³√a/³√b.
Сідзкӧ, медым дробысь перйыны корень, сэк сійӧс колӧ перйыны числительысь да знаменательысь торйӧн.
Индам, мый тайӧ истинаясас сёрни мунӧ сӧмын арифметическӧй кореньяс йылысь.

Примеръяс.
1. √(9a⁴b⁶) = √9 √(a⁴) √(b⁶) = 3a²b³;
2. ³√(125a⁶x⁹) = ³√(125) ³√(a⁶) ³√(x⁹) = 5a²x³.

Индӧд. Кор корсян корень эм чётнӧй степеня да тӧдчӧ алгебраическӧй, сэк артмӧм результат водзӧ колӧ пуктыны кык пӧвста пас ±. Сідз,
√(9x⁴) = ±3x².

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

193. √(4 ⋅ 9) √(¼ ⋅ 0,01 ⋅ 25) √(4a²b²) √(9a²x²y⁴)
194. ³√(−27a³b³) ⁴√(1⁄16a⁴b⁴) ⁵√(abc)
195. √(a⁴) √(2⁴) √(x⁶) √(a + b)⁴
196. ³√(2⁶) ³√(−a⁶) ³√(x⁹) ³√(m + n)⁶
197. ³√(8⁄125) ³√(−27⁄1000) ³√(a⁶/b³) ³√(x/y³) √(x/y)
198. √(25a⁶b²c⁴) √(0,36x⁴y²) √(¼(b + c)⁶x⁴)

ІІ. ЛЫДЪЯСЫСЬ КВАДРАТНӦЙ КОРЕНЬ ПЕРЙӦМ.

110. Предварительнӧй индӧдъяс. а) Тайӧ главаын сёрни дженьдӧдӧм могысь «квадратнӧй корень» пыдди кутам шуны прӧста «корень».
б) Натуральнӧй рада лыдъясӧс кӧ 1, 2, 3, 4... лэптам квадратӧ, сэк артмас со кутшӧм таблича квадратъяслӧн:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144...
Тыдалӧ, мый эм зэв уна быдса лыд, кодъяс тайӧ табличаӧ оз пырны; сэтшӧм лыдъясысь, дерт, быдса корень перйыны оз позь. Та вӧсна, кор колӧ быдса лыдысь перйыны корень, шуам, колӧ корсьны √4082, сэк лӧсьӧдчам тайӧ гӧгӧрвоны тадз: 4082-ысь перйыны, позьӧ кӧ, быдса корень; быдса кӧ оз позь, сэк колӧ корсьны медыджыд быдса лыд, кодлӧн медым квадратыс тӧрис 4082-ӧ (сэтшӧм лыдӧн лоӧ 63 сы вӧсна, мый 63² = 3969, а 64² = 4096).
в) Сетӧм лыд кӧ 100-ысь ичӧтджык, сэк кореньсӧ корсьӧны ӧктан таблича серти.

111. 100-ысь ыджыдджык, а 10000-ысь ичӧтджык быдса лыдысь корень перйӧм. Шуам, колӧ корсьны √4082. Сы вӧсна, мый тайӧ лыдыс 10000-ысь ичӧтджык, сы вӧсна корень лоӧ 100-ысь ичӧтджык. Мӧдарсянь, тайӧ лыдыс 100-ысь ыджыдджык; сідзкӧ корень лоӧ 10-ысь ыджыдджык (либӧ = 10). Но быд лыдын, коді 10-ысь ыджыдджык (либӧ = 10), а 100-ысь ичӧтджык, сэк сылӧн кык лыдпас; сідзкӧ, корсянь корень лоӧ сумма
дасъяс + единичаяс,
та вӧсна сылӧн квадратыс колӧ равняйтчыны суммалы:
(дасъяс)² + 2(дасъяс) ⋅ (единичаяс) + (единичаяс)².
Тайӧ сумма колӧ лоны медыджыд квадратӧн, коді вермӧ пырны 4082-ӧ. Сы вӧсна, мый (дасъяс)² сетӧны сёяс, дасъяслысь квадрат колӧ корсьны индӧм лыд сёясысь. Индӧм лыдын сёяс 40 (сёяслысь лыд корсям веськыдвывсянь кык лыдпас запятаяӧн торйӧдӧмӧн). Но 40-ын некымын быдса квадратъяс: 36, 25, 16... да мукӧд. Босьтам на костысь медыджыдӧс, 36, да шуам, мый кореньса дасъяслӧн квадрат стӧч тайӧ медыджыд квадрат ыджда. Сэк кореньын лоӧ 6 дас. Ӧні прӧверитам, мый тайӧ век колӧ лоны тадзи, мый кореньса дасъяслӧн лыд лоӧ коренювса лыд сёясысь перйӧм медыджыд быдса корень ыджда. Збыльысь ӧд, миян примерын кореньлӧн дасъяс лыд оз вермы лоны 6-ысь ыджыдджык сы вӧсна, мый (7 дас)² = 49 сё, тайӧ 4082-ысь ыджыдджык нин. Но, мӧдарӧ, сійӧ оз вермы лоны 6-ысь ичӧтджык сы вӧсна, мый 5 дас (единичаясӧн) 6 дасысь этшаджык, кор нин (6 дас)² = 36 сё, мый 4082-ысь ичӧтджык. А сы вӧсна, мый ми корсям медыджыд быдса корень, ми ог вермӧй босьтны корень пыдди 5 дас, кор 6 дас нин абу уна. Миян сюри кореньлӧн дасъяс лыд 6. Гижам тайӧ лыдпассӧ веськыдвылӧ = пассянь да ог вунӧдӧй, мый сійӧ петкӧдлӧ кореньса дасъяслысь лыд. Сійӧ лэптам квадратӧ, лоӧ 36 сё. Тайӧ 36 сё чинтам коренювса лыдса 40 сёысь да коляс дінӧ гижам лыдпасъяс 82:

√40’82 = 6
36
____
48’2

482-ын колӧ лоны сумма:
2(6 дас)(един.) + (един.)².
(6 дас) ⋅ (един.) произведенньӧ лоӧ дасъяс; та вӧсна дасъясӧс единича вылӧ кык пӧв босьтӧмысь артмӧм произведенньӧ колӧ корсьны коляс дасъясысь, 48-ысь (дасъяслысь лыд пӧлучитам колясын 48’2 веськыдвывсянь ӧти лыдпас торйӧдӧмӧн). Кореньлысь дасъяссӧ кык пӧв босьтӧмысь лоӧ 12. Сідзкӧ, 12-ӧс ӧктам кореньса единичаяс вылӧ (кодъясӧс ог на тӧдӧй), колӧ артмыны сэтшӧм лыд, коді тӧрӧ 48‐ӧ. Тайӧ вӧсна 48 юкам 12 вылӧ. Та вылӧ коляссянь шуйгалань нуӧдам вертикальнӧй визь да сы сайӧ (ӧти лыдпас вылӧ места кольӧмӧн; мыйла колӧ кольнысӧ, пыр тыдовтчас) гижам кореньса дасӧс кык пӧв босьтӧмысь артмӧм лыдпас, 12, да тайӧ вылӧ юкам 48.
Частнӧйын лоӧ 4. Но водзвыв оз на позь шуны, мый лыдпас 4 лоӧ кореньлӧн единичаяс лыд, сы вӧсна, мый ми 12 вылӧ юким коляслысь став дасъяс, а вермас лоны, мый кутшӧмкӧ пай сэтысь оз принадлежит дасъясӧс единича вылӧ кык пӧв босьтӧмысь артман произведенньӧӧ, а пырӧ единичаяс квадратӧ. Тайӧ вӧсна вермас лоны, мый 4 лоӧ вывті ыджыд. Колӧ сійӧс испытайтны. Тайӧ туяс, дерт, сӧмын сэк, кор сумма 2 (6 дас) ⋅ 4 + 4² оз ло 482-ысь ыджыдджык. Тайӧ суммасӧ зэв кокни приёмӧн вермам артавны пырысь-пыр: вертикальнӧй визь сайӧ кык пӧв босьтӧм кореньса лыдпас (12) бердӧ веськыдвывсянь гижам лыдпас 4 (вот мыйла и визь сайӧ кольлім ӧти лыдпаслы тӧран местасӧ) да сійӧ вылӧ жӧ ӧктам артмӧм лыдсӧ (124 ∙ 4).

√40’82 = 6
36
____
124 | 48’2
    4 | 49 6

Тайӧ ӧктӧм вӧчигӧн ми 4 ӧктам 4 вылӧ, тайӧн корсям кореньса единичаяслысь квадрат; сэсся ми 12 дасӧс босьтам 4 вылӧ, тайӧн корсям кореньса дасъяслысь единичаяс вылӧ удвоеннӧй произведенньӧ. Результатын лоӧ тшӧтш кыкнаныслӧн сумма. Артмӧм произведенньӧ лои 496, мый колясысь ыджыдджык, сідзкӧ, лыдпас 4 вывті ыджыд. Сэк воддза моз жӧ испытайтам 4-ысь ичӧтджык лыдпас 3. Та вӧсна лыдпас 4 да произведенньӧ 496 чышкам; 4 пыдди пуктам 3 да 123-ӧс ӧктам 3 вылӧ.

√40’82 = 63
36
____
123 | 48'2
    3 | 36 9
           113

Произведенньӧ 369 лои ичӧтджык 482 колясысь; сідзкӧ, лыдпас 3 туйӧ (лои кӧ сідз, мый лыдпас 3 бара вывті ыджыд, сэк эськӧ ковмис видлыны ичӧтджык лыдпас 2). Кореньӧ, дасъяс лыдпассянь веськыдвылӧ, гижам 3. Медбӧръя коляс 113 петкӧдлӧ, мый сетӧм лыд медыджыд быдса квадратысь, коді сэтчӧ пырӧ, ыджыдджык 113. Прӧверитӧм вылӧ лэптам квадратӧ 63 да результат дінӧ содтам 113:

63² = 3969
          +113
        _____
          4082

Суммаын лои сетӧм лыд: действийӧ вӧчсьӧма лючки.

Примеръяс:

1) √12’25 = 35
        9
    65 | 32’5
      5 | 32 5
        0

2) √86’55 = 93
       81
 183 | 55’5
     3 | 54 9
             6

3) √16ʼ05 = 40
       16
____
8 | 05

4) √8ʼ72 = 29
      4
____
49 | 47’2
  9 | 44 1
____
          31

5) √64’00 = 80
       64
     ____
           00

Нёльӧд примерын, колясса 47 дас 4 вылӧ юкигӧн лоӧ частнӧйын 11. Но сы вӧсна, мый кореньын единичаяслӧн лыдпас оз вермы лоны кыкпаса лыдпас 11 либӧ 10, сідзкӧ веськыда колӧ испытайтны 9.
Витӧд примерын первой граньысь 8-лысь квадрат чинтӧм бӧрын коляс лоӧ 0 да водзӧ граньыс сідзжӧ нульяс. Тайӧ петкӧдлӧ, мый корсян кореньын сӧмын 8 дас, та вӧсна единичаяс местаӧ колӧ пуктыны нуль.

112. 10000-ысь ыджыдджык быдса лыдысь корень перйӧм. Шуам, колӧ корсьны √35782. Сы вӧсна, мый коренювса лыд 10000-ысь ыджыдджык, сэтысь корень лоӧ √10000 = 100-ысь ыджыдджык. Сідзкӧ, кореньын лоӧ 3 либӧ унджык лыдпас. Кӧть мед кымын лыдпасыс эз вӧв кореняс, а ми сы вылӧ век кутам видзӧдны кыдз дасъяс да единичаяс сумма вылӧ. Шуам кӧ, мый корень лои 482, сійӧс ми вермам артавны кыдз сумма 48 дас + 2 единича. Сэк кореньлӧн квадратыс бара лоӧ куим содтанлыдлӧн сумма:
(дасъяс)² + 2 ⋅ (дас.) ⋅ (един.) + (един.)²
Ӧні ми вермам мӧвпавны дзик жӧ сідз, кыдзи мӧвпалім воддза §‐ын √4082 корсигӧн. Торъялӧм лоӧ сӧмын сыын, мый 4082-ысь корень корсигӧн миян ковмис кореньсӧ перйыны 40-ысь, да сійӧ ми вермим вӧчны ӧктан таблича серти, а ӧні √357’82-ысь дасъяс корсьӧм вылӧ миян ковмас перйыны корень 357-ысь, кодӧс ӧктан таблица серти вӧчны он вермы. Но ми вермам √357 корсьны сійӧ приёмӧн, код йылысь муні сёрни воддза §-ын сы вӧсна, мый 357 < 10000. 357-ысь медыджыд быдса корень 18. Сідзкӧ, √3’57’82-ын колӧ лоны 18 дас.

√3’57’82 = 189
1
____
28 | 25’7
  8 | 22 4
____
369 | 338’2
    9 | 332 1
        ____
           61

Медым корсьны единичаяс, колӧ 3’57’82-ысь чинтыны 18 дасысь квадрат, мый вылӧ сӧмын колӧ 18-лысь квадрат чинтыны 357’ысь да коляс дінӧ лэччӧдны коренювса лыдлысь кык бӧръя лыдпассӧ. 357-ысь 18-лысь квадрат чинтӧм бӧрся коляс миян эм нин: тайӧ 33. Сідзкӧ, медым сюрас коляс 3’57’82-ысь 18-лысь квадрат чинтӧм бӧрын, сӧмын колӧ 33 дорӧ веськыдвывсянь гижны лыдпас 82.
Водзӧ вӧчам сідз жӧ, кыдз нин ми вӧчим √4082 корсигӧн: 3382 коляс шуйгавылӧ нуӧдам вертикаля визь да сы сайӧ гижам (визь дінӧ лыдпас тӧрӧм мында места кольӧмӧн) кык пӧв босьтӧм кореньса дасъяс лыд, 36 (= 18 ∙ 2). Колясын веськыдвывсянь торйӧдам ӧти лыдпас да колясса дасъяс лыд 338 юкам 36 вылӧ. Частнӧйын лоӧ 9. Тайӧ лыдпас испытайтам, мый вылӧ сійӧс гижам веськыдвывсянь 36 дінӧ да сійӧ лыд вылӧ жӧ ӧктам артмӧм лыдсӧ (369 ⋅ 9). Произведенньӧ лои 3321; колясысь ичӧтджык. Сідзкӧ, лыдпас 9 туйӧ. Гижам сійӧс кореньӧ.
Позьӧ шуны тадзи: медым кутшӧм колӧ быдса лыдысь перйыны квадратнӧй корень, сэк кореньсӧ первой колӧ перйыны сійӧ сёяс лыдысь; сійӧ лыдыс кӧ 100‐ысь ыджыдджык, сэк ковмас корсьны корень тайӧ сёясса сёяс лыдысь, мӧд ног кӧ, сетӧм лыд дас сюрсъясысь; тайӧ лыд кӧ бара 100-ысь ыджыдджык, сэк ковмас корень перйыны дас сё сюрсъясысь, мӧд ног кӧ, сетӧм лыд миллионъясысь да с. в.

Примеръяс.

1) √8’72’00’00 = 2952
      4
49 | 47’2
  9 | 44 1
          ____
 585 | 310’0
     5 | 292 5
          ____
 5902 | 1750ʼ0
       2 | 1180 4
           ______
               569 6

2) √3’50’32’60’89 = 18717
      1
    ___
28 | 25’0
   8 | 22 4
          ___
  367 | 263’2
      7 | 256 9
             ___
      3741 | 636’0
             1 | 374 1
                    ____
37427 | 26198’9
         7 | 26198 9
               ____
                0

3) √9’51’10’56 = 3084
      9
     ____
608 | 511’0
    8 | 486 4
         ____
 6164 | 2465’6
       4 | 2465 6
             ____
             0.

Бӧръя примерын, первой лыдпас сюрӧм бӧрын да сылысь квадрат чинтӧм бӧрын колясас лоӧ 0. Лэдзам водзвывса кык лыдпас 51, кӧні 5 дас, а кореньын сюрӧм лыдпас кык пӧв босьтӧм бӧрын сетӧ 6. 5-ӧс 6 вылӧ юкӧмысь лоӧ 0. Кореньӧ мӧд местаӧ пуктам 0 да коляс дінӧ лэдзам водзӧ мунысь кык лыдпассӧ. Лоӧ 5110. Водзӧ нуӧдам сідз жӧ, кыдзи и вӧчим водзджык.
4) √81’00’00 = 900
       81
       __
        0

Тайӧ примерын корсян кореньыс составляйтӧ сӧмын 9 сё, мый вӧсна дасъяс да единичаяс местаӧ колӧ пуктавны нульяс.

Правилӧ. Медым сетӧм быдса лыдысь перйыны квадратнӧй корень, колӧ сетӧм лыд веськыдвывсянь шуйгавывлань торйӧдлыны кык лыдпаса граньясӧ; шуйгавывсянь медпервой граньыс вермас лоны ӧти лыдпаса.
Медым корсьны кореньлысь первой лыдпассӧ, сэк квадратнӧй корень перйӧны первой граньысь.
Медым корсьны мӧд лыдпассӧ, сэк первой граньысь чинтӧны кореньса первой лыдпаслысь квадрат, коляс дінӧ лэдзӧны мӧд грань да артмӧм лыдысь дасъяс лыд юкӧны кореньса первой лыдӧс кык пӧв босьтӧмысь артман лыд вылӧ; артмӧм быдса лыд колӧ испытайтны.
Испытайтӧм вӧчсьӧ со кыдз: вертикаля визь сайӧ (коляссянь шуйгавылӧ) гижӧны кык пӧв босьтӧм водзын сюрӧм кореньса лыд да сы дінӧ веськыдвывсянь гижӧны испытайтан лыдпас; тайӧ бӧрын артмӧм лыд ӧктӧны испытайтан лыдпас вылӧ. Ӧктӧм бӧрын кӧ лоӧ колясысь ыджыдджык лыд, сэк испытайтан лыдпас оз туй; колӧ испытайтны сыысь ичӧтджык лыдпассӧ.
Кореньлӧн мукӧд лыдпасъясыс корссьӧны тайӧ жӧ приёмӧн.
Грань лэдзӧм бӧрын кӧ артмӧм лыдлӧн дасъяс лыд лоӧ ичӧтджык кореньса первой лыдӧс кык пӧв босьтӧмысь лоан лыдысь, сэк кореньӧ пуктӧны 0, лэдзӧны водзӧ мунысь грань да действийӧ нуӧдӧны водзӧ.

113. Кореньын пас лыд. Корень корсян ног видлалӧмысь петӧ, мый кореньын сы мында лыдпас, кымын кык лыдпаса грань коренювса лыдын (шуйгавыв граньын вермас лоны ӧти лыдпас); мӧд ног кӧ: коренювса лыдын кор лыдпасыс чётнӧй, сэк кореньын лоӧ сійӧ лыдса лыдпасъяс серти кык пӧв этшаджык лыдпас; коренювса лыдын кӧ лыдпас лыдыс нечётнӧй, сэк кореньын лоӧ тайӧ нечётнӧй лыдпассӧ единича вылӧ ыдждӧдӧм бӧрын лоан лыдпасъясысь кык пӧв этшаджык лыдпас.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

Перйыны квадратнӧй кореньяс со кутшӧм лыдъясысь:
199. √289 √4225 √61009 √582169
200. √135424 √956484 √57198969.
201. √68492176 √422220304.
202. √285970396644.
203. Объяснитны, мыйла быдсикас быдса лыд, коді помасьӧ кутшӧмкӧ-нибудь тайӧ нёль лыдпасъяс пиысь 2, 3, 7 да 8, оз вермы лоны стӧч квадратӧн.

ІІІ. МАТЫСТӦМ КВАДРАТНӦЙ КОРЕНЬЯС ПЕРЙӦМ.

114. Стӧч квадратнӧй кореньлӧн признакъяс. 
Сетӧм быдса либӧ дроба лыдысь стӧч квадратнӧй кореньӧн шусьӧ сэтшӧм лыд, кодлӧн квадратыс стӧч сетӧм лыд ыджда. Индам признакъяс, мый серти мукӧддырйи позьӧ водзвыв шуны, мый сетӧм лыдысь стӧч квадратнӧй корень оз перйыссьы.
а) Сетӧм быдса лыдысь кӧ оз перйыссьы быдса лыда стӧч корень (перйигӧн кольӧ коляс), сэтшӧм лыдысь сідзжӧ оз сюр и дробнӧй стӧч корень, сы вӧсна, мый быд дроб, коді абу быдса лыд ыджда, ас вылас ӧктӧмӧн произведенньӧын сетас сідзжӧ дроба лыд, а оз быдсаӧс.
б) Кыдз тӧдам, мый дробысь корень равняйтчӧ числитель кореньлы, кодӧс юкӧма знаменательысь корень вылӧ, сідзкӧ, сократитчытӧм дробыс стӧч корень оз вермы сюрны, кор сійӧ оз позь перйыны числительысь да знаменательысь. Например: ⅘, 8⁄9 да 11⁄51 дробъясысь оз позь перйыны стӧч корень сы вӧсна, мый первой дробын корень оз перйыссьы знаменательысь, мӧд дробын — числительысь, коймӧд дробын — кыкнансьыс.
Сэтшӧм лыдъясысь, кытысь оз позь перйыны стӧч корень, сӧмын позьӧ перйыны матыстӧм кореньяс, мый йылысь ӧні и кутам сёрнитны.

115. Единичаӧдз матыстӧм корень. Единичаӧдз матыстӧм квадратнӧй кореньӧн сетӧм лыдысь (кӧть быдса кӧть дроб) шусьӧ сэтшӧм лыд, коді удовлетворяйтӧ со кутшӧм кык требованньӧяс: 1) тайӧ лыдлӧн квадратыс ичӧтджык сетӧм лыдысь (либӧ сы ыджда); но 2) квадратыс тайӧ лыдлӧн, кодӧс ыдждӧдӧма 1 вылӧ, ыджыдджык сетӧм лыдысь. Мӧд ногӧн кӧ, 1-ӧдз матыстӧм квадратнӧй кореньӧн шусьӧ сетӧм лыдысь медыджыд быдса квадратнӧй корень — сійӧ корень, кодӧс ми тӧдмалім нин воддза юкӧдысь. Тайӧ кореньыс шусьӧ 1-ӧдз матыстӧм кореньӧн, сы вӧсна, мый медым лои стӧч корень, сэк сійӧ матыстӧм корень дінӧ колӧ содтыны 1-ысь ичӧтджык кутшӧмкӧ дроб; тӧдтӧм стӧч корень пыдди кӧ босьтам тайӧ матыстӧм кореньсӧ, сэк вӧчам ӧшыбка, коді 1-ысь ичӧтджык.
Шуам, колӧ корсьны 1-ӧдз матыстӧм квадратнӧй корень 395,74-ысь. Сэк дроб вылӧ вниманньӧ пуктытӧг корень перъям кыдз быдса лыдысь:

√3'95 = 19
  1
___
29 | 29'5
  9 | 26 1
      ___
           34.

Артмӧм корень 19 лоӧ корсян корень сы вӧсна, мый
19² < 395,74, а 20² > 395,74.

Правилӧ. Медым перйыны 1-ӧдз матыстӧм квадратнӧй корень, колӧ перйыны сетӧм лыд быдса юкӧнсьыс медыджыд быдса корень.
Тайӧ правилӧ серти сюрӧм корень лоӧ судзсьытӧма (<rus>с недостатком</rus>) матыстӧм кореньӧн, сы вӧсна, мый сыын стӧч кореньӧдз оз тырмы кутшӧмкӧ (1-ысь ичӧтджык) дроб. Тайӧ корень кӧ 1-ӧн ыдждӧдам, лоӧ мӧд лыд, коді стӧч кореньысь кутшӧмкӧ юкӧнӧн (1-ысь ичӧтджыкӧн) ыджыдджык. Единичаӧн ыдждӧдӧм тайӧ корень сідзжӧ позьӧ шуны 1-ӧдз матыстӧм кореньӧн, но сӧмын унджыка (<rus>с избытком</rus>).

116. 1⁄10‐ӧдз матыстӧм корень. Шуам, колӧ корсьны 1⁄10-ӧдз точносьтӧн √2,35104. Тайӧ лоӧ, мый колӧ корсьны сэтшӧм десятичнӧй дроб, кӧні медым вӧлі быдса единичаяс да дасӧд пайяс, да коді мед удовлетворяйтіс со кутшӧм кык требованньӧлы: 1) тайӧ дроблӧн квадрат мед эз вӧв 2,35104-ысь ыджыдджык, но 2) кор сійӧ 1⁄10-ӧн ыдждӧдам, сэк тайӧ ыдждӧдӧм дроблӧн квадрат лоӧ ыджыдджык 2,35104-ысь.

√2ʼ35ʼ104 = 1,5
  1
__
25 | 13ʼ5
  5 | 12 5
     ____
       10

Медым корсьны татшӧм дроб, сэк медводз корсям 1-ӧдз матыстӧм корень, мӧд ног кӧ, ми перъям корень сӧмын быдса лыдысь 2-ысь. Лоӧ 1 (да колясын 1). Кореньӧ гижам 1 да сы сайӧ пуктам запятая. Ӧні пондам корсьны дасӧд пайяслысь лыдпас. Та вылӧ коляс дінӧ (1 дінӧ) гижам лыдпас 35, кодъяс сулалісны запятаясянь веськыдвылын, да кутам корень перйыны сідзи, кыдзи перйӧны быдса лыдысь (235). Артмӧм лыдпас 5 кореньӧ гижам дасӧд пайяс местаӧ. Коренювса мукӧд лыдпасъяс (104) миян оз ковны. Артмӧм лыд 1,5 лоӧ збыльысь 1⁄10 точносьтӧдз матыстӧм корень, тайӧ тыдалӧ со мыйысь: ми кӧ эськӧ корсим 235-ысь 1-ӧдз матыстӧм медыджыд корень, сэк эськӧ миян сюри 15. Сідзкӧ:
15² ≤ 235, а 16² > 235.
Тайӧ став лыдъяс 100 вылӧ юкӧмӧн лоӧ:
15²/100 ≤ 2,35; 16²/100 > 2,35,
мӧд ног кӧ,
(15/10)² ≤ 2,35; (16/10)² > 2,35,
либӧ:
1,5² ≤ 2,35; 1,6² > 2,35,
кытысь 
1,5² < 2,35104; 1,6² > 2,35104 *.

* 0,00104 содтӧмысь кыкапас ≤ вежсьӧ < пасӧн, а пас > кольӧ (сы вӧсна, мый 0,00104 < 0,01).

Сідзкӧ, лыд 1,5 десятичнӧй дроб, кодӧс ми шуим 1⁄10-ӧдз матыстӧм кореньӧн.
Тайӧ приёмӧн корсям нӧшта 0,1-ӧдз матыстӧм со кутшӧм кореньяс:

√57,40 = 7,5
  49
___
145 | 84ʼ0
    5 | 72 5
         ___
           115

√0,30 = 0,5
      25
        __
         5

√0,03 = 0,1
       1
      __
       2

117. 1/100, 1/1000‐ӧдз да с. в. матыстӧм кореньяс. Шуам, колӧ корсьны 1/100-ӧдз матыстӧм √248. Тайӧ лоӧ: колӧ корсьны сэтшӧм десятичнӧй дроб, кӧні медым вӧлі быдса единичаяс, дасӧд да сёӧд пайяс, кодлӧн квадрат мед эз вӧв 248-ысь ыджыдджык да коді 1/100-ӧн ыдждӧдӧм бӧрын квадратӧ лэптӧмӧн сетас лыд 248-ысь ыджыдджыкӧс. Сэтшӧм дроб ми корсям татшӧм ногӧн: первой корсям быдса лыд, сэсся дасӧд пайяслысь лыдпас да медбӧрын сёӧд пайяслысь лыдпас. Быдса лыдысь корень лоӧ 15 быдса. Мед артмас дасӧд пайяслӧн лыдпас, колӧ, кыдз ми аддзылім нин, коляс дінӧ (23 дінӧ) нӧшта гижны 2 лыдпас, кодъяс сулалӧны запятая бӧрын веськыдвылын. 

√2ʼ48,00ʼ00 = 15,74
  1
___
25 | 14’8
  5 | 12 5
       ___
307 | 230’0
    7 | 214 9
        ____
 3144 | 15 10’0
       4 | 12 57 6
           ____
                 2524
                 
Миян примерын сэтшӧм лыдпасъясыс дзикӧдз абу, мый вӧсна найӧ местаӧ пуктам нульяс. Коляс дінӧ найӧс гижам да действийӧ вӧчам сідз жӧ, кыдзи корсьӧны быдса лыдысь (24800) корень. Миян сюрӧ дасӧд пайяслӧн лыдпас 7. Кольӧ нӧшта корсьны сёӧд пайяслысь лыдпас. Та вылӧ коляс дінӧ (151) гижам нӧшта 2 нуль да действийӧ вӧчам сідз жӧ, кыдзи корсьӧны быдса лыдысь (2480000) корень. Артмас 15,74. Мый тайӧ лыдыс эм збыльвылӧ 1/100-ӧдз матыстӧм 248-ысь корень, тыдалӧ со мыйысь: ми кӧ эськӧ корсим быдса лыдысь (2480000-ысь) медыджыд квадратнӧй корень, лои эськӧ 1574. Кытысь:
1574² ≤ 2480000, а 1575² > 2480000.
Тайӧ став лыдъяс 10000 (= 100²) вылӧ юкӧмӧн лоӧ:
1574²/100² ≤ 248,0000; 1575²/100² > 248,0000,
мӧд ног кӧ:
(1574/100)² ≤ 248,0000; (1575/100)² > 248,0000.
Либӧ 
15,74² ≤ 248; 15,75² > 248.
Сідзкӧ, 15,74 эм сійӧ десятичнӧй дроб, кодӧс ми шуим 248‐ысь 1/100-ӧдз матыстӧм кореньӧн.
1/1000, 1/10000‐ӧдз да с. в. матыстӧм кореньяс корсигӧн тайӧ приём применяйтӧмӧн воам со мыйӧдз:

Правилӧ. Медым быдса лыдысь либӧ десятичнӧй дробысь перйыны 1/10, 1/100, 1/1000‐ӧдз да с. в. матыстӧм корень, первой корсьӧны быдса лыдысь (сійӧ кӧ абу, кореньӧ гижӧны 0 быдса) 1-ӧдз матыстӧм корень.
Сэсся корсьӧны дасӧд пайяслысь лыдпас. Медым тайӧ аддзыны, коляс дінӧ гижӧны коренювса лыдлысь запятая веськыдвывса кык лыдпас (найӧ кӧ абуӧсь, коляс дінӧ гижӧны кык нуль) да действийӧ вӧчӧны сідз жӧ, кыдз сійӧ вӧчсьӧ быдса лыдысь корень перйӧм дырйи. Артмӧм лыдпас кореньӧ гижӧны дасӧд пайяс местаӧ.
Сэсся корсьӧны сёӧд пайяслысь лыдпас. Та вылӧ, коляс дінӧ барӧ гижӧны кык лыдпас, кодъяс сулалӧны веськыдвылын найӧясысь, кодъясӧс лои та водзын лэдзӧма коляс дінӧ да с. в.
Та ногӧн, десятичнӧй дроба быдса лыдысь корень перйигӧн колӧ сетӧм лыд торйӧдлыны запятаясянь кыдз шуйгавыв (быдса лыдъяс юкӧнын), сідз жӧ и веськыдвыв (дроба юкӧнын) кык лыдпаса граньясӧ.

Примеръяс.

1. Корсьны 1/100 ӧдз-кореньяс: а) √2; б) √0,3;
a) √2 = 1,41;
      1
         ____
24 | 10ʼ0
  4 |    96
        ____
  281 | 40'0
      1  | 28 1
           ____
             11 9

в) √0,30 = 0,54.
          25
          ____
          104 | 50ʼ0
              4 | 41 6
                  ____
                    84

2. Перйыны 1/10000‐ӧдз: а) √0,38472; б) √(3/7)
a) √0,38ʼ47ʼ20 = 0,6202;
          36
         ____
122 | 24ʼ7
     2 | 24 4
         ____
   12402 | 32ʼ00ʼ0
            2 | 24 80 4
                ____
                   7196

в) √(3/7) = √0,42ʼ85ʼ71ʼ42

√0,42ʼ85ʼ71ʼ42 = 0,6546
     36
        ____
125 | 68ʼ5
    5 | 62 5
         ____
1304 | 607ʼ1
       4 | 521 6
         _____
13086 | 8554ʼ2
         6 | 7851 6
             _____
                7026

Медбӧръя примерын дроб 3⁄7 бергӧдім 8 лыдпаса десятичнӧй дробӧ. Тадзсӧ вӧчим сы вӧсна, медым артмисны 4 грань, кодъяс колӧны 4 десятичнӧй пас кореньӧ корсьӧм вылӧ.

Индӧд. Эмӧсь зэв уна лыдысь арталӧм квадратнӧй кореньяса (арталӧма кутшӧмкӧ точносьтӧн) уна сикас табличаяс. Кыдз наӧн пӧльзуйтчыны — индӧма таблича водзвылас.

118. Обыкновеннӧй дробъясысь корень перйӧм. Стӧч квадратнӧй корень сократитчытӧм дробысь позьӧ перйыны сӧмын сэки, кор дроблӧн кыкнан членыс стӧч квадратъяс (114 §). Та дырйи сӧмын колӧ перйыны корень числительысь да знаменательысь торйӧн. Пример:
√(9⁄16) = √9/√16 = ¾.
Обыкновеннӧй дробысь кутшӧмкӧ десятичнӧй точносьтӧн матыстӧм корень медкокни корсьны сэки, кор обыкновеннӧй дробсӧ водзвыв пӧртам десятичнӧй дробӧ да тайӧ дробын запятая сайын медым десятичнӧй пасыс вӧлі кык пӧв унджык корсян кореньса десятичнӧй пас лыд дорысь. Шуам, колӧ корсьны √(23⁄7) точносьтӧн 0,01-ӧдз, мӧд ног кӧ, кор запятая сайын кык десятичнӧй пас. Та вылӧ 23⁄7 пӧртам десятичнӧй дробӧ, кӧні запятая сайын 4 лыдпас: 23⁄7 = 2,4285... да перъям 0.01-ӧдз матыстӧм корень 2,4285-ысь:

√2,4285 = 1,55.
1
____
25 | 14ʼ2
  5 | 125
       ____
305 | 178ʼ5
    5 | 152 5
       ____
          260

Позьӧ вӧчны мӧд ногӧн. Тайӧ петкӧдлам со кутшӧм пример вылын:
Корсьны матыстӧм √5⁄24.
Знаменатель вӧчам стӧч квадратӧн. Та вылӧ позьӧ вӧлі дроблысь кыкнан членсӧ ӧктыны знаменатель вылӧ (24 вылӧ); но тайӧ примерын позьӧ вӧчны мӧд ног. 24 торйӧдлам прӧстӧй ӧктасъясӧ: 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3. Тайӧ торйӧдлӧмысь тыдалӧ, мый 24 кӧ босьтам 2 вылӧ да нӧшта 3 вылӧ, сэк произведенньӧын быд ӧктас повторяйтчас чётнӧй лыд пӧв, кытысь петӧ, мый знаменатель пӧрӧ стӧч квадратӧ:
√5⁄24 = √(5/(2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3)) = √((5 ⋅ 2 ⋅ 3)/(2⁴ ⋅ 3²)) = (√30)/(2² ⋅ 3) = (√30)/12.
Колӧ артавны кутшӧмкӧ точносьтӧн √30 да результатсӧ юкны 12 вылӧ. Та дырйи оз ков вунӧдны, мый 12 вылӧ юкӧмысь тшӧтш ичӧтмас дроб, коді петкӧдлӧ точносьт. Сідз, √30 кӧ корсям 1/10-ӧдз точносьтӧн да результат юкам 12 пельӧ, артмас 5/24 юкӧнысь 1/120-ӧдз точносьтӧн матыстӧм корень (54⁄120 да 55⁄120).

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

204. √13 1-ӧдз √13 0,1-ӧдз √13 0,01-ӧдз.
205. √101 1/100-ӧдз √0,8 0,01-ӧдз.
206. √0,0081 1/100-ӧдз √19,0969 1/100-ӧдз.
207. √356 1-ӧдз, сэсся 0,1-ӧдз, водзӧ 0,01-ӧдз.
208. Артавны 0,01-ӧдз квадратнӧй корень татшӧм дробъясысь, найӧ пиысь быдӧнӧс десятичнӧй дробӧ пӧртӧмӧн:
⅗, 3⁄7, 7⁄11, 5⁄12, 7⁄250.
209. Найӧс жӧ, десятичнӧй дробӧ пӧрттӧг, а знаменательсӧ вӧчны стӧч квадратӧ; тӧдмавны погрешносьт степеньсӧ.
210. Артавны кореньяс:
√0,3, √5,7 (кыкнаныс 1/10-ӧдз);
√2,313, √0,00264 (кыкнаныс 1/100‐ӧдз).

ИСТОРИЯЫСЬ ТӦДМӦДЪЯС.

Корень перъян действийӧ пасйыны √ пас математикаӧ пыртіс 1525 воӧ Рудольф. Сыӧдз гижисны быдса кыв «корень» (латин кылӧн <lat>radіx</lat>), коді бӧрынджык вӧлі дженьдӧдӧма первойя шыпасӧдз, а тайӧ шыпасыс ньӧжйӧникӧн босьтіс со кутшӧм √ вид.

КВАЙТӦД ЮКӦД.

КВАДРАТНӦЙ УРАВНЕННЬӦ.

119. Задача. Мотора пыж муніс ю кывтыд 28 км. сайӧ да пырысь-пыр жӧ бергӧдчис бӧр важ местаас. Та вылӧ кад ковмис 7 час. Юлӧн визулыс часнас 3 км. Тӧдмавны пыжлысь сулалан ваын мунан ӧдсӧ.
Шуам, пыжлӧн сулалан ваын мунан ӧдыс x км часӧн; сэк ю кывтыд быд часӧн пыж мунас (x + 3) км, а ю паныд (x − 3) км часӧн. Сідзкӧ, ю кывтыд мунны пыжлы ковмис 28/(x + 3) час, а катны 28/(x − 3) час.
Задача условйӧ серти миян лоӧ уравненньӧ:
28/(x + 3) + 28/(x − 3) = 7.
Знаменательысь мынтӧдчӧм бӧрти лоӧ:
28(x − 3) + 28(x + 3) = 7(x + 3)(x − 3), восьтам скобкаяс:
28x − 84 + 28x + 84 = 7(x² − 9) = 7x² − 63,
либӧ:
56x = 7x² − 63.
Миян артмис уравненньӧ, кӧні эм член, кодлӧн тӧдтӧмыс мӧд степеньын, но вылысджык степеньяса тӧдтӧма членъяс абуӧсь. Татшӧм уравненньӧыс шусьӧ мӧд степеня уравненньӧӧн либӧ квадратнӧй уравненньӧӧн.
Пукталан способӧн вӧчам да убедитчам, мый тайӧ уравненньӧыслӧн эмӧсь кореньяс 9 да −1, кодъяс пиысь задачалы ӧтветӧн вермас лоны сӧмын ӧтиыс — первойяыс.
Петкӧдам общӧй правилӧ, код серти медым позис решайтны квадратнӧй уравненньӧяс.

120. Квадратнӧй уравненньӧлӧн нормальнӧй вид. Квадратнӧй уравненньӧын (сідзжӧ и вылысджык степеня уравненньӧясын) упрощайтӧм бӧрын сылысь став членсӧ вуджӧдӧны шуйгавылӧ, мый вӧсна веськыдвылын лоӧ нуль. Сідз, уравненньӧ, кодӧс ми лӧсьӧдім воддза задача решитӧм вылӧ, членъясӧс вуджӧдӧм бӧрти лоӧ:
56x − 7x² + 63 = 0.
x шыпасса степень петкӧдлысьяс лэччӧм серти членъяс пукталӧм бӧрти лоӧ:
−7x² + 56x + 63 = 0.
Лыдъяс −7, +56, +63 шусьӧны квадратнӧй уравненньӧса коэффициентъясӧн; на костысь +63 шусьӧ свободнӧй членӧн, а −7 да +56 первой да мӧд коэффициентъясӧн. Тайӧ лыдъяс вермасны лоны положительнӧйӧн, отрицательнӧйӧн и весиг нульӧн (первойя коэффициентысь ӧтдор, коді нульӧн лоны оз вермы сы вӧсна, мый сійӧ кӧ нуль, сэк оз ло квадратнӧй уравненньӧ, а лоӧ первой степеня уравненньӧ). Куимнан коэффициент пиысь кӧ ни ӧти абу нуль, сэк уравненньӧ шусьӧ полнӧйӧн. Сэтшӧм уравненньӧлӧн общӧй (нормальнӧй) вид лоӧ татшӧм: ax² + bx + c = 0.
Индам, мый первой коэффициент a век позьӧ вӧчны положительнӧй лыдӧн, быд член водзысь пас мӧдаралӧмӧн (мӧд ногӧн кӧ, уравненньӧ кыкнан юкӧнсьыс став членсӧ −1 вылӧ ӧктӧмӧн). Сідз, вылӧ вайӧдӧм уравненньӧ позьӧ гижны со кыдз:
7x² − 56x − 63 = 0.

121. Неполнӧй квадратнӧй уравненньӧ решитӧм. Кор квадратнӧй уравненньӧын абу первой степеня x член либӧ абу свободнӧй член (мӧд кывйӧн кӧ, кор мӧд b коэффициент равнӧй 0 либӧ свободнӧй c член равнӧй 0), сэк сэтшӧм квадратнӧй уравненньӧыс шусьӧ неполнӧйӧн. Первой случайын уравненньӧ лоӧ татшӧм: ax² + c = 0, а мӧдын: ax² + bx = 0. Вермас лоны, кор ӧти кадӧ b = 0 дай c = 0, сэк уравненньӧ пӧрӧ татшӧмӧ: ax² = 0. Видзӧдлам, кыдз колӧ решитны тайӧ став неполнӧй уравненньӧяссӧ.

1. ax² + c = 0 нога неполнӧй квадратнӧй уравненньӧ. Босьтам со кутшӧм куим пример:
а) 3x² − 27 = 0. Веськыдвылӧ свободнӧй член вуджӧдӧм бӧрти лоӧ 3x² = 27, сідзкӧ и x² = 9. Татысь петӧ, мый x лоӧ 9‐ысь квадратнӧй корень, мӧд ног кӧ, +3 либӧ −3. Лӧсьӧдчам √ пасӧн пасйыны кореньлысь арифметическӧй значенньӧ; сэк ми вермам гижны: x = ±√9 = ±3. Та ногӧн, сетӧм уравненньӧлӧн кык корень. Пасъям ӧтисӧ x₁, а мӧдсӧ x₂. Сэк решитӧм ми гижам тадз:
x₁ = +√9 = +3; x₂ = −√9 = −3.

б) 2x² − 0,15 = 0. Свободнӧй член вуджӧдӧм бӧрти лоӧ:
2x² = 0,15; x² = 0,075.
Кытысь:
x = ±√0,075.
Корсям √0,075 матыстӧмӧн, шуам, 1/100‐ӧдз (117 §):

0,07’50 = 0,27
     4
        ____
 47 | 35’0
   7 | 32 9
       ____
          2 1

Сідзкӧ, x₁ = 0,27..., x₂ = −0,27...

в) 2x² + 50 = 0. 50 вуджӧдам веськыдвылӧ, лоӧ:
2x² = −50; x² = −50/2 = −25; x = ±√(−25).
Сы вӧсна, мый отрицательнӧй лыдысь квадратнӧй корень перйыны оз позь, то тайӧ уравненньӧлӧн вещественнӧй решенньӧ абу.
Тайӧ примеръясысь петӧ, мый ax² + c = 0 нога неполнӧй квадратнӧй уравненньӧ решитӧм мунӧ тадзи:
ax² = −c; x² = −c/a; x = ±√(−c/a).
−c/a выраженньӧ кӧ положительнӧй лыд (коді лоӧ сэки, кор a да c разнӧй знакаӧсь), сэк позьӧ сэсь перйыны квадратнӧй корень (стӧча либӧ матыстӧмӧн); сэки x-лӧн лоӧ кык значенньӧ, кодъяс абсолютнӧй величинаясӧн ӧтыдждаӧсь, а пасъясӧн мӧдараӧсь: ӧтиыс положительнӧй, а мӧдыс отрицательнӧй лыд. Кор −c/a выраженньӧ отрицательнӧй лыд (коді лоӧ сэк, кор c да a ӧткодь пасаӧсь), сэк уравненньӧлӧн вещественнӧй кореньяс оз лоны.

2. ax² + bx = 0 нога неполнӧй квадратнӧй уравненньӧ. Босьтам пример 2x² − 7x = 0. Шуйгавылысь x петкӧдам ӧктас пыдди скобка сайӧ:
x(2x − 7) = 0.
Ӧні шуйгавыв юкӧн пӧри произведенньӧӧ, а веськыдвыв = 0. Произведенньӧ нуль ыджда лоӧ сӧмын сэки, кор ӧти ӧктас мукӧд пӧвстысь нуль ыджда. Та серти миян уравненньӧ вермас лоны, кор первой ӧктас x = 0 либӧ кор мӧд ӧктас (2x − 7) = 0. Бӧръя уравненньӧысь сюрӧ x = 7/2. Сідзкӧ сетӧм уравненньӧлӧн кык корень:
x₁ = 0; x₂ =7/2 = 3½.
Та ногӧн ax² + bx = 0 нога неполнӧй квадратнӧй уравненньӧ решитӧны тадзи:
ax² + bx = 0; x(ax + b) = 0;
x₁ = 0; ax₂ + b = 0; x₂ = −b/a.

3. ax² = 0 вида неполнӧй квадратнӧй уравненньӧ. Татшӧм уравненньӧыс имеитӧ сӧмын ӧти корень x = 0.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

211. 3x² − 147 = 0
⅓x² − 3 = 0
x² + 25 = 0.
212. 3(x² − 11)/5 − 2(x² − 60)/7 = 36
4/(x − 3) − 4/(x + 3) = ⅓
213. 2x² − 7x = 0
3⁄7x² + x = 0
0,2x² − ¾x = 0
214. x² = x
x² − 16x = 0
7x² = 0
0,7x² = 0
215. (x − 2)(x − 5) = 0
x(x + 4) = 0
3(y − 2)(y + 3) = 0.

122. Полнӧй квадратнӧй уравненньӧясӧс решитӧм. Пример вылӧ босьтам уравненньӧ, кодӧс вӧлі составитӧма 119 §-са задача решитӧм вылӧ.
7x² − 56x − 63 = 0.
Став членъяссӧ юкам 7 вылӧ да свободнӧй член вуджӧдам веськыдвылӧ:
x² − 8x = 9.
Оз-ӧ позь x² − 8x кыкачлен дінӧ содтыны коймӧд член, медым сэк лои куимачлен, коді мед представляйтіс полнӧй квадрат? Кокни лоӧ тайӧ вопросыс вылӧ ӧтветитны, кор ми кыкачленсӧ петкӧдлам тадзи:
x² − 2x ⋅ 4.
Ӧні позьӧ аддзыны, мый тайӧ кыкачлен дінӧ кӧ содтам член 4², лоӧ куимачлен x² − 2x ⋅ 4 + 4², мый лоӧ (x − 4) разносьтлӧн квадрат. Медым равенство оз торксьы, миян ковмас веськыдвылӧ содтыны сы мында жӧ, мый мында содтім шуйгавылӧ — ковмас сэтчӧ содтыны 4² = 16. Тайӧ вӧчӧм бӧрын лоӧ:
x² − 8x + 16 = 9 + 16;
(x − 4)² = 25.
Татысь тыдалӧ, мый (x − 4) разносьт эм сэтшӧм лыд, кодлӧн квадрат = 25; кытысь тайӧ разносьт лоӧ 25-ысь квадратнӧй корень ыджда, мый лоӧ либӧ 5, либӧ −5:
x − 4 = +√25 = +5; x − 4 = −√25 = −5.
Ӧні вуджӧдам −4 веськыдвылӧ да сюрӧ кык корень:
x₁ = 4 + 5 = 9; x₂ = 4 − 5 = −1.
Тайӧ кыкнан кореньыс уравненньӧӧ ладмӧ (позьӧ прӧверитны x пыдди найӧ пуктавлӧмӧн), но задачаӧ, мый серти вӧчӧма уравненньӧ, мӧд корень −1 оз туй сы вӧсна, мый задачаӧн корсьыссьӧ ӧдлӧн абсолютнӧй величина, а оз сылӧн направленньӧ.
Босьтам мӧд пример:
3x² + 15x − 7 = 0.
Став членъяс юкам 3 вылӧ да свободнӧй член вуджӧдам веськыдвылӧ:
x² + 5x = 7/3.
x² + 5x кыкачленысь позьӧ вӧчны суммалысь квадрат, сы дінӧ кӧ содтам коймӧд член (5/2)². Уравненньӧ кыкнан юкӧн бердӧ тайӧ член содтӧм бӧрын лоӧ:
x² + 5x + (5/2)² = (5/2)² + 7/3,
(x + 5/2)² = 25/4 + 7/3 = (75 + 28)/12 = 103/12.
Татысь тыдалӧ, мый x + 5/2 = ±√(103/12); сідзкӧ:
x₁ = −5/2 + √(103/12); x₂ = −5/2 − √(103/12).
Корсям 103/12-ысь квадратнӧй корень 1/10‐ӧдз матыстӧм точносьтӧн:
√(103/12) = √8,58... = 2,9...
Сідзкӧ:
x₁ = −2,5 + 2,9... = 0,4...; x₂ = −2,5 − 2,9... = −5,4...

123. Вайӧдӧм квадратнӧй уравненньӧ кореньяслӧн формула. Квадратнӧй уравненньӧ, кодлӧн первой коэффициент = +1, шусьӧ вайӧдӧм (приведённӧй) уравненньӧӧн. Татшӧм видӧ, кыдз ми аддзылім ӧні примеръясысь, позьӧ вайӧдны быд уравненньӧ, кӧні первой коэффициент абу 1; колӧ сӧмын уравненньӧсьыс став член юкны первой коэффициент вылӧ. Вайӧдӧм квадратнӧй уравненньӧ гижсьӧ тадзи:
x² + px + q = 0.
Тайӧ шыпаса уравненньӧсӧ решитам, сійӧ жӧ преобразованньӧяссӧ, кодъясӧс вӧлі индалӧма воддза примеръяс решитігӧн, вӧчалӧмӧн.
Вуджӧдам свободнӧй членсӧ веськыдвылӧ:
x² + px = −q.
Сы вӧсна, мый px = 2x ⋅ p/2, то медым кыкачлен пӧртны полнӧй квадратӧ, уравненньӧса кыкнан юкӧн дінӧ содтам (p/2)²-ӧн:
x² + px + (p/2)² = −q + (p/2)².
Ӧні уравненньӧ позьӧ гижны тадзи:
(x + p/2)² = (p/2)² − q,
кытысь корсям:
x + p/2 = ±√((p/2)² − q), x = −p/2 ± √((p/2)² − q).

Тайӧ формула позьӧ шуны тадзи:
Вайӧдӧм квадратнӧй уравненньӧлӧн тӧдтӧмыс равняйтчӧ мӧдара пасӧн босьтӧм мӧд коэффициент джынлы, плюс-минус квадратнӧй корень свободнӧй члентӧг тайӧ джын квадратысь.

Примеръяс:

1. x² − x − 6 = 0. Мед вӧлі тайӧ уравненньӧ вайӧдӧм уравненньӧ x² + px + q = 0 нога, гижам сійӧс тадз: 
x² + (−1)x + (−6) = 0. 
Ӧні аддзам, мый тайӧ примерын p = −1, q = −6; мый серти:
x = ½ ± √(¼ + 6) = 1/2 ± √(25/4) = 1/2 ± 5/2;
x₁ = 1/2 + 5/2 = 3; x₂ = 1/2 − 5/2 = −2.
Прӧверитӧм: 3² − 3 − 6 = 0; (−2)² − (−2) − 6 = 0.

2. x² − 18x + 81 = 0; тані p = −18, q = +81;
та серти:
x = 9 ± √(81 − 81) = 9 ± 0 = 9.
Уравненньӧлӧн сӧмын ӧти корень.

3. x² − 2x + 5 = 0; x = 1 ± √(1 − 5) = 1 ± √(−4). Мнимӧй кореньяс.

УПРАЖНЕННЬӦЯС.

216. x² + 10x + 5 = 2x² − 6x + 53.
217. x² + 6x = 27
218. x² − 5¾x = 18.
219. 12x − 6/x = 24
220. x/7 + 21/(x + 5) = 65⁄7
221. x + 2 = 9/(x + 2)
222. (x − 5)/4 − 4/(5 − x) = (3x − 1)/4
223. x + 1/(x − 3) = 5
224. 2x/(x − d) = (x − d)/d.
225. t-лы кутшӧм значенньӧ дырйи 2t − 5 разносьтӧс t − 4 вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧ равняйтчас t + 8 суммалы?
226. abx² − (a² + b²)x + ab = 0.

124. Квадратнӧй уравненньӧса кореньяслӧн общӧй формула. ax² + bx + c = 0 нога уравненньӧлысь быд член a вылӧ юкӧмӧн артмӧ уравненньӧ:
x² + (b/a)x + c/a = 0.
Тайӧ уравненньӧсӧ вайӧдӧм уравненньӧ формула серти решитӧм бӧрын сюрӧ:
x = −b/(2a) ± √((b/2a)² − c/a).
Тайӧ выраженньӧсӧ позьӧ упроститны тадзи:
x = −b/(2a) ± √(b²/(4a²) − c/a) = −b/(2a) ± √((b² − 4ac)/(4a²)) = −b/(2a) ± √(b² − 4ac)/(2a) = (−b ± √(b² − 4ac))/2a.
Тайӧ формуласӧ кывъясӧн позьӧ шуны тадзи:
Полнӧй квадратнӧй уравненньӧлӧн тӧдтӧмыс равняйтчӧ дроблы, кодлӧн числительыс мӧдара пасӧн босьтӧм мӧд коэффициент плюс-минус квадратнӧй корень нёль пӧв босьтӧм первой коэффициентӧс свободнӧй член вылӧ ӧктӧмысь артман произведенньӧтӧг квадратӧ лэптӧм мӧд коэффициентысь, а знаменательыс — кык пӧв босьтӧм первой коэффициент.
Тайӧ формула позьӧ шуны общӧйӧн сы вӧсна, мый сійӧ туйӧ вайӧдӧм уравненньӧлы (пуктам кӧ a = 1) дай неполнӧй уравненньӧяслы (пуктам кӧ b = 0 либӧ c = 0).

125. Формула упроститӧм, кор b коэффициент эм чётнӧй лыд. Общӧй формула упроститчӧ, кор b чётнӧй лыд. Сідз, b = 2k пуктӧмӧн, корсям:
x = (−2k ± √(4k² − 4ac))/2a = (−2k ± √(4(k² − ac)))/2a = (−2k ± 2√(k² − ac))/2a = (−k ± √(k² − ac))/a.

Тайӧ формула общӧй формулаысь торъялӧ сійӧн, мый тані абуӧсь ӧктасъяс 4 да 2.

126. Квадратнӧй уравненньӧлӧн кореньяс лыд. Ми аддзылім, мый квадратнӧй уравненньӧлӧн мукӧддырйи кык корень, мукӧддырйи ӧти, мукӧддырйи ньӧти абу (кор кореньыс мнимӧй). Но лӧсьӧдчисны квадратнӧй уравненньӧяслысь быд случайын лыддьыны кык корень, тайӧ сы серти, мый мукӧддырйи кореньясыс вермасны лоны равнӧйӧсь, а мукӧддырйи мнимӧйӧсь. Татшӧм лӧсьӧдчӧмас воисны сы вӧсна, мый мнимӧй корень петкӧдлан формулаяслӧн сэтшӧм жӧ свойствоясыс, кутшӧмъяс принадлежитӧны и вещественнӧй кореньяслы, сӧмын колӧ, мнимӧй лыдъяс вылын действийӧяс вӧчигӧн, руководствуйтчыны правилӧясӧн, кодъясӧс вайӧдӧма вещественнӧй лыдъяслы, сэсся тӧдны, мый (√(−a))² = −a. Дзик жӧ сідз, кор уравненньӧлӧн ӧти корень, ми вермам видзӧдны, мый уравненньӧлӧн кык ӧтыджда корень, кодъяслӧн свойствояс сэтшӧмӧсь жӧ, кутшӧмӧсь разнӧй кореньяслӧн.

УПРАЖНЕННЬӦЯС:

227. 2x² − 3x − 5 = 0
228. (2x − 3)² = 8x
229. 5x² − 8x + 0,24 = 0
230. 65x² + 118x − 55 = 0
231. (x − 3)(x − 4) = 12
232. x/(x + 60) = 7/(3x − 5).
233. x + 1/x = a + 1/a
234. Последовательнӧй куим чётнӧй лыдъяс квадратъяслӧн сумма = 776. Корсьны тайӧ лыдъяссӧ.
235. Веськыднёльпельӧсалӧн площадьыс — 48 см², а периметрыс = 28 см. Корсьны бокъяссӧ.
236. Корсьны веськыд куимпельӧсалысь бокъяссӧ, кор налӧн кузьтаясыс висьтавсьӧны последовательнӧй куим быдса лыдъясӧн.
237. Кор унапельӧсалӧн n бок, сэк став диагональ лыдыс равняйтчӧ ½n(n − 3). Тӧдмавны, кымын бок унапельӧсалӧн, кор тӧдам, мый сылӧн 54 диагональ.
238. Аэроплан веськыд визь кузя лэбис 150 км, да пырысь-пыр жӧ бергӧдчис бӧр важ туйӧд да петанінӧ бӧр воис 4 час мысти. Сыланьӧ сійӧ муніс тӧвлы паныд, а бӧр локтігӧн вӧлі тӧв ньылыд. Тӧвтӧм дырйи аэроплан мунӧ 80 км часӧн. Тӧдмавны, ыджыд-ӧ тӧвлӧн ӧдыс.
239. 60 шайтысь ньӧбӧма некымын чышъян. Тайӧ сумма вылӧ кӧ вӧлі ньӧбӧма 3 чышъянӧн унджык, сэк эськӧ быд чышъян вӧлі 1 шайтӧн донтӧмджык. Кымын чышъян ньӧбӧма?
240. Школаын первой группаын сеталӧма 180 лист бумага, быдӧнлы ӧтмындаӧн. Мӧд группаын сеталӧма сы мында жӧ да сідзжӧ ӧтмындаӧн. Мӧд группаын быд велӧдчысьлы воис первой группаын дорысь 6 листӧн унджык. Мӧд группаын первой группаын дорысь 40 велӧдчысьӧн этшаджык. Кымын листӧн воис первой группаса велӧдчысьлы?

УПРАЖНЕННЬӦЯСЛЫ ӦТВЕТЪЯС.

1. 4a; a. 2. 6m²; m³. 3. x(x − d). 4. 10x + y. 5. 100a + 10b + c. 6. (ma + nb)/(a + b). 7. x³ + y³; (x + y)²; x²y²; (xy)²; (x + y)(x − y); (m + n)/(m − n) либӧ (m + n) : (m − n). 8. 84; 44; 552; 336; 9⅓; 5⅗. 9. 3(x + y)(x − y). 10. 3a + 2b; 13 + 12 = 25. 11. 5 + ab − 5a + a; a + 2x. 12. n; 5a³b²x³. 13. 6xyz. 14. 5x + 15; 7x + 7y + 7z. 15. a/2 + 2b − c; 5a³b. 16. 8x − 2y; 4ax. 17. a/b; 3x. 18. +10; −10; +3. 19. −3; + 8; −2. 20. 0; −3; +1. 21. −1; −2; +2. 22. +2. 23. 0. 24. b − a; −5 (убыток). 25. m − n; −10 (долг). 26. 14; 10; 18; 2. 27. a + b; m + n; 5x. 28. 12. 29. −1¾. 30. +5. 31. 10 + (−2) + (−3) + 7. 32. 10 − (−8). 33. +6; −14; +80. 34. −23⅜; 0,054. 35. +1; −1; +1; −1. 36. 27. 37. −27. 38. 0; 0; 0; 0; 0. 39. 31⁄16. 40. +5; −5; −5; +5. 41. −a; −5; x². 42. 0; 0; 0; 0. 43, 44, 45. оз требуйт ӧтветсӧ. 46. 10a³x³; −10a²bx²; −⅜a²bx²; −20m²x²y³. 47. a + a; ax + ax + ax; a²b + a²b + a²b + a²b + a²b; (a + 1) + (a + 1) + (a + 1) + (a + 1). 48. 90; 13/15; 225⁄48; −343; −936. 49. 0; 31; −4. 50. +1 да −1. 51. a³x² + 4½a²x³. 52. 2x − 16,3xy. 53. a + 3½mxy². 54. a − 3½mxy². 55. 4a³ − 3a²b − 13ab². 56. x⁵ − 7a²x³. 57. 2z. 58. 4x³ + x² + 3x + 1. 59. 8a³ − 11a²b + 14ab² − 3b³. 60. p² + p + 15. 61. 4x² + 3y² − y − 1. 62. ¼x² − x + ⅘. 63. 4a² + 4b² − c². 64. x + y; 2m − 2n. 65. b − 2c. 66. 4x² + 4xy. 67. a − (b + c − d); a − b + (−c + d); a − (b + c) + d. 68. 15a³b⁷c; ⅝a³x⁶. 69. 0,81a³b²x³; a⁶b⁸c³. 70. 9⁄49m²x⁴y⁶; 8a⁹b³x⁶. 71. 0,01x²my⁶; ⅛m⁶n³y⁹. 72. 6a³b − 4ab⁴ + 2abc. 73. 25a³b − 20a⁴b² + 15a⁵b³ − 35a⁶b⁴. 74. am + bm − cm − an − bn + cn; 6a² − 3ab + 2ab² − b³. 75. 2a² − ½b² ; x³ − y³. 76. x³ + y³. 77. 6x² + 5xy − 6y²; y⁴ − 1. 78. x⁶ + 1008x + 720. 79. x⁹ − x⁵ − x⁴ + 2x³ − x² − x + 1. 80. x⁶ − a⁶. 81. a² + 2a + 1; 1 + 4a + 4a²; x² + x + ¼. 82. 9a⁴ + 6a² + 1; 0,01m²x² + mx² + 25x⁴. 83. 25a² − 20a + 4; 9x² − 12ax + 4a²; 9a⁴ − 3a² + ¼. 84. 101² = (100 + 1)² = 100² + 2 ⋅ 100 ⋅ 1 + 1² = 10201; 997² = (1000 − 3)² = ... = 994009 и сідз водзӧ. 85. 4m² − 12mn + 9n²; 9a⁴x − 24a³xy + 16a²y²; 0,04x⁶ − 0,15x³ + 9⁄64. 86. ¼x⁴ − 3½x³ + 49⁄4x²; 0,0625p² − 0,1pq + 0,04q². 87. a² − 1; 4a² − 25. 88. 4x² − 9; 1 − a⁴. 89. (x² + 1)(x² − 1) = x⁴ − 1; (4x² + y²)(4x² − y²) = 16x⁴ − y⁴. 90. [(m + n) − p][(m + n) + p] = (m + n)² − p²; a² − (b + c)² = a² − b² − 2bc − c². 91. a³ + 3a² + 3a + 1; a³ − 3a² + 3a − 1; 8x³ + 36x² + 54x + 27; 125 − 225x + 135x² − 27x³. 92. ⅛m³ − 3⁄2m² + 6m − 8; 27⁄64p³ + 9⁄16p²q + ¼pq² + 1⁄27q³; 125 − 225x + 135x² − 27x³. 93. 2a²xy; −⅗x². 94. −6⁄5a³; 3aᵐ − b². 95. 16⁄3a + 8b − 16a²b⁴. 96. 9x³ − 6ax + a². 97. 1 − 2y + y² − y³. 98. x − 4; y + 1. 99. 3x² − 2. 100. 3ax³. 101. x − a. 102. 2(a + x); a(x + y); 2y(2y − 3x). 103. 2a(2x − y); 3xy(2x + 3y). 104. 3ab(4a − 3ab + 2b²); xy(y − 7 + 4x). 105. (m + n)(m − n); (a + 1)(a − 1); (1 + a)(1 − a). 106. (x + 2)(x − 2); (m + 3)(m − 3); (2x + y)(2x − y). 107. (½x² + ⅓y³)(½x² − ⅓y³); (0,1a³ + 3)(0,1a³ − 3); 3a(a² + 4b⁴)(a² − 4b⁴). 108. (x − y + a)(x − y − a); [3(a + 2b) + 1][3(a + 2b) − 1]; (a − b + c)(a − b − c). 109. (x + y + x − y)(x + y − x + y) = 2x ⋅ 2y = 4xy. 110. (x − y)²; (m + n)². 111. (a + b)²(a − 2b)². 112. (x + 4)²; (x + 1)². 113. 5a(a − 2b)². 114. (a + b)² − c² = (a + b + c)(a + b − c); a² − (b² + 2bc + c²) = a² − (b + c)² = (a + b + c)(a − b − c). 115. (a + b)x + (a + b)y = (a + b)(x + y); a(c − d) + b(d − c) = a(c − d) − b(c − d) = (c − d)(a − b). 116. a(a + b) − (a + b) = (a + b)(a − 1); xz + xy − 3y − 3z = x(y + z) − 3(y + z) = (y + z)(x − 3); (2a − 3)(2a − 3)(2a + 3). 117. 4mn − 2nx + xy − 2my = 2n(2m − x) + y(x − 2m) = 2n(2m − x) − y(2m − x) = (2m − x)(2n − y). 118. 5x/7y; 3ab/10m; 8a²/11b; 100m/236n. 119. 9ab/10x²; 14a³/15b; (12x − 1)/(4a − 4b). 120. 17(a + b)/34 − (a + b)/2; (18a − 14)/(6 − a). 121. (ax² + bx + c)/(ax² + x); (x² + ax − b)/(x² − x). 122. (x − 1)/x; 3a²/(b − a); (a − 1)/(b − 2). 123. (a² + b² − 2ab)/(a − b); (m² − 1)/(m − 1). 124. −3a/6; −5a²/3; −(a − 1)/b; −a/(x − 2); −(m² − n²)/(m − n). 125. 1/x; 2/3m; 2a/3b; 3xy/8. 126. 3b/2x; ac/4b; 16axy³/15. 127. b/(a + b); 3y/(x − y); (a + 2)/(a − 2). 128. (a + 1)/(a − 1); 1/(x + 3); a/(a − 1). 129. (x − 1)/(2x(x + 1)); (a + x)/(3b − cx); 5a/(a − x). 130. (a + b)(a − b); 1/(y² − 1). 131. 18,4a/6a; (4x², 3y)/12xy; (x², 16)/4x. 132. (4bc, 6ac, ab)/2abc; (105b²x², 40a²x, 48a²b²)/60a²b²x. 133. (20mx³y², 9a³b²c)/12a²bcmx²y; (2a²bx, y)/8a³b². 134. (15x³, 120abx⁴, 8a²b)/40abx³. 135. (3(x + y)², 2(x − y)²)/6(x² − y²); (m − 1, 2, 3(m − 1))/(m² − 1). 136. (2, 3a(x − 1))/(x − 1)²; (2x − 1, 2(x − 1), 1)/[(x − 1)(2x − 1)]. 137. (3x, 4aby)/84a³b²; ((a − b)(a² − b²), 2ab(a + b), b)/b(a² − b²). 138. (6cb + 3ac + 2ab)/6abc; (6 + 5x)/3x²; (2a − 2x − 5)/4. 139. (x² − 5x + 2)/x². 140. (1 + x)/2; (5x − 6)/3; (5 − 2x)/3. 141. 1/(1 − 4x²). 142. (2a²b − ab − 2b² − a²)/a(a + b)(a − b). 143. m²/(m + n)(n − 1). 144. −6b/7x²; 1/[5(1 + a)x]. 145. 12b²q²x²y²/n⁴a³; 2a(x − 1). 146. (a + 2b)/b; 9b²c²x²y/16a²z. 147. 3a³/5mp; 15a²x²y. 148. 1/[5(a − b)]; (x + y)/(x − y). 149. Уравненньӧ 3-ӧд, 4-ӧд да 6-ӧд равенствоын, мукӧдыс — тождество. 150. 17,5; 5. 151. 27; 9; 12. 152. 3; 2; 13/20. 153. 2,7; 50. 154. 9; −3; −4. 155. 1; 5 3⁄7. 156. 5⅐. 157. 7 1⁄13. 158. 2. 159. −17 25⁄27. 160. 1348 да 1200. 161. 20, 30, 50. 162. 2½. 163. 12,8 кг да 19,2 кг. 164. 15 км да 18 км. 165. 0. 166. c/2(a − b). 167. (4 − 4a)/(b − 3). 168. h = 2q/(b₁ + b₂). 169. x = 2, y = 1; x = 1, y = −2; x = −3, y = −3. 170. x = −½, y = 1; x = 5, y = 1; x = 7, y = 2. 171. x = 35/13, y = −23/13. 172. x = c/(a + bm), y = mc/(a + bm); x = (a + bm)/(mn − 1); y = (an + b)/(mn − 1). 173. a = 3, b = −5. 174. 1 ш. 10 ур да 40 ур. 175. 40 да 25. 176. 200; 11 км. 177. 1⅔ м, 13⅓ м да 9⅔ м, 9⅓ м. 178. x = 2, y = 3, z = 5. 179. x = 3½, y = 2¼, z = 4. 180. x = 4, y = 0, z = 5. 181. x = 51, y = 76, z = 1. 182. x = 8, y = 10, z = 5. 183. x = 36, y = 6. 184. x = 2, y = 4, z = 1, u = 5. 185. x = 6, y = 12, z = 8. 186. Мӧд уравненньӧсӧ 3-кӧд содтӧмӧн артмас 2x = 32, x = 16. Первой уравненньӧсьыс мӧдсӧ чинтӧм бӧрын, артмас: 2z = 11, z = 5½. Медбӧрын первой уравненньӧсьыс чинтам коймӧдсӧ, аддзам: 2y = 15½, y = 7¾. 187. 1⅞p; ½p; 5p. 188. 133; 150; 76. 189. ±10; ±0,1; ±1/2; ±3/4; ±a; ±x. 190. 5; 27; a; 1 + x. 191. +3; −3; +1/2; −1/2; −0,1. 192. ±2; ±1/2; ±3 мнимӧй лыдъяс. 193. ±2 ⋅ 3; ±½ ⋅ 0,1 ⋅ 5; ±2ab; ±3axy². 194. −3ab; ±½ax; ⁵√a ⁵√b ⁵√c. 195. ±a²; ±2²; ±x³; ±(a + b)². 196. 2²; −a²; x³; (m + n)². 197. a/5; −3/10; a²/b; ³√x/y; ±√x/√y. 198. ±5a³bc²; ±0,6x²y; ±(b + c)³x². 199. 17; 65; 247; 763. 200. 368, 978, 7563. 201. 8276; 20548. 202. 534762. 203. Быдса лыд квадратлӧн бӧръя лыдпасыс колӧ лоны ӧтиӧн сійӧ лыдпасъясысь, код вылӧ помассьӧны первой 10 лыдъясыслӧн квадратъясыс: 0, 1, 2, 3 ... 9. Но тайӧ квадратъяс пиысь ӧти оз помась ни 2 вылӧ, ни 3 вылӧ, ни 7 вылӧ, ни 8 вылӧ. 204. 9; 3,6; 3,606. 205. 10,05; 0,89. 206 да 207 ӧтвет оз ков. 208. 0,77; 0,65; 0,79; 0,64; 0,16. 209. ⅕√15 = 0,7746 (⅕‐ӧд сюрсӧд юкӧнӧдз); ⅐√21 = 0,6547 (⅐‐ӧд сюрсӧд юкӧнӧдз); 1⁄11 √77 = 0,7977 (1⁄11‐ӧд сюрсӧд юкӧнӧдз); 1⁄12√60 = 0,6455 (1⁄12‐ӧд сюрсӧд юкӧнӧдз); 1⁄250√1750 = 0,1673 (1⁄250‐ӧд сюрсӧд юкӧнӧдз). 210. 0,5; 2,4; 1,52; 0,05. 211. ±7; +3; ±√(−25). 212. ±9; ±9. 213. 0 да 3½; 0 да −2⅓; 0 да 3,75. 214. 0 да 1; 0 да 16; 0; 0. 215. 2 да 5; 0 да −4; 2 да −3. 216. 12 да 4. 217. 3 да −9. 218. 8 да −2¼. 219. 2 да −¼. 220. 44 да −2. 221. 1 да −5. 222. 6 да −3. 223. 4. 224. d(2 ± √3). 226. a/b да b/a. 227. 2½ да −1. 228. 4½ да ½. 229. 1,5694 да 0,0306. 230. 5/13 да 11/5. 231. 7 да 0. 232. a да 1/a. 233. 14 да −10. 234. 14, 16, 18. 235. 6 да 8. 236. 3, 4, 5. 237. 12. 238. 20 км часӧн. 239. 12. 240. 60 морта группаысь быд ученик пӧлучитіс 3 листӧн.

{Киселев А. (комиӧдіс Седьяков Н.) @ Юриндалысь @ юриндалысь @ Алгебра. Шӧр школалы велӧдчан книга. Ч.1. @ 1934 @ Лб. }

ЮРИНДАЛЫСЬ.

1-ой юкӧд. 

ПРЕДВАРИТЕЛЬНӦЙ ВЕЖӦРТАСЪЯС.

І. Алгебраическӧй пасъяс тэчӧм .... 4
1. Шыпасъясӧс употребляйтӧм. 
2. Алгебраическӧй выраженньӧ. 
3. Алгебраическӧй действийӧяс. 
4. Алгебраын употребляйтчан пасъяс. 
5. Действийӧяслӧн пӧрадок.

ІІ. Медводдза нёль арифметическӧй действийӧяслӧн свойствояс .... 9
6. Содтӧм. 
7. Чинтӧм. 
8. Ӧктӧм. 
9. Юкӧм. 
10. Действийӧяслысь свойствояс применяйтӧм.

ІІ-ӧд юкӧд. 

ОТНОСИТЕЛЬНӦЙ ЛЫДЪЯС ДА НА ВЫЛЫН ДЕЙСТВИЙӦЯС.

І. Ыдждаяс йылысь, кодъясӧс позьӧ смысл серти гӧгӧрвоны противоположнӧя кык ногӧн .... 15
11. Задача. 
12. Мукӧд ыдждаяс (величинаяс), кодъясӧс позьӧ гӧгӧрвоны противоположнӧя кык ногӧн. 
13. Относительнӧй лыдъяс. 
14. Лыда (числӧвӧй) чӧрс вылӧ лыдъясӧс пасйӧм.

ІІ. Относительнӧй лыдъясӧс содталӧм .... 19
15. Задача. 
16. Кык лыд содтӧм. 
17. Содтан правилӧяслӧн мӧд выраженньӧ. 
18. Куим да унджык лыд содтӧм.

ІІІ. Относительнӧй лыдъясӧс чинтӧм .... 21
19. Задача. 
20. Корсьны разносьт, кыдз ӧтиксӧ кык содтанлыд пиысь. 
21. Чинтан правилӧ. 
22. Кык пӧвста пасъяслӧн формулаяс. 
23. Алгебраическӧй сумма да разносьт. 
24. Ыджда серти относительнӧй лыдъясӧс ӧтластитӧм.

ІV. Относительнӧй лыдъясӧс содтӧмлӧн да чинтӧмлӧн медгырысь свойствояс .... 26

V. Относительнӧй лыдъясӧс ӧктӧм (босьтӧм) .... 27
26. Задача. 
27. Отрицательнӧй лыд вылӧ ӧктӧм. 
28. Ӧктан правилӧ. 
29. Куим да унджык лыдлӧн произведенньӧ. 
30. Отрицательнӧй лыдлӧн степень.

VІ. Относительнӧй лыдъясӧс юкӧм .... 33
31. Урчитӧм. 
32. Юкан правилӧ. 
33. Случай, кор юканлыд либӧ юкысьлыд нуль ыджда.

VІІ. Ӧктӧмлӧн да юкӧмлӧн медгырысь свойствояс .... 34

ІІІ-ӧд юкӧд. 

ӦТКАЧЛЕНА ДА УНАЧЛЕНА БЫДСА ВЫРАЖЕННЬӦЯС. АЛГЕБРАИЧЕСКӦЙ ДРОБЪЯС.

І. Предварительнӧй вежӧртасъяс .... 37
35. Ӧткачлен да уначлен. 
36. Коэффициент. 
37. Уначленлӧн свойствояс. 
38. Подобнӧй членъясӧс ӧтиӧ вайӧдӧм.

ІІ. Алгебраическӧй содтӧм да чинтӧм .... 41
39. Ӧткачленъясӧс содтӧм. 
40. Уначленъясӧс содтӧм. 
41. Ӧткачленъясӧс чинтӧм. 
42. Уначленӧс чинтӧм. 
43. Скобкаяс восьтӧм, кодъяс водзын сулалӧ + либӧ − пас. 
44. Скобкаясӧ уначленъяслысь кутшӧмкӧ пай йӧртӧм.

ІІІ. Алгебраическӧй ӧктӧм .... 45
45. Ӧткачленъясӧс ӧктӧм. 
46. Ӧткачленлӧн квадрат да куб. 
47. Уначленӧс ӧткачлен вылӧ ӧктӧм. 
48. Уначленӧс уначлен вылӧ ӧктӧм. 
49. Расположитӧм уначлен. 
50. Расположитӧм уначленъясӧс ӧктӧм. 
51. Произведенньӧлӧн медулыс да медвылыс членъяс. 
52. Произведенньӧса членъяслӧн лыд. 
53. Уначленъясӧс ӧктан формулаяс. 
54. Тайӧ формулаяссӧ применяйтӧм. 
55. Кык лыд суммалӧн куб да найӧ разносьтлӧн куб.

ІV. Алгебраическӧй юкӧм .... 53
56. Ӧткачленъясӧс юкӧм. 
57. Нулевӧй степень петкӧдлысь. 
58. Ӧткачленъяслӧн юксьыны позьтӧм петкӧдлан признакъяс. 
59. Уначленӧс ӧткачлен вылӧ юкӧм. 
60. Ӧткачленӧс уначлен вылӧ юкӧм. 
61. Уначленӧс уначлен вылӧ юкӧм. 
62. Расположитӧм уначленъясӧс юкӧм. 
63. Уначленъяслӧн юксьыны позьтӧм петкӧдлан признакъяс.

V. Ӧктасъяс вылӧ разложитӧм .... 59
64. Предварительнӧй индӧдъяс. 
65. Быдса ӧткачленъясӧс разложитӧм. 
66. Уначленъясӧс разложитӧм.

VІ. Алгебраическӧй дробъяс .... 62
67. Алгебраическӧй дробъяслӧн арифметическӧй дробъясысь торъялӧм. 
68. Дроблӧн основнӧй свойство. 
69. Дроблысь членъяссӧ быдса видӧ вайӧдӧм. 
70. Дробса членъяслысь пасъяс вежлалӧм. 
71. Дробъясӧс сократитӧм. 
72. Ӧтувъя знаменательӧ дробъясӧс вайӧдӧм. 
73. Дробъясӧс содтӧм да чинтӧм. 
74. Дробъясӧс ӧктӧм. 
75. Дробъяслӧн квадрат да куб. 
76. Дробъясӧс юкӧм. 
77. Содтӧдъяс.

ІV-ӧд юкӧд. 

ПЕРВОЙ СТЕПЕНЯ УРАВНЕННЬӦЯС.

І. Уравненньӧяслӧн общӧй свойствояс .... 71
78. Равенствояс да налӧн свойствояс. 
79. Тождество. 
80. Уравненньӧ. 
81. Ӧтвына уравненньӧяс. 
82. Уравненньӧлӧн первой свойство. 
83. Следствийӧяс. 
84. Уравненньӧлӧн мӧд свойство. 
85. Следствийӧяс. 
86. Уравненньӧлысь юкӧнъяссӧ ӧткодь алгебраическӧй выраженньӧяс вылӧ ӧктӧм да юкӧм. 
87. Бокӧвӧй кореньяс.

ІІ. Ӧти тӧдтӧма уравненньӧ .... 78
88. Ӧти тӧдтӧма первой степеня уравненньӧяс решитӧм. 
89. Уравненньӧ составитӧм йылысь гӧгӧрвоӧм. 
90. Шыпаса уравненньӧяс.

ІІІ. Первой степеня уравненньӧяслӧн системаяс. 

Кык тӧдтӧма кык уравненньӧлӧн система .... 82
91. Задача. 
92. Первой степеня кык тӧдтӧма уравненньӧлӧн нормальнӧй вид. 
93. Кык тӧдтӧма ӧти уравненньӧлӧн неопределенносьт. 
94. Уравненньӧяслӧн система. 
95. Пукталан способ. 
96. Алгебраическӧй содтӧм способ. 
97. Шыпасъяса коэффициента уравненньӧяслӧн система. 

Куим тӧдтӧма куим уравненньӧлӧн система. 
98. Первой степеня куим тӧдтӧма уравненньӧлӧн нормальнӧй вид. 
99. Куим тӧдтӧма кык да ӧти уравненньӧлӧн неопределённосьт. 
100. Куим тӧдтӧма куим уравненньӧлӧн система. 
101. Пукталан способ. 
102. Алгебраическӧй содтӧм способ. 

Уравненньӧ системаяслӧн некымын торъя случайяс. 
103. Случай, кор оз став тӧдтӧмыс пырны быд сетӧм уравненньӧӧ. 
104. Случай, кор тӧдтӧмъяс пырӧны сӧмын дробъяс моз. 
105. Случай, кор бурджык став сетӧм уравненньӧяссӧ содтыны.

V‐ӧд юкӧд. 

КВАДРАТНӦЙ КОРЕНЬ ПЕРЙӦМ.

І. Кореньяслӧн основнӧй свойствояс .... 96
106. Корень определитӧм. 
107. Арифметическӧй корень. 
108. Алгебраическӧй корень. 
109. Произведенньӧысь, степеньысь да дробысь корень перйӧм.

ІІ. Лыдъясысь квадратнӧй корень перйӧм .... 100
110. Предварительнӧй индӧдъяс. 
111. 100‐ысь ыджыдджык, а 10000-ысь ичӧтджык быдса лыдысь корень перйӧм.
112. 10000-ысь ыджыдджык быдса лыдысь корень перйӧм. 
113. Кореньын пас лыд.

ІІІ. Матыстӧм квадратнӧй кореньяс перйӧм .... 106
114. Стӧч квадратнӧй кореньлӧн признакъяс. 
115. Единичаӧдз матыстӧм корень. 
116. 1/10-ӧдз матыстӧм корень. 
117. 1/100, 1/1000-ӧдз да с. в. матыстӧм кореньяс. 
118. Обыкновеннӧй дробъясысь корень перйӧм.

VІ-ӧд юкӧд. 

КВАДРАТНӦЙ УРАВНЕННЬӦ .... 113

119. Задача. 
120. Квадратнӧй кореньяслӧн нормальнӧй вид. 
121. Неполнӧй квадратнӧй уравненньӧ решитӧм. 
122. Полнӧй квадратнӧй уравненньӧясӧс решитӧм. 
123. Вайӧдӧм квадратнӧй уравненньӧ кореньяслӧн формула. 
124. Квадратнӧй уравненньӧса кореньяслӧн общӧй формула. 
125. Формула упроститӧм, кор b коэффициент эм чётнӧй лыд. 
126. Квадратнӧй уравненньӧлӧн корень лыд.